小学奥数分数求和专题归纳与总结(5800字)

来源:m.fanwen118.com时间:2021.5.11

小学奥数分数求和专题归纳与总结

分数求和

分数求和的常用方法:

1、公式法,直接运用一些公式来计算,如等差数列求和公式等。 2、图解法,将算式或算式中的某些部分的意思,用图表示出来,从而找出简便方法。

3、裂项法,在计算分数加、减法时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以互相抵消,从而使计算简便。4、分组法,运用运算定律,将原式重新分组组合,把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。5、代入法,将算式中的某些部分用字母代替并化简,然后再计算出结果。

典型例题 一、公式法:

计算:

12008+232008+2008分析:这道题中相邻两个加数之间相差可以运用等差数列求和公式:12008+22008+32008+42008+=(120072008+2008)×2007=100312

二、图解法:

42008+…+末项)×项数÷…+200620082

20062008+2007

2008

1

2008

,成等差数列,我们

2来计算。

2007

2008

++(首项+÷

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计算: +++

121418111

++

641632

分析:解法一,先画出线段图:

小学奥数分数求和专题归纳与总结

从图中可以看出:解法二:观察算式,可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因此,只要添上一个加数算式之和。12 +14+=112 +4=112 +4……

=1

2 ×2-

=6364

解法三:由于题中后一个加数总是前一个加数的一半,我们可以把原式扩大设x=1

2

那么,2x=②

用②-①得

1

+1112

++

16+1

32

+14

8

64=1-164,就能凑成1

32

,依次向前类推,可以求出

118+116+1

32+64 111118+16+1

32+(64+64)-64 1118+16+(132+1

32

)-64 164

2倍,然后两式相减,消去一部分。1+1+14816+1

132

+64

(1

+1+1+

11248

16+1

32+64)×2

12

+114+8+

16364=64根据这一特点,116

1

32

++ +=1+

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2x-x=1+ +++

11111111111

+-( +++++)

248163224816x=

63

64 所以,11111

1632 +4+8+16+32

+64=64

三、裂项法 1、计算:1

+1+

112+11112

6

20+30+……+90

+110 分析:由于

1,先分解分母去找规律:×2,6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6,……110=10分母均为两个连续自然数的乘积。

再变数型:因为1

12

=

1?2=1-12,16=12?3=12-13,14,……,1110=110?11=110-111

。这样将连加运算变成加减混合运算,中间分数互相抵消,只留下头和尾两个分数,给计算带来方便。11111112+6+12+20+30+……+90

+110 =1-1111112+2-3+3-4+……+1119-10+10-11

=1-111

=1011

2、计算:

11?5+15?9+1119?13

+……+29?33+33?37分析:因为41?5=1-1415,5?9=1411

5-9,9?13=9-13

……133

,433?37=133-137。所以,我们可以将题中的每一个加数都扩大倍后,再分裂成两个数的差进行简便计算。

11?5+1115?9+19?13

+……+29?33+33?37 =(41?5+44

445?9+9?13

+……+29?33+33?37)÷4

32

642=1

×11,这些1

112=13?4=3

429?33=129-

43

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111111111

+……+-+-)÷4

=(1-+-+-

55991329333337=(1-1

37)÷4

=937

3、计算:21-44443-15-435-463-44

99-143-195-255

分析:因为43=4×13=4×1

1?3

=4×(1-113)×2,

411115=4×1

15

=4×3?5=4×(3-5)×12,

411135=4×1

35

=4×5?7=4×(5-17)×2,

……

4255=4×1255=4×115?17=4×(11

115-17

)×2.

所以,先用裂项法求出分数串的和,使计算简便。

21-4

43

15-435-463-499-444143-195-255

=21-4×(1-1113+3-1111

5+5-7+……+15-17=21-2×(1-1

17

)

=19217

4、计算:12+56+11

12

+1920+2930+……+970198999702+9900

分析:仔细观察后发现,每个加数的分子均比分母少1.这样可变形

为:1=1-1=1-

1221?2,511111

6=1-6=1-2?3,12=1-12=1-=1-119899120=1-4?5,9900=1-9900=1-199?100.然后再裂项相消。1519292+6+11

12

+20+30+……+97019702+98999900 =(1-111

12)+(1-6)+(1-12

)+(1-20)+……+(1=1×99-(111

112+6+12+20+……+9900)

=99-(11111

1?2+2?3+3?4+4?5+……+99?100

)

=99-(1-1

100

)

12

13?4,1920

-19900)

)×

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=991 100

5、计算:1+1111??+……+ 1?21?2?31?2?3?41?2?3?......?100

分析:可以看出,第一项的分母为1,第二项的分母为两个数相加,依此类推,最后一个分母是100个数相加且都是等差数列。这样,利用等差数列求和公式,或利用分数基本性质,变分母为两个数相乘。再裂项求和。

