第十一章 三角形
知识点一: 三角形
1、定义:由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形叫做三角形。
2、分类:(1)按角分:锐角三角形;直角三角形;钝角三角形;
(2)按边分:不等边三角形;等腰三角形;等边三角形;
3、角平分线:三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
4、中线:连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。
5、高:从三角形的一个顶点向它的对边作垂线,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。
注意:三角形的角平分线、中线和高都有三条。
6、三角形的三边关系:三角形的任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边。
7、三角形的内角:三角形的内角和等于。如图:
8、三角形的外角
(1)三角形的一个外角与相邻的内角互补。
(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。>或>
6、三角形的周长、面积求法和三角形稳定性。
(1)如图1:C△ABC=AB+BC+AC或C△ABC= a+b+c。
四个量中已知其中三个能求第四个。
(2)如图2:AD为高,S△ABC =·BC·AD
三个量中已知其中两个能求第三个。
(3)如图3:△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,则有:
S△ABC =·AB·CD=·AC·BC即:AB·CD=AC·BC
四条线段中已知其中三条能求第四条。
知识点二:多边形及其内角和
1、边形的内角和=;
2、边形的外角和=。
3、一个边形的对角线有条,过边形一个顶点能作出条对角线,把边形分成了个三角形。
第十二章:全等三角形
12.1全等三角形
(1)形状、大小相同的图形能够完全重合;
(2)全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等形;
(3)全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形;
(4)平移、翻折、旋转前后的图形全等;
(5)对应顶点:全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点;
(6)对应角:全等三角形中相互重合的角叫做对应角;
(7)对应边:全等三角形中相互重合的边叫做对应边;
(8)全等表示方法:用“”表示,读作“全等于”(注意:记两个三角形全等时,把表示对应顶点的字
母写在对应的位置上)
(9)全等三角形的性质:①全等三角形的对应边相等;
②全等三角形的对应角相等;
12.2三角形全等的判定
(1)若满足一个条件或两个条件均不能保证两个三角形一定全等;
(2)三角形全等的判定:①三边对应相等的两个三角形全等;(“边边边”或“SS”S)
②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等;(“边角边”或“SAS”)
③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等;(“角边角”或“ASA”)
④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;(“角角边”或“AAS”)
⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等;(“斜边直角边”或“HL”)
(3)证明三角形全等:判断两个三角形全等的推理过程;
(4)经常利用证明三角形全等来证明三角形的边或角相等;
(5)三角形的稳定性:三角形的三边确定了,则这个三角形的形状、大小就确定了;(用“SSS”解释)
12.3角的平分线的性质
(1)角的平分线的作法:课本第19页;
(2)角的平分线的性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等;
(3)证明一个几何中的命题,一般步骤:
①明确命题中的已知和求证;
②根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证;
③经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程;
(4)性质定理的逆定理:角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上;(利用三角形全等来解释)
(5)三角形的三条角平分线相交于一点,该点为内心;
第十三章:轴对称
13.1轴对称
(1)轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么就称这个图形是轴
对称图形;这条直线叫做它的对称轴;也称这个图形关于这条直线对称;
(2)两个图形关于这条直线对称:一个图形沿一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这
两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点;
(3)轴对称图形与两个图形成轴对称的区别:轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分
能完全重合;而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系,这两个图形沿对称轴折叠后能够
重合;
(4)轴对称图形与两个图形成轴对称的联系:把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于
这条轴对称;把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个轴对称图形。
(5)垂直平分线:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线;
(6)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;
(7)轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;
(8)对称的两个图形是全等的;
(9)垂直平分线性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;
(10)逆定理:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上;
(11)垂直平分线的尺规作图:书P35
13.2作轴对称图形
(1)作轴对称图形:分别作出原图形中某些点关于对称轴的对应点,再连接这些对应点,就可以得到原图
形的轴对称图形;(注意取特殊点)
(2)点(x , y)关于x轴对称的点的坐标为:(x , -y);
点(x , y)关于y轴对称的点的坐标为:(-x , y);
13.3等腰三角形
(1)等腰三角形的性质:①等腰三角形的两个底角相等(“等边对等角”);
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合;
(2)等腰三角形是轴对称图形,三线合一所在直线是其对称轴;(只有1条对称轴)
(3)等腰三角形的判定:①如果一个三角形有两条边相等;
②如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等;(等角对等边)
(4)等边三角形:三条边都相等的三角形;(等边三角形是特殊的等腰三角形)
(5)等边三角形的性质:①等边三角形的三个内角都是60?
