量子力学和物质波

摘 要：量子力学是20世纪最成功的理论之一，物质波是量子力学从建立到完成过程中

起决定性作用的概念之一。本文从量子力学的建立和发展过程出发，对量子力学与物质波的

关系给出了论证：量子力学的建立过程就是对物质波的认识过程；量子力学的框架就是围绕

粒子的波动性（波函数）来完成的；量子力学的含义就是给物质波一个物理解释。文章最后 作者根据自己的观点给出了解决“量子物理论战”的一条可能途径。

关键词：量子力学；物质波；波粒二象性

1 引言

量子力学是关于微观粒子运动的一门科学，其核心内容是描述微观粒子的波粒二象性——微

观粒子的运动规律类似于波的运动；而微观粒子在被一些实验手段测量时又体现经典粒子的

性质，如，具有动量、质量、电荷——这看似矛盾的性质被统一于物质波的概念中。虽然我

们对量子力学仍有疑问，但是它的成功已经被无数实验确认，而且数学证明它也是自洽的，它自身的内部体系已经变得几乎无懈可击；所以我们要有所突破只能从外部，从它的假设入

手。我想，最有可能突破的就是它的统计解释，也就是量子力学的主要任务——描述物质波。当然这一切需要实验的支持。由此可见物质波对于量子力学的意义。本文将从量子力学的建

立、体系、含义和物质波三方面论述二者的关系；并且为解决“量子物理论战”问题做了尝试。为了论述方便，本文提到的很多实验仅仅是给出了结论性描述，如果需要详细的资料可以查

阅本文的参考资料。

2 量子力学的建立与物质波

量子力学是20世纪最成功的物理理论之一，熟悉它的建立过程对我们更好的理解量子力学

会有很大的帮助。我们将会看到，量子力学的建立过程就是对物质波的认识过程。

2.1量子物理的开始

2.1.1能量量子化的提出

19xx年12月14日，在德国物理学会的一次会议上，普朗克宣读了他的论文《正常光谱的

能量分布理论》。这篇开始几乎没人注意的文章因为使用内插法引入了普朗克常数h，漂亮

的解决了20世纪物理学上空的两朵乌云中之一----黑体辐射的问题，从而开创了物理学的新

纪元。人们也就把这篇文章发表的日期看作量子物理学的诞辰。这篇论文的功绩在于普朗克

常数h的引入表明了黑体空腔壁中起辐射作用的电子的能量是量子化的。

19xx年，爱因斯坦以勒纳总结出的光电效应性质作为光是粒子的依据，在普朗克的基础上

注意到辐射在发射和吸收时所表现的粒子性，在《关于光的产生和转化的一个启发性的观点》中提出光量子假说：能量在和物质相互作用时，不是连续的，而是集中在光量子上，光量子

的能量：

（1）

这个假说成功的解释了光电效应。密立根是这样评价光电效应的：“它把普朗克通过研究黑

体辐射而发现的量h物质化了，并且使我们完全相信，普朗克的著作所依据的主要物理概念

是同现实相符的。[2]”

2.1.2能量量子化的实验检验

19xx年，密立根用实验完全确认了爱因斯坦的光量子理论。19xx年，康普顿的X射线散射

实验证实了辐射的粒子性；在康普顿的“X射线在轻元素上的散射的量子理论”中写道：“这

个实验非常令人信服的指出，辐射量子确实既带有能量，也带有定向的动量。”

至此能量的量子化观念就完全建立起来了。需要说明的是，普朗克、爱因斯坦等人的关于能量量子化的工作虽然与物质波没有直接联系，但是确实为物质波的提出提供了很好的启示。

2.2量子力学的建立基础

2.2.1 物质波的提出

能量量子化观念建立以后，考虑到光子和实物粒子的类比，19xx年9月到10月间，德布罗意在《法国科学院通报》上先后发表了分别题为《辐射——波与量子》、《光学——光量子、衍射和干涉》、《量子、气体分子运动论和费马原理》的论文，逐步阐述了他关于物质波的思想，随后在19xx年向巴黎大学科学院提交的博士论文《量子理论研究》中完善了物质波的理论：能量子(光子)的波粒二象性同样也适应于物质，写出了有关物质波的关系式