1111??+……+ 1?21?2?31?2?3?41?2?3?......?100

1?21111=+ ???......?(1?100)?1001?2(1?2)?2(1?3)?3(1?4)?4

2222

22222????......?= 1?22?33?44?5100?101

1=2×(1-) 101

99=1 101解法一:1+

解法二:原式=

21?21?21?21?2????......?1?22?(1?2)2?(1?2?3)2?(1?2?3?4)2?(1?2?......?99?100)2222???......? 1?22?33?4100?101

1111???......?=2×() 1?22?33?4100?101

1=2×(1-) 101

99=1 101

1111???…+6、计算: 1?2?32?3?43?4?598?99?100=

分析:可以把题中的每两个加数分解成两个分数之差:

11111111??(?),??(?),…… 1?2?321?22?32?3?422?33?4

1111??(?),此时,可消中间,留两头进行巧算。 98?99?100298?9999?100

1111111??原式=×()+×()+……+×2221?22?32?33?4

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11

?) 98?9999?1001111111

???=×(++……+)

21?22?32?33?498?9999?100111

?=×()

21?299?1004949= 19800

1234567

+--++--2004200420042004200420042004

89101999200020012002

++-……--++ 2004200420042004200420042004

2

分析:算式中共有2002个分数,从第二个分数开始依次往后数,

2004

2001

每四个分数为一组,到为止,共有500组,每组计算结果都是

2004

四、分组法:0.

12345678

+(--+)+(--+2004200420042004200420042004200491019981999200020012002

)+-……+(--+)+ 200420042004200420042004200412002=+ 200420042003= 2004

原式=

五、代入法:计算(1+??)×(???)-(1+???)×(??)

分析:可以把算式中相同的一部分式子,设字母代替,可化繁为简,化难为易。

设??=A,???=B,则 原式=(1+A)×B-(1+B)×A =B+AB-A-AB =B-A

12

13

14

12

13

14

15

12

13

14

12

13

14

12

13

14

15

12

13

14

15

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=(???)-(??) =

热点习题

计算:

135791113??????【1】 49494949494949

111111112、1???????【】 128248163264128

61111113、?????【】 72612203042

11111???......??4、 1988?19891989?19901990?19912007?20082008?2009

113??【】 19882009570556

111111???......??5、【】 13?1515?1717?1935?3737?3939

1111156、2+3?5?7?11?13【41】 61220304214

11511192941557、??????【6】 8261220304256

104163664100144196256324400?????8、????【10】 21315356399143195255323399

5791113151719219、1????????? 612203042567290110

4?55?66?77?82?33?48?99?10【原式=1-+-+-+-+-4?55?66?77?82?33?48?99?10

10?11 10?11

2334451011????=1-()+()-()+…-() 2?32?33?43?44?54?510?1110?11

11111111=1-(?)+(?)-(?)+…-(?) 3243541110

119=1-?=】 21122

12345678910、+++----++200220022002200220022002200220022002

1019951996199719981999200020012002+…++----++ 200220022002200220022002200220022002

3【从第三个分数开始依次往后数,每8个分数为一组,到最后一200215121314151213141、

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2002

为止,共有250组,每组计算结果都是0.所以,原式2002

312

=+=】 200220022002

11111111111111

11、(1+???)×(????)-(1+????)×

23452345623456

1111(???) 2345

1111111111

【设1+???=A,???=B,原式=A×(B+)-(A+)

个分数

23452345

6×B=1

6

1212?(13?23)?(14?24?34)?(15?25?35?45)+…+(12320?20?20【原式=11

11112+1+12

+2+22+…+92=(2+92)×19÷2=95】13、20xx年是中国共 产 党建党801921

2001

是个有特殊意义的分数。

如果下式大于1921

2001

,那么n最小等于多少?

11?2?12?3?13?4?......?1n?(n?1)

【1-

1n?1>19212001,n>241

8

】 14、1?

21?(1?2)?3(1?2)?(1?2?3)?4

(1?2?3)?(1?2?3?4)

-……-10

(1?2?3?......?9)?(1?2?3?......?10)

【先对分母用等差数列求和,再整体裂项求和。

原式=1-

4441?2?3?2?3?4?3?4?5-…-4

9?10?11

=1-4×[112×(1?2?1112?3)+2×(2?3?13?4

)+(11

9?10?10?11

) =1-4×12×(11?2?110?11)=1

55】

15、1111

22?1?42?1?62?1?.......?1002?1

【利用公式

11?1a2?1?2???a?1?1?

a?1??

变形各项 6...?181920?20

…+12×

。原式8

?

