第一章   数的认识

1、数的意义

一、整数的分类和意义

1、整数：像-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，……这样的数统称为整数。整数的个数是无限的，没有最小的整数，也没有最大的整数。

2、正整数和负整数：像1,2,3，……这样的数叫做正整数，像-1，-2，-3，……这样的数叫做负整数。正整数都大于0，负整数都小于0。 0既不是正数，也不是负数。

3、自然数： 0是最小的自然数。自然数的个数是无限的。没有最大的自然数。

二、小数的意义和性质

1、小数的分类 

（1）有限小数:小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。     W w .X k  b 1. c O m

（2）无限小数:小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。

（3）循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。循环小数都是无限小数。

（4）循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。

2、小数的基本性质

小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。这叫做小数的基本性质。

三、分数的意义和性质的分类：

真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。

假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。 

带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。它是大于1的假分数的另一种表现形式。

3、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变。

四、百分数的意义

1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。也叫做百分率或百分比。百分数通常用“﹪”表示。百分数的分数单位是1﹪。

2、百分数和分数的关系：分数既可以表示一个数，也可以表示两个数的比，而百分数只表示一个数占另一个的百分比，不能用来表示具体数。因此，百分数是一种特殊的分数，绝不能有单位名称。分数可以有单位名称。

五、正负数的认识

1、大于0的数叫正数。  2、小于0的数叫负数。  3、正负数是表示两种具有相反意义的量，比如生活中的收入与支出，0上温度和0下温度等。

一、数位的顺序

1、计数单位：个、十、百、……以及十分之一、百分之一、……都是计数单位。

2、数位：各个计数单位所占的位置，叫做数位。数位是按一定的顺序排列的。

三、数的改写X|k  |B| 1  . c|O |m

1、把一个数改写成用“万”或“亿”作单位的数，只要在“万位”或“亿位”的右下角打上小数点，把小数末尾的0去掉，同时添上“万”字或“亿”字。中间用“=”连接。

四、近似数

1、省略尾数求近似数：把一个数省略“万位”或“亿位”后面的尾数取近似数时，只要在“万位”或“亿位”的右下角打上小数点，用“四舍五入法”保留整数，同时添上“万”字或“亿”字。中间用“≈”连接。

2、求小数的近似数：根据要求，要把小数保留到哪一位，就把这一位后面的尾数按照“四舍五入”法省略，中间用“≈”连接。

保留整数，表示精确到个位；保留一位小数，表示精确到十分位；保留两位小数，表示精确到百分位；保留三位小数，表示精确到千分位；……

判断一个分数能不能化成有限小数的方法：

先化成最简分数，再看分母，若分母中只含有质因数2和5，这个分数就能化成有限小数，如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。

六、比较正数、负数的大小：

1、正数＞0＞负数        2、两个负数比较大小，数值大的反而小。

4、数的整除

一、整除和除尽的意义

1、整除：整数ɑ除以整数b(b ≠ 0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说ɑ能被b整除，或者说b能整除ɑ。

2、除尽：两个数相除，所得的商是整数或有限小数，而没有余数，就是除尽。

3、整除一定是除尽，除尽不一定是整除。

二、因数和倍数

1、如果数ɑ能被数b整除，ɑ就叫做b的倍数，b就叫做ɑ的因数（也叫做约数）。因数和倍数是相互依存的。

2、因数和倍数的特点

（1）、一个数的因数（约数）的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

(2)、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。没有最大的倍数

（3）、一个数既是它的因数，又是它的倍数。

三、能被2、5、3整除的数的特征

1、能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。

能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

2、能被5整除的数的特征：个位上是0或者5的数都能被5整除。

3、能被3整除的数的特征：一个数各个数位上的数字和能被3整除，这个数就能被3整除。

4、同时能被2、5、3整除的数的特征：一个数的个位是0，各位上的数字的和能被3整除，这个数就能同时被2、5、3整除。新  课  标   第  一 网

四、质数、合数、分解质因数                                                 

1、判断一个数是质数还是合数的方法：一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（也叫素数）。一个数除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。       1不是质数也不是合数。

