函数及其图像知识总结

一、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

二、不同位置的点的坐标的特征

1、各象限内点的坐标的特征

第一象限(+,+)第二象限(-,+)第三象限(-,-)第四象限(+,-)

2、坐标轴上的点的特征

在x轴上纵坐标为0,在y轴上横坐标为,原点坐标为(0，0)

3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数

4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征

点P与点p'关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数

点P与点p'关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数

点P与点p'关于原点对称横、纵坐标均互为相反数

6、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

(1)到x轴的距离等于

(2)到y轴的距离等于

(3)到原点的距离等于

三、函数及其相关概念

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数的三种表示法(1)解析法(2)列表法(3)图像法

3、由函数解析式画其图像的一般步骤(1)列表(2)描点(3)连线

4、自变量取值范围

四、正比例函数和一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果 (k，b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数。 特别地，当一次函数中的b为0时，(k为常数，k0)。这时，y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像：是一条直线

3、正比例函数的性质，，一般地，正比例函数有下列性质：

(1)当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大;

(2)当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

4、一次函数的性质，，一般地，一次函数有下列性质：

(1)当k>0时，y随x的增大而增大

(2)当k<0时，y随x的增大而减小

5、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

6、设两条直线分别为，l1；y1=k1x+b1;l2:y2=k2x+b2

若两直线平行，则

7、平移：上加下减，左加右减。

8、交点坐标求法：联立方程组

五、反比例函数

1、反比例函数的概念

一般地，函数(k是常数，k0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成或xy=k的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像是双曲线。

3、反比例函数的性质

(1)当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。

(2)当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x的增大而增大。

(3)图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

(4)图像既是轴对称图形又是中心对称图形

(5)图像上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴所围成矩形面积等于|k|

4、反比例函数解析式的确定

只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

六、二次函数

1、二次函数的概念：一般地，如果 ，那么y叫做x的二次函数。

2、二次函数的图像是一条抛物线。

3、二次函数的性质：

(1)a>0抛物线开口向上，对称轴是x= ，顶点坐标是( ，);在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小;在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大;抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，

(2)a<0抛物线开口向下，对称轴是x= ，顶点坐标是( ，);在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大;在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，;

抛物线有最高点，当x= 时，y有最大值，

4、.二次函数的解析式有三种形式：

(1)一般式：

(2)顶点式：

(3)交点式：

5、抛物线中a，b,c的作用：

表示开口方向： >0时，抛物线开口向上， <0时，抛物线开口向下 与对称轴有关：对称轴为x= ，a与b左同右异

表示抛物线与y轴的交点坐标：(0，)

6、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当 >0时，图像与x轴有两个交点;

当 =0时，图像与x轴有一个交点;

当 <0时，图像与x轴没有交点。

7、求抛物线的顶点、对称轴的方法

(1)公式法：顶点是 ，对称轴是直线 .

(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .

8、平移：可以由平移得到。上加下减，左加右减。

总结：以上就是初中数学函数知识点的全部内容，希望能帮助同学们找到技巧复习，在中考时发挥最好的水平！

 

第二篇：一次函数及其图像知识点总结

第一节：函数

一、知识归纳

函数的概念

一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

函数的三种表达式：

（1）图象；（2）表格；（3）关系式。

要使函数的解析式有意义。

函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；

②函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母≠0；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0。

④函数的解析式是三次根式时，自变量的取值应是一切实数。

（2）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义。

4 常见函数关系式

几何

物理

生活

二、经典题型

题型考点一 求简单的函数关系式，识别自变量与因变量，给定自变量的值，相应地会求出函数的值。

例1.某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水300吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费。

⑴写出该单位水费y(元)与每月用水量x(吨)之间的函数关系式：

①用水量小于等于3000吨                       ；

②用水量大于3000吨                            。

⑵某月该单位用水3200吨，水费是       元；若用水2800吨，水费       元。

⑶若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水多少吨？

参考答案： (1)y=0.5 x  、y=1500＋ 0.8(x－3000)

           (2)1660   1400

(3) 3050

例2.函数是研究                                     (    )

A．常量之间的对应关系的            B．常量与变量之间的对应关系的

C．变量与常量之间对应关系的        Ｄ．变量之间的对应关系的

题型考点二 确定函数的自变量取值范围，

例1 ．（2010四川凉山）在函数中，自变量的取值范围是____

题型考点三  能根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数图像

例1、某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用了1小时爬了2千米，休息0.5小时后，又用了1小时爬上了山顶。游客爬山所用时间t与登山高度h间的函数关系用图形表示是（）

第二节 一次函数

一、知识归纳

知识点一：一次函数的定义

函数y=______(k、b为常数，k_____,自变量x的次数是U__  _U次)叫做一次函数.

知识点二：正比例函数的定义

当b_____时，函数y=_____ (k______,比例系数U____)叫做正比例函数.