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=???111?50】 ??=2?2?1100?1?101

(22?42?62?......?1002)?(12?32?52?......?992)16、 1?2?3?......?10?9?8?......?1

【利用a2?b2??a?b??a?b?变形,分母=100,分子=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+…+(100+99)(100-99)=3+7+11+…+199=101×50,原式=101?50

100

5012】 9 =


第二篇:小学奥数分数求和专题总结 5500字

分数求和

分数求和的常用方法:

1、公式法,直接运用一些公式来计算,如等差数列求和公式等。

2、图解法,将算式或算式中的某些部分的意思,用图表示出来,从而找出简便方法。

3、裂项法,在计算分数加、减法时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以互相抵消,从而使计算简便。

4、分组法,运用运算定律,将原式重新分组组合,把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。

5、代入法,将算式中的某些部分用字母代替并化简,然后再计算出结果。

典型例题

一、公式法: 123420062007++++…++ 200820082008200820082008

1分析:这道题中相邻两个加数之间相差,成等差数列,我们可以运用等差数列求2008计算:

和公式:(首项+末项)×项数÷2来计算。

123420062007++++…++ 200820082008200820082008

12007=(+)×2007÷2 20082008

1=1003 2

二、图解法: 计算:111111 +++++ 248163264

分析:解法一,先画出线段图:

小学奥数分数求和专题总结

从图中可以看出:111111631 +++++=1-= 2481632646464

解法二:观察算式,可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因此,只要添上一个加数11,就能凑成,依次向前类推,可以求出算式之和。 6432

111111 +++++ 248163264

11111111= +++++(+)- 2481632646464

1111111= ++++(+)- 24816643232

…… 11 ×2- 264

63= 64=

解法三:由于题中后一个加数总是前一个加数的一半,根据这一特点,我们可以把原式扩大2倍,然后两式相减,消去一部分。

111111 +++++ ① 248163264

111111那么,2x=( +++++)×2 248163264

11111=1+ ++++ ② 2481632设x=

用②-①得

11111111111 ++++-( +++++) 2481632248163264

63x= 64

11111631所以, +++++= 248163264642x-x=1+

三、裂项法

1、计算:1111111+++++……++ 2612203090110

分析:由于每个分数的分子均为1,先分解分母去找规律:2=1×2,6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6,……110=10×11,这些分母均为两个连续自然数的乘积。 11111111111==1-,==-,==-,……,21?2262?323123?434

1111==-。这样将连加运算变成加减混合运算,中间分数互相抵消,只留下头11010?111011再变数型:因为

和尾两个分数,给计算带来方便。

1111111+++++……++ 2612203090110

111111111=1-+-+-+……+-+- 223349101011

1=1- 11

10= 11

2、计算:11111+++……++ 29?3333?371?55?99?13

分析:因为14111141441=1-,=-,=-……=-,55?9599?1391329?33291?533

411=-。所以,我们可以将题中的每一个加数都扩大4倍后,再分裂成两个数33?373337

的差进行简便计算。

11111+++……++ 29?3333?371?55?99?13

44444=(+++……++)÷4 29?3333?371?55?99?13

111111111=(1-+-+-+……+-+-)÷4 55991329333337

1=(1-)÷4 37

9= 37

444444443、计算:21-------- 315356399143195255

41111分析:因为=4×=4×=4×(1-)×, 33321?3

411111 =4×=4×=4×(-)×, 15153?5352

111141 =4×=4×=4×(-)×, 5?75723535

……

111411=4×=4×=4×(-)×. 15?1715172255255

所以,先用裂项法求出分数串的和,使计算简便。

44444444------- 315356399143195255

11111111=21-4×(1-+-+-+……+-)× 3355715172

1=21-2×(1-) 17

2=19 17

15111929970198994、计算:+++++……++ 2612203097029900

111分析:仔细观察后发现,每个加数的分子均比分母少1.=1-=1-,221?2

511111119119899=1-=1-,=1-=1-, =1-=1-,……,=1-662?312123?420204?5990011=1-.然后再裂项相消。 990099?10021-

1511192997019899+++++……++ 2612203097029900

11111=(1-)+(1-)+(1-)+(1-)+……+(1-) 2612209900

11111=1×99-(++++……+) 2612209900

11111=99-(++++……+) 1?22?33?44?599?100

1=99-(1-) 100

1=99 100

11115、计算:1++……+ ??1?21?2?31?2?3?41?2?3?......?100

分析:可以看出,第一项的分母为1,第二项的分母为两个数相加,依此类推,最后一个分母是100个数相加且都是等差数列。这样,利用等差数列求和公式,或利用分数基本性质,变分母为两个数相乘。再裂项求和。