五、最大公因数、最小公倍数：

1、最大公因数：

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。

成互质关系的两个数，有下列几种情况：

①、1和任何自然数互质。

②、相邻的两个自然数互质。

③、两个不同的质数互质。

④、当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。                             

⑤、两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。                                                  

⑥、如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。

2、最小公倍数：

（1）、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

（2）、求几个数的最小公倍数的方法：                                      

①、如果两个数是互质数，那么它们的最小公倍数就是它们的乘积。             

②、如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。                

③、求几个数的最小公倍数的方法：

方法一：求几个数的最小公倍数，用这几个数公有的质因数（通常从最小的开始）连续去除，一直除到每两个数都是互质数为止，然后把所有的除数和最后的商连乘起来。

方法二：先把每个数分解质因数，然后把公有的质因数和各自独有的质因数连乘起来。

（3）、几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。 

第二章    数的运算

一、四则运算的意义

1、加法的意义：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。

2、减法的意义：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。

  加法和减法互为逆运算。

3、乘法的意义：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 

在乘法里，0和任何数相乘都得0。        1和任何数相乘都的任何数。

一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少。

4、减法的意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。

在除法里，0不能做除数。     乘法和除法互为逆运算。

二、四则运算的法则

有余数除法的检验方法：商×除数＋余数 = 被除数

整数可以看成分母是1的分数。     乘积是1的两个数互为倒数。

求一个数的倒数的方法：求一个数的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置就可以了。

（6）、四则运算顺序：

加法、减法、乘法和除法统称四则运算。加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算。

在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要按从左往右的顺序进行计算。

有乘、除法又有加、减法，要先算乘、除法， 再算加减法；算式里有括号，要先算括号里面的。

二、运算定律和简便运算

（一）、运算定律和性质

加法交换律    a+b=b+a                 加法结合律   （a+b)+c=a+(b+c)

乘法交换律   a×b=b×a                  乘法结合律   (a×b)×c=a×(b×c)

乘法分配律   (a+b)×c=a×c+b×c

减法的性质    a-b-c=a-(b+c)           除法的性质    a÷b÷c=a÷(b×c)

第三章    常见的量

一、长度、面积、地积、体积、容积单位之间的进率

1、长度单位：

2、面积单位：

面积单位的规定：

边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米；边长1分米的正方形，面积是1平方分米；边长1米的正方形，面积是1平方米。

单位进率：

 3、体积（容积）单位：

体积单位的规定：

棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米；

棱长1米的正方体，体积是1立方米

单位进率：

二、常用质量单位和它们之间的进率：

1世纪=100年

1年 = 12个月（1、3、5、7、8、10、12是大月，每月有31天；4、6、9、11是小月，每月有30天；2月平年有28天，闰年有29天。

一般公历年份是4的倍数的是闰年，但公历年份是整百数的，是400的倍数才是闰年））。

1日=24时      1时=60分      1分=60秒

计时法：

通常有两种，一种是普通计时法，一种是24时计时法。

四、人民币的单位与进率：    1元=10角       1角=10分

五、容积单位  是“升”或“毫升”。

第四章  代数初步知识

简易方程

等式：表示两个相等关系的式子。

方程：含有未知数的等式叫做方程。          http://w ww.xkb 1.com

方程与等式的关系：方程是等式，但等式不一定是方程。

方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

解方程：求方程的解的过程，叫做解方程。

解方程的依据：

1、加、减、乘、除各部分之间的关系

一个加数 = 和 - 另一个加数             被减数 = 差 + 减数              减数 = 被减数 – 差     

一个因数 = 积 ÷ 另一个因数           被除数 = 商 × 除数              除数 = 被除数 ÷ 商

2、等式的性质：

性质一：等式两边同时加上（或减去）相同的数，等式仍然成立。

性质二：等式两边同时乘（或除以）相同的数（0除外），等式仍然成立。

3、比和比例

1、  比的意义： 两个数相除又叫做两个数的比。

2、比的写法和读法：表示数a与数b的比，写作a:b或  ,“:”是比号，读作“比”。

3、前项、后项、比值：

比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。

比的前项除以后项所得的商叫做比值。

比的后项不能为0。

4、比、分数、除法三者的关系：

5、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

二、比的应用

1、比例尺：图上距离与和它相对应的实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。

即：图上距离︰实际距离 = 比例尺         或      = 比例尺

常用的比例尺有数字比例尺和线段比例尺两种。

2、按比例分配：把一个数量按一定的份数比进行分配，这样的问题称为按比例分配。

关系式：总数量 ×= 某项的数量

三、比例的性质：

在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。

四、正、反比例的意义及关系

1、正比例的意义：  两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

  用字母表示：     = k  (一定） 新课  标 第 一 网

2、反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

  用字母表示 ： x×y = k   (一定)