②等边三角形的每条边都存在三线合一;
(6)等边三角形是轴对称图形,对称轴是三线合一所在直线;(有3条对称轴)
(7)等边三角形的判定:①三条边都相等的三角形是等边三角形;
②三个角都相等的三角形是等边三角形;
③有一个角是60?的等腰三角形是等边三角形;
(8)在直角三角形中,如果一个锐角等于30?,那么它所对的直角边等于斜边的一半;
第十四章: 整式的乘除与因式分解
14.1整式的乘法
(1)同底数幂的乘法:(m,n都是正整数)
即:同底数幂相乘,底数不变,指数相加;
(2)幂的乘方:(m,n都是正整数)
即:幂的乘方,底数不变,指数相乘;
(3)积的乘方:(n是正整数)
即:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得幂相乘;
(4)整式的乘法:①单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含
有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式;
②单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加;
③多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得
的积相加;
14.2乘法的公式
(1)平方差公式:
即:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差;
(2)完全平方公式:
即:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍;
(3)添括号:①如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;
②如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号;
14.3整式的除法
(1)同底数幂的除法:(a?0 , m , n都是正整数,并且m>n)
即:同底数幂相除,底数不变,指数相减;
(2)规定:
即:任何不等于0的数的0次幂都等于1;
(3)整式的除法:①单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字
母,则把连同它的指数作为商的一个因式;
②多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得商相加;
14.4因式分解
(1)因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解;(也叫做把这个多项式分解
因式);
(2)公因式:多项式的各项都有的一个公共因式;
(3)因式分解的方法:
提公因式法:关键在于找出最大公因式
平方差公式:a² -b² =(a + b)(a - b)
因式分解: 公式法
完全平方公式:(a + b)² = a² + 2ab +b²
(a - b)² = a² + 2ab +b²
第十六章 分式知识点总结
5、分式有无意义只与分母有关:当分母≠0时,分式有意义;当分母=0时,分式无意义。
6、
7、总结列分式方程应注意的问题
初二数学(上)应知应会的知识点
因式分解
1. 因式分解:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解;注意:因式分解与乘法是相反的两个转化.
2.因式分解的方法:常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.
3.公因式的确定:系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.
注意公式:a+b=b+a; a-b=-(b-a); (a-b)2=(b-a)2; (a-b)3=-(b-a)3.
4.因式分解的公式:
(1)平方差公式: a2-b2=(a+ b)(a- b);
(2)完全平方公式: a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2.
5.因式分解的注意事项:
(1)选择因式分解方法的一般次序是:一 提取、二 公式、三 分组、四 十字;
(2)使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性;
(3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止;
(4)因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正;
(5)因式分解的最后结果要求加以整理;
(6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.
6.因式分解的解题技巧:(1)换位整理,加括号或去括号整理;(2)提负号;(3)全变号;(4)换元;(5)配方;(6)把相同的式子看作整体;(7)灵活分组;(8)提取分数系数;(9)展开部分括号或全部括号;(10)拆项或补项.
7.完全平方式:能化为(m+n)2的多项式叫完全平方式;对于二次三项式x2+px+q, 有“ x2+px+q是完全平方式 Û”.
分式
1.分式:一般地,用A、B表示两个整式,A÷B就可以表示为的形式,如果B中含有字母,式子 叫做分式.
2.有理式:整式与分式统称有理式;即 .
3.对于分式的两个重要判断:(1)若分式的分母为零,则分式无意义,反之有意义;(2)若分式的分子为零,而分母不为零,则分式的值为零;注意:若分式的分子为零,而分母也为零,则分式无意义.
4.分式的基本性质与应用:
(1)若分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变;
(2)注意:在分式中,分子、分母、分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变;
即
(3)繁分式化简时,采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法,比较简单.
5.分式的约分:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分;注意:分式约分前经常需要先因式分解.
6.最简分式:一个分式的分子与分母没有公因式,这个分式叫做最简分式;注意:分式计算的最后结果要求化为最简分式.
7.分式的乘除法法则:.
8.分式的乘方:.
9.负整指数计算法则:
(1)公式: a0=1(a≠0), a-n= (a≠0);
(2)正整指数的运算法则都可用于负整指数计算;
(3)公式:,;
(4)公式: (-1)-2=1, (-1)-3=-1.
10.分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分;注意:分式的通分前要先确定最简公分母.
11.最简公分母的确定:系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂.
12.同分母与异分母的分式加减法法则: .
13.含有字母系数的一元一次方程:在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数,对x来说,字母a是x的系数,叫做字母系数,字母b是常数项,我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意:在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数,用x、y、z等表示未知数.
14.公式变形:把一个公式从一种形式变换成另一种形式,叫做公式变形;注意:公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意:字母方程两边同时乘以含字母的代数式时,一般需要先确认这个代数式的值不为0.
