高中数学必修4之平面向量
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1、向量的概念:
①向量:既有大小又有方向的量 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
②零向量:长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行
③单位向量:模为1个单位长度的向量
④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量
⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量
2、向量加法:设,则+==
(1);(2)向量加法满足交换律与结合律;
,但这时必须“首尾相连”.
3、向量的减法: ① 相反向量:与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量
②向量减法:向量加上的相反向量叫做与的差,③作图法:可以表示为从的终点指向的终点的向量(、有共同起点)
4、实数与向量的积:实数λ与向量的积是一个向量,记作λ,它的长度与方向规定如下:
(Ⅰ); (Ⅱ)当时,λ的方向与的方向相同;当时,λ的方向与的方向相反;当时,,方向是任意的
5、两个向量共线定理:向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=
6、平面向量的基本定理:如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使:,其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
二.平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示:平面内的任一向量可表示成,记作=(x,y)。
2平面向量的坐标运算:
(1) 若,则
(2) 若,则
(3) 若=(x,y),则=(x, y)
(4) 若,则
(5) 若,则
若,则
三.平面向量的数量积
1两个向量的数量积:
已知两个非零向量与,它们的夹角为,则·=︱︱·︱︱cos
叫做与的数量积(或内积) 规定
2向量的投影:︱︱cos=∈R,称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影
3数量积的几何意义: ·等于的长度与在方向上的投影的乘积
4向量的模与平方的关系:
5乘法公式成立:
;
6平面向量数量积的运算律:
①交换律成立:
②对实数的结合律成立:
③分配律成立:
特别注意:(1)结合律不成立:;
(2)消去律不成立不能得到
(3)=0不能得到=或=
7两个向量的数量积的坐标运算:
已知两个向量,则·=
8向量的夹角:已知两个非零向量与,作=, =,则∠AOB= ()叫做向量与的夹角
cos==
当且仅当两个非零向量与同方向时,θ=00,当且仅当与反方向时θ=1800,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
9垂直:如果与的夹角为900则称与垂直,记作⊥
10两个非零向量垂直的充要条件:
⊥·=O平面向量数量积的性质
高中数学必修4知识点总结
第二章 平面向量
16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为的向量.
单位向量:长度等于个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
⑶三角形不等式:.
⑷运算性质:①交换律:;
②结合律:;③.
⑸坐标运算:设,,则.
18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设,,则.
设、两点的坐标分别为,,则.
19、向量数乘运算:
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作.
①;
②当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,.
⑵运算律:①;②;③.
⑶坐标运算:设,则.
20、向量共线定理:向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使.
设,,其中,则当且仅当时,向量、共线.
21、平面向量基本定理:如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数、,使.(不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底)
22、分点坐标公式:设点是线段上的一点,、的坐标分别是,,当时,点的坐标是.(当
23、平面向量的数量积:
⑴.零向量与任一向量的数量积为.
⑵性质:设和都是非零向量,则①.②当与同向时,;当与反向时,;或.③.
⑶运算律:①;②;③.
⑷坐标运算:设两个非零向量,,则.
若,则,或. 设,,则.
设、都是非零向量,,,是与的夹角,则.
第三章三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴;⑵;
⑶;⑷;
⑸ ();
⑹ ().
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴.
⑵
升幂公式
降幂公式,.
⑶.
26、
(后两个不用判断符号,更加好用)
27、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 形式。,其中.
28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下:
(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如:
①是的二倍;是的二倍;是的二倍;是的二倍;
②;问: ; ;
③;④;
⑤;等等
(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。
(3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有:
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式常用升幂化为有理式,常用升幂公式有: ; ;
(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。
如:; ;
;;
;;
; ;
;
= ;
= ;(其中 ;)
; ;
(6)三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;
基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值与特殊角的三角函数互化。
如: ;
。
高考圈让高考没有难报的志愿高中数学必修4之平面向量一向量的基本概念与基本运算1向量的概念向量既有大小又有方向的量向量不能比较大小但…
平面向量一向量的基本概念与基本运算向量abc来表示或用有向线段的起点与终点的大写字母表示如ABABa坐标表示法axiyjxy向量的…
高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念:①向量:既有大小又有方向的量向量不能比较大小,但向量…
数学必会基础题型平面向量基本概念与公式任何时候写向量时都要带箭头1向量既有大小又有方向的量记作AB或a2向量的模向量的大小或长度记…
高中数学必修4之平面向量知识点归纳一向量的基本概念与基本运算1向量既有大小又有方向的量abc来表示或用有向线段的起点与终点的大写字…
高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念:①向量:既有大小又有方向的量向量不能比较大小,但向量…
高中数学必修4之平面向量一.向量的基本概念与基本运算???①向量:既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c??来表示,或用有向线段…
平面向量知识点知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念:①向量:既有大小又有方向的量向量不能比较大小,但向量的模可以比…
必修4平面向量一.向量的基本概念与基本运算???①向量:既有大小又有方向的量a,b,c??来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字…
高中数学必修4知识点总结第二章平面向量16、向量:既有大小,又有方向的量.数量:只有大小,没有方向的量.有向线段的三要素:起点、方…
《数学》必会基础题型——《平面向量》【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB或a…