2.2.2物质波的实验检验

19xx年，美国物理学家戴维逊、革末用电子束投射到镍单晶上，观察到和X射线照射同样的衍射现象。同年英国物理学家G?P?汤姆生通过快速电子穿过薄金属片，也观察到了衍射图样。他们的实验证实了德布罗意的假设。

至此物质波的概念就被验证是正确的了，它的确立使我们关于微观物质本性有了一个崭新的认识，随后重要的是建立描述物质波的详细数学理论了，这个理论是沿两条不同的道路建立的。

2.3量子力学的确立

2.3.1旧量子论

19xx年3月、6月和9月，玻尔在考察了氢光谱线的基础上把量子概念引入到了原子体系中，分三部分发表了《论原子的和分子的组成》，成功的解释了氢及类氢原子的光谱，建立了量子论。但这是一个经典理论加上量子化的不自洽的理论。

2.3.2量子力学的完成：

19xx年海森伯沿着波尔的足迹在《关于运动学和力学关系的量子论新释》中给出了新理论的数学表述体系，奠定了矩阵力学的基础，随后矩阵力学又在海森伯、波恩和约当的工作中共同完善起来。

19xx年薛定谔在德布罗意物质波的基础上通过光学和力学的类比在总题为《量子化是本征值问题》的4篇论文中给出了物质波的波动方程，建立了波动力学。

需要说明的是，薛定谔的工作完全是为了给物质波找一个方程，假如不是德布罗意关于物质波的思想，单靠薛定谔很难建立起波动力学，正如他自己所说：“这些考虑的灵感主要归于德布罗意先生的独创性论文。”

随后薛定谔证明了波动力学和矩阵力学的等价性。

19xx年狄拉克把量子力学和狭义相对论结合建立了相对论量子力学。从此量子力学的完整数学表述基本建立起来。[4]

2.4总结

物质波的概念在量子物理学发展过程中起了纽带的作用，它既深化了量子化的观念，把量子化推广到所有物质，使我们对世界物质有了新的认识；又是波动力学的出发点，正是对于物质波的追问，才导致了量子力学的诞生。

3 量子力学的体系与物质波

物质波的概念提出后，接下来的任务就是找到一个描述它的数学理论，这就导致了量子力学的建立。我们将看到量子力学的体系是怎样围绕物质波的概念建立的。

3.1量子力学的体系

一.由实验得出的一个出发点：微观粒子具有波粒二象性

二.随之而来的基本问题：

1.波函数（粒子波动性）的物理意义？

2.波函数如何随时间变化？

3.已知波函数，如何确定力学量的取值情况？

三.对基本问题的回答：基本假定

1.波函数及其物理意义

2.薛定谔方程

3.力学量与力学量算符

4.力学量的平均值

四.量子力学的数学任务

1.求解薛定谔方程

a.束缚态

b.（非束缚态）散射问题

c.量子跃迁

2.态的分析：

（对粒子的完全描述）即已知波函数，确定力学量的取值情况

3.2说明

(1)量子力学的产生是因为新的实验不能被经典物理学解释。所有新的实验全部指向一个事实：微观粒子具有波粒二象性。

(2)实物粒子的波动性不能被平常的物理经验所体现，因此是最难理解的问题，于是量子力学的基本问题就是解释这个波动性。

(3)与其他的物理问题不一样，量子力学对波动性的解释首先是通过基本假定——薛定谔方程（基本假定二）给出了数学描述（量子力学数学任务一），而不是物理解释（基本假定一）。关于物理解释参见本文第三部分。

(4)经典物理学关心的力学量的取值情况可以根据基本假定三和四，由波函数 ψ（r，t）确定下来；波函数对粒子提供完备描述（量子力学的数学任务二）。

3.3总结

可见量子力学的框架就是围绕粒子的波动性（波函数）来完成的。从德布罗意提出物质波概念到薛定谔写出物质波遵循的波动方程，再到狄拉克把波动方程同狭义相对论结合写出相对论量子力学后，量子力学的数学结构就完成了。