15.分式方程:分母里含有未知数的方程叫做分式方程;注意:以前学过的,分母里不含未知数的方程是整式方程.
16.分式方程的增根:在解分式方程时,为了去分母,方程的两边同乘以了含有未知数的代数式,所以可能产生增根,故分式方程必须验增根;注意:在解方程时,方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式,因为可能丢根.
17.分式方程验增根的方法:把分式方程求出的根代入最简公分母(或分式方程的每个分母),若值为零,求出的根是增根,这时原方程无解;若值不为零,求出的根是原方程的解;注意:由此可判断,使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.
18.分式方程的应用:列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样,但需要增加“验增根”的程序.
数的开方
1.平方根的定义:若x2=a,那么x叫a的平方根,(即a的平方根是x);注意:(1)a叫x的平方数,(2)已知x求a叫乘方,已知a求x叫开方,乘方与开方互为逆运算.
2.平方根的性质:
(1)正数的平方根是一对相反数;
(2)0的平方根还是0;
(3)负数没有平方根.
3.平方根的表示方法:a的平方根表示为和.注意:可以看作是一个数,也可以认为是一个数开二次方的运算.
4.算术平方根:正数a的正的平方根叫a的算术平方根,表示为.注意:0的算术平方根还是0.
5.三个重要非负数: a2≥0 ,|a|≥0 ,≥0 .注意:非负数之和为0,说明它们都是0.
6.两个重要公式:
(1) ; (a≥0)
(2) .
7.立方根的定义:若x3=a,那么x叫a的立方根,(即a的立方根是x).注意:(1)a叫x的立方数;(2)a的立方根表示为;即把a开三次方.
8.立方根的性质:
(1)正数的立方根是一个正数;
(2)0的立方根还是0;
(3)负数的立方根是一个负数.
9.立方根的特性:.
10.无理数:无限不循环小数叫做无理数.注意:p和开方开不尽的数是无理数.
11.实数:有理数和无理数统称实数.
12.实数的分类:(1)(2) .
13.数轴的性质:数轴上的点与实数一一对应.
14.无理数的近似值:实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求,则结果应该用无理数表示;如果题目有近似要求,则结果应该用无理数的近似值表示.注意:(1)近似计算时,中间过程要多保留一位;(2)要求记忆: .
三角形
几何A级概念:(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明)
几何B级概念:(要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题)
一 基本概念:
三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.
二 常识:
1.三角形中,第三边长的判断: 另两边之差<第三边<另两边之和.
2.三角形中,有三条角平分线、三条中线、三条高线,它们都分别交于一点,其中前两个交点都在三角形内,而第三个交点可在三角形内,三角形上,三角形外.注意:三角形的角平分线、中线、高线都是线段.
3.如图,三角形中,有一个重要的面积等式,即:若CD⊥AB,BE⊥CA,则CD·AB=BE·CA.
4.三角形能否成立的条件是:最长边<另两边之和.
5.直角三角形能否成立的条件是:最长边的平方等于另两边的平方和.
6.分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.
7.如图,双垂图形中,有两个重要的性质,即:
(1) AC·CB=CD·AB ; (2)∠1=∠B ,∠2=∠A .
8.三角形中,最多有一个内角是钝角,但最少有两个外角是钝角.
9.全等三角形中,重合的点是对应顶点,对应顶点所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边.
10.等边三角形是特殊的等腰三角形.
11.几何习题中,“文字叙述题”需要自己画图,写已知、求证、证明.
12.符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.
13.几何习题经常用四种方法进行分析:(1)分析综合法;(2)方程分析法;(3)代入分析法;(4)图形观察法.
14.几何基本作图分为:(1)作线段等于已知线段;(2)作角等于已知角;(3)作已知角的平分线;(4)过已知点作已知直线的垂线;(5)作线段的中垂线;(6)过已知点作已知直线的平行线.
15.会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.
16.作图题在分析过程中,首先要画出草图并标出字母,然后确定先画什么,后画什么;注意:每步作图都应该是几何基本作图.
17.几何画图的类型:(1)估画图;(2)工具画图;(3)尺规画图.
※18.几何重要图形和辅助线:
(1)选取和作辅助线的原则:
① 构造特殊图形,使可用的定理增加;
② 一举多得;
③ 聚合题目中的分散条件,转移线段,转移角;
④ 作辅助线必须符合几何基本作图.
(2)已知角平分线.(若BD是角平分线)
(3)已知三角形中线(若AD是BC的中线)
(4) 已知等腰三角形ABC中,AB=AC
(5)其它
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