五、判断两种量成不成比例，成什么比例的方法：

1、两种量必须是相关联的量；

2、看两个变化的量是比值（商）一定还是乘积一定，如果是比值（商）一定，就是成正比例的量，如果是乘积一定，就是成反比例的量。

2、分数、百分数应用题

一、分数、百分数乘法应用题：

已知一个数，求它的几分之几或百分之几是多少，用乘法计算。          

关系式：   已知的数（总数，单位“1”对应的数量）× 分率(或百分率) = 分率对应的数量

二、分数、百分数除法应用题：

1、求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几），用除法计算。

关系式：   一个数  ÷ 另一个数 = 分率（或百分率）

2、已知一个数的几分之几（或百分之几）是多少，求这个数，用除法计算。

  关系式：  已知的数量 ÷ 对应的分率(或百分率) =总数（单位“1”对应的数量）

三、较复杂的分数、百分数应用题

1、已知甲数和乙数，求甲数比乙数多几分之几。

关系式：  （甲数 – 乙数）÷ 乙数 =分率（或百分率）

2、已知甲数和乙数，求甲数比乙数少几分之几。图示：

关系式：  （乙数 – 甲数）÷ 乙数 =分率（或百分率）

3、已知甲数，又知甲比乙多几分之几，求乙数。  （甲比乙多）

关系式： 甲数 ÷ （ 1 ＋ ） = 乙数

4、已知甲数，又知甲比乙少几分之几，求乙数。 （甲比乙少）

      关系式： 甲数 ÷ （ 1 -  ） = 乙数

5、已知乙数，又知甲比乙多几分之几，求甲数。（甲比乙多）

关系式： 乙数 ×（ 1 ＋ ） = 甲数

6、已知乙数，又知甲比乙少几分之几，求甲数。（甲比乙少）

关系式： 乙数 × （ 1 -  ） = 甲数

第六章   几何初步知识

1、平面图形的认识与计算

一、线和角

（1）线段：直线上两点间的部分叫做线段。线段有两个端点。可以测量长度。

（2）射线：把线段的一端无限延长，就得到一条射线。射线有一个端点，另一端无限延长，不能测量长度。X k B  1 . c o  m

（3）直线：把线段的两端无限延长，可以得到一条直线。直线没有端点，两端无限延长，不能测量长度。

（4）垂线：两条直线相交成直角，这两条直线叫做互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。两条直线的焦点叫做垂足。

（5）平行线：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。

（6）点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这点到垂足的线段的长叫做这点到直线的距离。

2、角的概念

（1）从一点引出两条射线所形成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。

（2）角的分类：

锐角（小于90°）、直角（等于90°）、钝角（大于90°，小于180°）、平角（等于180°）、周角（等于360°）。

二、三角形的概念与分类

1、三角形：由三条线段围成的图形叫做三角形。     三角形的内角和是180°。

2、三角形的分类：

三、四边形的概念与分类

(一)四边形的概念

1、平行四边形（两组对边分别平行的四边形）。

2、长方形（对边相等，四个角都是直角的四边形。长方形又叫矩形）。

3、正方形（四条边都相等，四个角都是直角的四边形）。

4、梯形（只有一组对边平行的四边形）

5、直角梯形(有一个角是直角的梯形)

6、等腰梯形：（两腰相等的梯形）

四、圆

1.圆中心的一点叫圆心,用O表示.   圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

2.圆是封闭曲线图形。

3.半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。半径用“r”表示。

4.直径：经过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径用字母“d”表示。

5.直径与半径的关系： 在同一个圆里，所有的直径都相等，所有的半径都相等，直径等于半径的2倍。     d = 2r  或  r =

6.把圆对折,再对折就能找到圆心. 

