函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)

平面直角坐标系

1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系

2、各个象限内点的特征:

第一象限：（+，+）      点P（x,y），则x＞0,y＞0；

第二象限：（-，+）      点P（x,y），则x＜0,y＞0；

第三象限：（-，-）      点P（x,y），则x＜0,y＜0；

第四象限：（+，-）      点P（x,y），则x＞0,y＜0；

3、坐标轴上点的坐标特征：

   x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。两坐标轴的点不属于任何象限。

4、点的对称特征：已知点P(m,n),

关于x轴的对称点坐标是(m,-n),  横坐标相同，纵坐标反号

关于y轴的对称点坐标是(-m,n)  纵坐标相同，横坐标反号

关于原点的对称点坐标是(-m,-n)  横，纵坐标都反号

5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：

平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；

平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。

6、各象限角平分线上的点的坐标特征：

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

   第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

7、点P（x,y）的几何意义：

点P（x,y）到x轴的距离为 |y|，

点P（x,y）到y轴的距离为 |x|。

点P（x,y）到坐标原点的距离为

8、两点之间的距离：

X轴上两点为A、B  |AB|

Y轴上两点为C、D  |CD|

已知A、B   AB|=

9、中点坐标公式：已知A、B M为AB的中点,则：M=( , )

10、点的平移特征：  在平面直角坐标系中，

将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（ x-a，y）；

将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）；

将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；

将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。

注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

函数的基本知识：

基本概念

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

   常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

   *判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

  （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

  （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

  （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

  （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

  （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

7、 

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

一次函数

1、定义与定义式：

自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）

则称y是x的一次函数,特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

2、一次函数的性质：

y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k,即 △y/△x=k

3、一次函数的图象及性质：

1)     作法与图形：（1）列表（一般找4-6个点）；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象。（用平滑的直线连接）

2)     性质：在一次函数图象上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

3)     k，b与函数图象所在象限。

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

4、在y=kx+b中,两个坐标系必定经过(0,b)和(-b/k,0)两点

k>0，b>0      k>0，b<0         k<0，b>0         k<0，b<0

5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

6、两条直线交点坐标的求法：

   方法：联立方程组求x、y 

   例题：已知两直线y＝x+6  与y＝2x-4交于点P，求P点的坐标？

7、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系

（1）两条直线平行：k1=k2且b1b2

（2）两直线相交：k₁k₂

（3）两直线重合：k₁=k₂且b₁=b₂

平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线

8、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.

9、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

10、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.

11、一次函数与二元一次方程组

    （1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.

（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.

12、函数应用问题 （理论应用 实际应用）

（1）利用图象解题  通过函数图象获取信息，并利用所获取的信息解决简单的实际问题.

（2）经营决策问题  函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案，最佳策略等问题.建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知题.

反比例函数

1. 反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx-1(k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数,反比例函数的图像为双曲线。

2. 反比例函数的概念需注意以下几点：(1)(k为常数，k≠0）； (2)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；（3）因变量y的取值范围是y≠0的一切实数．

3. 因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.

4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|

二次函数

1.      一般地，自变量x和因变量y，y是x的函数之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c (a≠0)a，b，c为常数，a≠0，则称y为x的二次函数。

2.      二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）] 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))

交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]

其中x1，2= (-b±√(b^2－4ac))/(2a) (即一元二次方程求根公式)

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

    h =-b/2a       k =(4ac-b²)/4a    x1,x2 =(-b±√b²-4ac)/2a二次函数的图像

3. 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，

二次函数可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

二次函数标准画法步骤

（在平面直角坐标系上）

（1）列表     （2）描点      （3）连线

4. 抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)

二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax^2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

 

第二篇：初中数学专题复习——函数1

初中数学专题复习——函数１

1．求下列自变量的取值范围（1）y=2x²+x-1          (2) y=          (3) y=

(4)y=          (5) y=        (6)  y=

2．①点A(x,y)是平面直角坐标系中的一点，若xy<0，则点A在     象限；若x=0则点A在     ；若x<0，y≠0则点A在    ; 若xy>0，且x=y, 则点A在    

②已知点A(a,b), B(a,－b), 那么点A,B关于       对称，直线AB平行于    轴

③点P(－4,－7)到x轴的距离为      ，到y轴的距离为        ，到原点距离为       

④已知P是第二象限内坐标轴夹角平分线上一点，点P到原点距离为4，那么点P坐标为       

⑤以点P（3，0）为圆心，5为半径的圆与X轴的交点坐标为       与Y轴的交点坐标        

3．已知函数y=(2m-1)

(1) 当m= ______,n=______时，图象是过原点的直线

(2) 当m=______,n=________，直线在Y轴上的截距是4

(3) 当m=______n=_______,图象是直线且Y随X增大而减小

4．如果y=y₁-y₂,其中y₁与x+1 成正比例，y₂与x²成反比例，且函数图象经过（-1，2）和（1，3）求y与x间的函数关系式

5．已知一次函数的图象与直线 y=-2x+3平行，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求一次函数的解析式

6．已知二次函数y=x²+ax+b的对称轴为直线x=-1,且最低点在直线 y=x-5上，求二次函数的解析式

7．一水池可蓄水50m³,水管每小时可向空水池注水4m³ ,那么水池中的水V（m³ ）与注水时间t(小时)间函数关系，并画出图象

8．已知函数y=(k+2)x²-4kx+4(k+1)的图象与x轴有交点，求k的取值范围

9．已知一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=ax²+bx+c  (a>0)的图象相交于点Ａ（-2，-1）和Ｂ（６，３）

①求这个一次函数的解析式

②设该二次函数的图象与y轴的负半轴交于点Ｃ，若DＡＢＣ的面积等于１２，求二次函数的解析式

10.已知抛物线y=x²-(m-3)x-m 

(1)证明无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个不同的交点

（2）m为何值时，抛物线与Ｘ轴的两个交点的横坐标的平方和是６.

11.抛物线y=x²-2mx+m-4,与x轴交于点Ａ、Ｂ，若ＡＢ两点的距离为４，求m的值

12.已知点Ａ（－１，－１），在抛物线y=(k²-1)x²-2(k-2)x+1上，

（１）求抛物线的对称轴

（２）若Ｂ点与Ａ点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点Ｂ的直线？如果存在，求符合条件的直线，如果不存在，说明理由

13.如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标分别为，动点分别从同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于，连结，已知动点运动了秒．

(1)点的坐标为(                ，              )(用含的代数式表示)；

(2)试求面积的表达式，并求出面积的最大值及相应的值；

(3)当为何值时，是一个等腰三角形？简要说明理由．