知识点三：一次函数与正比例函数的异同

（1）一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移b绝对值个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜ 0时，向下平移）。

（2）正比例函数是特殊的一次函数，当一次函数中y=kx+b的b=0时，一次函数就变成正比例函数y=kx

二 经典题型

 题型考点一： 理解一次函数和正比例函数的概念与定义

例1   已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m为何值时,

           (1)此函数为正比例函数

此函数为一次函数

题型考点二：根据实际情况，确定一次函数解析式，求出相应的值

例1  气温随着高度的增加而下降，下降的一般规律是从地面到高空11km处，每升高1 km,气温下降6℃．高于11km时，气温几乎不再变化，设地面的气温为38℃，高空中xkm的气温为y℃．

（1）当0≤x≤11时，求y与x之间的关系式？

（2）求当x=2、5、8、11时，y的值。

（3）求在离地面13 km的高空处、气温是多少度？

（4）当气温是一16℃时，问在离地面多高的地方？

第三节  一次函数图像

知识归纳

知识点一

1、函数图象的的概念：把一个函数的自变量x与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫这个函数的图象；

   2、画函数图象的步骤：

      ①列表；②描点；③连线． 

知识点二：一次函数的图象

比例函数y=k x (k≠0)的图象是过原点和（1，___）两点的_____________

⑵一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象是过点(0，_____)、(______，0)的___________

（3）一次函数y=kx+b的k、b的值对一次函数图象的影响。                

y               y               y              y

o       x       o        x     o        x        o      x

①　　　　　　　　　　②　　　　　　　　　③　　　　　　　④

①k﹥0,b﹥0,  y＝kx +b的图象在一、二、三象限；

②k﹥0, b﹤0,  y＝kx +b的图象在一、三、四象限；

③k﹤0,b﹥0,  y＝kx +b的 图象在一、二、四象限；

k﹤0, b﹤0,  y＝kx +b的图象在二、三、四象。

知识点三：一次函数的性质

比例函数y=kx(k≠0)是特殊的一次函数，当k>0时，图象过______象限，y随x的增大而______；当k<0时，图象过_______象限；y随x的增大而______.

⑵一次函数y=kx＋b(k ≠ 0)的图象平行于直线y = kx ,可由它平移而得，当k>0时，y随x的增大而______；当k<0时，y随x的增大而______

知识点四：三个“一次”的关系

⑴在一次函数y=kx＋b中，令y=0，得一元一次方程kx＋b=0，它的根就是一次函数y=kx＋b的图象与x轴交点的          .

⑵一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解集可以看作一次函数y=kx＋b当函数值大于或小于0时相应的自变量x值的             .

⑶两直线交点的坐标，就是由这两条直线的解析式组成的______________的解.

二 经典题型

题型考点一：函数图象的概念

例 1.列表：

2.描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标第内描出相应的点.

3.连线：把这些点依次连接起来，得到y=-2x+5的图象，它是一条直线.

图象：

题型考点二：通过图像确定函数的解析式

例1．（2010山东聊城）如图，过点Q（0，3.5）的一次函数与正比例函数y=2x的图象相交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（     ）

A．3x－2y+3.5＝0　   B．3x－2y－3.5＝0　C．3x－2y+7＝0       D．3x+2y－7＝0

题型考点三：一次函数的增减性

例1   已知关于x的一次函数．

(1)m为何值时，函数的图象和直线y=－x平行?

(2)m为何值时，y随x的增大而减小？

解：(1)由题意，m需满足，

故m=4时，函数的图象平行于直线y=－x；

当3－m<0时，即m>3时，y随x的增大而减小．

题型考点四：一次函数图像与象限关系

1.一次函数的图象只经过第一、二、三象限，则(     )

A．            B．

C．         D．

2（20##年湖北十堰市）一次函数y=2x－2的图象不经过的象限是（   ）．

A．第一象限      B．第二象限     C．第三象限      D．第四象限

3.已知直线y=(5－3m)x+m－4与直线y=x+6平行，求此直线的解析式.

题型考点五：自变量与因变量取值范围

例1、已知y－1与x成正比例，当x=－2时，y=4

（1）求出y与x函数表达式

（2）把（1）中函数图象向上平移2个单位，设点（a，－2）在这个平移图象上求a值。

（3）如果x取值范围0≤x≤5，求y取值范围

第四节  确定一次函数的表达式

一、知识归纳

知识点一：求一次函数的表达式

          用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤:                        .

二 经典题型

   题型考点一：用待定系数法求一次函数解析式

1  .当x=5时一次函数y=2x+k和y=3kx－4的值相同，那么k和y的值分别为（    ）

A.1,11                          B.－1,9                        C.5,11                          D.3,3

2  .若直线y=kx+b经过A（1，0），B（0，1），则（    ）

A.k=－1,b=－1                                                B.k=1,b=1

C.k=1,b=－1                                                   D.k=－1,b=1

3、已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。

4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

  题型考点一：一次函数图像与面积

例8. 已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。

第五节  一次函数图像的应用

知识点一：

    若直线与直线关于

    （1）x轴对称，则直线l的解析式为

    （2）y轴对称，则直线l的解析式为

    （3）直线y＝x对称，则直线l的解析式为

    （4）直线对称，则直线l的解析式为

    （5）原点对称，则直线l的解析式为

    例1. 若直线l与直线关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。

    解：由（2）得直线l的解析式为

  题型考点一：利用图像信息解决实际问题

 1、某自来水公司中为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，某户居民每月应交水费y（元）是用水量x（t）的函数，其图象如图所示

（1）与出x≤8时，函数表达式。

（2）写出x＞8时，函数表达式。

（3）由图象知收费标准为。

（4）当某户居民该月用水15吨，则应交水费_____元。

题型考点二：一次函数的应用

1．（11分）小明在暑期社会实践活动中，以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图4所示．请你根据图象提供的信息完成以下问题：

(1)求降价前销售金额y(元)与售出西瓜x(千克)之间的函数关系式．

(2)小明从批发市场共购进多少千克西瓜?

(3)小明这次卖瓜赚了多少钱?

题型考点三：通过两种函数的图像解决问题

 1、已知两个一次函数y=x+3k和y=2x－6的图象交点在y轴上，则k值为     

          。