7.圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴.圆有无数条对称轴. 

9.圆一周的长度就是圆的周长.

10.半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。 

11.圆的周长除以直径的商是一个固定的数,我们把它叫做圆周率,用字母π表示,计算时通常取3.14.

12.圆有无数条半径,有无数条直径. 

13.圆是轴对称图形，每条直径都是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。

 五、扇形

扇形是圆的一部分。扇形是轴对称图形，有一条对称轴。

六、常见平面图形的特征及计算公式

正方形：C = 4a    S = a2                          长方形：C = (a+b)×2      S = a×b

平行四边形：  S=ah                       三角形：S=ah÷2

梯形：S =(a+b)×h÷2                    圆：C =πd = 2πr             S =πr²

扇形：S=×n                          圆环：S=πR²－πr²        S=π（R²－r²）

2、立体图形的认识与计算

一、表面积:物体表面面积的总和叫做物体的表面积。

二、（1）体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。

（2）容积：容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积或容量。

三、常见立体图形的特征和计算公式：

3、 图形的变换   图形的位置

轴对称：一个图形沿一条直线对折，直线两边的图形能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线叫做它的对称轴。

观察物体

（1）站在任一位置最多只能看到长方体三个面。

第七章   统计与可能性

1、统  计

1、统计表：把收集到的资料进行数据整理后制成表格，用来分析情况，反映问题。

2、条形统计图：条形统计图能够很清楚地表示出各种数量的多少。

3、折线统计图：折线统计图不但可以表示数量的多少，而且能够清楚的表示出数量增减变化的情况。

4、扇形统计题：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形的面积表示各部分数占总数的百分数。扇形统计图能够清楚的表示出各部分数与总数之间的关系。

5、平均数：一组数据的和除以这组数据的个数所得的商，就是这组数据的平均数。用平均数作为一组数据的代表比较可靠稳定，但它容易受到偏大或偏小数据的影响。

6、中位数：把一组数据按大小顺序排列，位于最中间位置的一个数据（或最中间位置的两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。一组数据的中位数只有一个。X k B  1 . c o  m

中位数的作用：反映一组数据的一般水平、对事物大体趋势进行掌握和判断。不受偏大或偏小数据的影响。

7、众数：指一组数据中出现次数最多的数据，一组数据的众数可能不止一个，也可能没有。

二、求统计量的一般方法

1、求平均数： 总数量 ÷总份数 = 平均数

2、求中位数的方法：

 (1)奇数个数据：按大小排序最中间的一个。(2）偶数个数据：按大小排序最中间两个数据的平均数。

3、求众数的方法：出现次数最多的数据就是这组数据的众数。

2、 可能性

1．游戏的公平性：判断一个游戏规则是否公平，也就是看每种情况出现的可能性是否相等。相等，游戏规则公平；不相等，游戏规则不公平。

2．用分数表示事件发生可能性的大小：明确事件可能出现的所有情况，用所有可能出现的情况的数量作分母，某一种情况出现的数量作分子。

第八章   生活中的数学

1、利润与折扣问题

1、折扣：几折就是原价的百分之几十。

2、利润：售价与进货价的差称为利润。  关系式：销售价 – 进货价（成本价） =利润

利润率：利润与成本的百分比称为利润率。

关系式：利润÷成本×100﹪ = 利润率，      售价 = 成本价×（1+利润率）

2、利息与税率问题

1、利息：我们把存入银行的钱叫做本金，取款时银行另外付的钱叫利息。

利息占本金的百分之几叫做利率。        2、税率：指应纳税额占收入总数的百分之几。

3、关系式：利息 = 本金 ×利率×时间

                    3、其它生活中的数学

1．邮政编码的结构：邮政编码由六位数字组成，前两位数字表示省(或自治区、直辖市)；第三位数表示邮区；第四位数表示县(市)；最后两位数表示投递局(所)。

2．身份证号码的分类： 身份证号码有15和18位之分。15位的(属于第一代居民身份证)，18位的(属于第二代居民身份证)。

居民身份证的号码由18个数字组成：前6位为行政区划分代码，第7至14位为出生日期码，第15至17位为顺序码，（单数为男性分配码，双数为女性分配码）第18位为校验码。

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