1111+……+ ??1?21?2?31?2?3?41?2?3?......?100

1?21111=+ ???......?(1?100)?1001?2(1?2)?2(1?3)?3(1?4)?4

2222

22222= ????......?1?22?33?44?5100?101

1=2×(1-) 101

99=1 101解法一:1+

解法二:原式=

21?21?21?21?2????......?1?22?(1?2)2?(1?2?3)2?(1?2?3?4)2?(1?2?......?99?100)2222 ???......?1?22?33?4100?101

1111=2×() ???......?1?22?33?4100?101

1=2×(1-) 101

99=1 101

11116、计算: ???…+1?2?32?3?43?4?598?99?100=

分析:可以把题中的每两个加数分解成两个分数之差:

11111111??(?),??(?),…… 1?2?321?22?32?3?422?33?4

1111??(?),此时,可消中间,留两头进行巧算。 98?99?100298?9999?100

111111111原式=×()+×()+……+×() ???21?22?322?33?4298?9999?1001111111=×(++……+) ???21?22?32?33?498?9999?100

111=×() ?21?299?100

4949= 19800

12345678+--++--+20042004200420042004200420042004

9101999200020012002+-……--++ 200420042004200420042004

2分析:算式中共有2002个分数,从第二个分数开始依次往后数,每四个分数为一组,2004

2001到为止,共有500组,每组计算结果都是0. 2004

123456789原式=+(--+)+(--+)2004200420042004200420042004200420041019981999200020012002+-……+(--+)+ 200420042004200420042004

12002=+ 20042004

2003= 2004四、分组法:计算,

五、代入法:计算(1+11111111111111×(???)-(1+???)×(??) ??)23423452345234分析:可以把算式中相同的一部分式子,设字母代替,可化繁为简,化难为易。 设1111111??=A,???=B,则 2342345

原式=(1+A)×B-(1+B)×A

=B+AB-A-AB

=B-A 1111111???)-(??) 2345234

1= 5=(

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计算:

135791113【1】 ??????49494949494949

111111112、1????【】 ???248163264128128

11111163、??【】 ???26122030427

111114、 ???......??1988?19891989?19901990?19912007?20082008?2009

113【】 ??19882009570556

1111115、【】 ???......??13?1515?1717?1935?3737?3939

1111156、2+3?5?7?11?13【41】 61220304214

15111929415517、??????【6】 2612203042568

4163664100144196256324400108、?【10】 ????????31535639914319525532339921

5791113151719219、1?? ???????612203042567290110

2?33?44?55?66?77?88?99?1010?11【原式=1-+-+-+-+- 2?33?44?55?66?77?88?99?1010?11

2334451011=1-()+()-()+…-() ????2?32?33?43?44?54?510?1110?11

11111111=1-(?)+(?)-(?)+…-(?) 3243541110

119=1-?=】 21122

1234567891010、+++----++200220022002200220022002200220022002200219951996199719981999200020012002+…++----++ 20022002200220022002200220022002

32002【从第三个分数开始依次往后数,每8个分数为一组,到最后一个分数为止,20022002

312共有250组,每组计算结果都是0.所以,原式=+=】 200220022002

1111111111111111、(1+???)×(????)-(1+????)×23452345623456

1111(???) 2345

11111111111【设1+???=A,???=B,原式=A×(B+)-(A+)×B=】 234523456661、

11212312341231819) ?(?)?(??)?(???)+…+(???...??23344455552020202020111111【原式=+1+1+2+2+…+9=(+9)×19÷2=95】 222222

1921192113、20xx年是中国共 产 党建党80是个有特殊意义的分数。如果下式大于,2001200112、

那么n最小等于多少?

1111 ???......?1?22?33?4n?(n?1)

【1-119211>,n>24】 n?120018

234-……- ??1?(1?2)(1?2)?(1?2?3)(1?2?3)?(1?2?3?4)14、1?

10 (1?2?3?......?9)?(1?2?3?......?10)

【先对分母用等差数列求和,再整体裂项求和。

4444-…- ??1?2?32?3?43?4?59?10?11

111111111=1-4×[×()+×()+…+×() ???229?1010?111?22?322?33?4

1111=1-4××()=】 ?21?210?1155

111115、2 ?2?2?.......?2?14?16?11002?1原式=1-

【利用公式11?11?1?11?50?????变形各项。原式=】 ????=2a?12?a?1a?1?2?2?1100?1?101

(22?42?62?......?1002)?(12?32?52?......?992)16、 1?2?3?......?10?9?8?......?1

【利用a?b??a?b??a?b?变形,分母=100,分子=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+…22

+(100+99)(100-99)=3+7+11+…+199=101×50,原式=

101?501=50】 1002

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