高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量

知识点归纳

一.向量的基本概念与基本运算

1、向量的概念:

①向量:既有大小又有方向的量 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.

②零向量:长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行

③单位向量:模为1个单位长度的向量

④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量

⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量

2、向量加法:设,则+==

(1);(2)向量加法满足交换律与结合律;

,但这时必须“首尾相连”.

3、向量的减法:  ① 相反向量:与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量

②向量减法:向量加上的相反向量叫做的差,③作图法:可以表示为从的终点指向的终点的向量(有共同起点)

4、实数与向量的积:实数λ与向量的积是一个向量,记作λ,它的长度与方向规定如下:

(Ⅰ); (Ⅱ)当时,λ的方向与的方向相同;当时,λ的方向与的方向相反;当时,,方向是任意的

5、两个向量共线定理:向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=

6、平面向量的基本定理:如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使:,其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

二.平面向量的坐标表示

1平面向量的坐标表示:平面内的任一向量可表示成,记作=(x,y)。

2平面向量的坐标运算:

(1) 若,则

(2) 若,则

(3) 若=(x,y),则=(x, y)

(4) 若,则

(5) 若,则

,则

三.平面向量的数量积

1两个向量的数量积:

已知两个非零向量,它们的夹角为,则·=︱︱·︱︱cos

叫做的数量积(或内积) 规定

2向量的投影:︱︱cos=∈R,称为向量方向上的投影投影的绝对值称为射影

3数量积的几何意义: ·等于的长度与方向上的投影的乘积

4向量的模与平方的关系:

5乘法公式成立:

6平面向量数量积的运算律:

①交换律成立:

②对实数的结合律成立:

③分配律成立:

特别注意:(1)结合律不成立:

(2)消去律不成立不能得到

(3)=0不能得到==

7两个向量的数量积的坐标运算:

已知两个向量,则·=

8向量的夹角:已知两个非零向量,作=, =,则∠AOB= ()叫做向量的夹角

cos==

当且仅当两个非零向量同方向时,θ=00,当且仅当反方向时θ=1800,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

9垂直:如果的夹角为900则称垂直,记作

10两个非零向量垂直的充要条件

·=O平面向量数量积的性质

 

第二篇:高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量 2

高中数学必修4知识点总结

第二章  平面向量

16、向量:既有大小,又有方向的量.   数量:只有大小,没有方向的量.

有向线段的三要素:起点、方向、长度.  零向量:长度为的向量.

单位向量:长度等于个单位的向量.

平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.

相等向量:长度相等且方向相同的向量.

17、向量加法运算:

⑴三角形法则的特点:首尾相连.

⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式:

⑷运算性质:①交换律:

②结合律:;③

⑸坐标运算:设,则

18、向量减法运算:

⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.

⑵坐标运算:设,则

两点的坐标分别为,则

19、向量数乘运算:

⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作

②当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,

⑵运算律:①;②;③

⑶坐标运算:设,则

20、向量共线定理:向量共线,当且仅当有唯一一个实数,使

,其中,则当且仅当时,向量共线.

21、平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使.(不共线的向量作为这一平面内所有向量的一组基底)

22、分点坐标公式:设点是线段上的一点,的坐标分别是,当时,点的坐标是.(当

23、平面向量的数量积:

.零向量与任一向量的数量积为

⑵性质:设都是非零向量,则①.②当同向时,;当反向时,.③

⑶运算律:①;②;③

⑷坐标运算:设两个非零向量,则

,则,或. 设,则

都是非零向量,的夹角,则

第三章三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

;⑵

;⑷

    ();

    ().

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

升幂公式

降幂公式.  

 ⑶

26、

                                                                                    

                                                 (后两个不用判断符号,更加好用)

27、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 形式。,其中

28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下:

1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如:

的二倍;的二倍;的二倍;的二倍;

;问:                  

;④

;等等

2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。

3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有:

    

4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有:                               。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式常用升幂化为有理式,常用升幂公式有:                                 

5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。

    如:

                                    

             

                      =                      

                       =                       ;(其中    ;)

                                        

6)三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手

基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值与特殊角的三角函数互化。

如:                      

                                 。 

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