4 量子力学的含义与物质波

到19xx年薛定谔的波动力学完成，量子力学的数学结构就比较完善了，但是量子力学是关于什么的科学，它所描述的微观实物粒子的物质波是什么，它的含义是什么，还没有系统的给出描述。其实量子力学的含义就是给物质波一个物理解释。

物质波显然不是像薛定谔说的那样是简单的实物波包，因为那样的波泡不稳定，不能存在于自然界。其实物质波（波函数）的物理意义从它诞生以来就还没有给出令人信服的解释。当然有一个解释是被大多数人接受的，它就是哥本哈根解释。值得注意的是，大部分人接受哥本哈根解释并不是因为它的合理性，而是因为没有比它更能让人接受的解释。为了得到更令人信服的解释，“EPR悖论”和“薛定谔猫”向哥本哈根发起了强有力的质问。

4.1哥本哈根解释的基本要点

(1)波函数（物质波）的含义是由量子力学第一假设给出的：波函数Ψ本身没有意义，它的意义由|Ψ（r ，t）|2 确定的值给出：代表t时刻在r处找到粒子的几率。

(2)我们不能同时测得二个相互不对易的物理量的确切值，因为这由海森伯不确定关系决定。

(3)量子力学现行体系不仅是一个“完备的”理论，而且也是唯一的理论，即：某些问题不仅是量子力学所“不允许的”，而且也是我们的知识本性所“不允许的”。换句话说，量子力学的现行体系已经规定了我们知识的限度，也规定了我们探求理解的限度。

4.2哥本哈根解释存在的问题

哥本哈根解释是说，在波函数演化的过程中，不能说系统具有任何确定的特定力学量，例如粒子的动量或者位置。当我们测量系统的特定力学量的取值时，系统将以测量前决定特定力学量的|Ψ|2的值所决定的几率，跃入具有某个确定力学量取值的状态。[5]由此可见测量（意识）对于微观粒子是多么重要——如果我们不能确定粒子的力学量取值，我们能说粒子存在吗？如果粒子不能确定存在，那么粒子体现的性质，例如质量，电量将如何存在？难道月亮在我们不“看”的时候就不存在吗？而我们传统的物理观念认为“相信一个独立于意志的客观世界的存在”是我们科学存在的前提。

还有一个问题就是系统跃迁（波函数坍缩）时似乎存在一种超距作用，先不说它违背狭义相对论，至少量子力学没有给出波函数坍缩的描述，那么我们是不是能说量子力学提供了关于粒子的完备描述？

4.3不同的声音

正是考虑到上述两个问题，人们对物质波给出了不同于哥本哈根的解释，这里仅仅介绍两种比较成熟的解释。

(1)隐变量解释

玻姆认为哥本哈根学派的量子力学只给微观客体以统计性解释是不完备，19xx年他提出有必要引入一些附加的隐参量，这些隐参量确定体系的规律，如果能找到这些隐变量，就可以确定地决定对微观现象每一次测量的结果，而不是决定各种可能出现的结果的几率。玻姆的隐变量解释是第一个实在模型，它“打开了通往更微妙的实在底层的大门”，这一解释给那些坚持实在性观念的人们以更加坚定的信心，而这种信心必将指引他们最终发现量子实在的真实图像。

(2)多世界解释

19xx年，普林斯顿大学的研究生艾弗雷特三世公布了一个令所有人为之震惊的新理论，它就是量子力学的多世界解释：只要一个量子测量发生，每个宇宙分支以及这个分支中的分量就会导致一个可能的测量结果。每个处在某个特殊宇宙分支中的人都会认为他们的测量结果和所处的宇宙是唯一存在的。这些不同的宇宙分支几乎再也不能回到一起。多世界解释因为数学上的精确性，渐渐的被人们所接受。19xx年7月，在剑桥的牛顿研究所举行了一次关于量子计算的会议，其间人们对量子力学解释再一次进行了投票表决，结果如下： 量子力学的解释 投票数

多世界解释 30

哥本哈根解释 4

修正的量子动力学（GRW等） 4

隐变量解释 2

其他解释（包括未决定者） 50

值的注意的是，虽然多世界解释是客观的、连续的、因果的，但是它同样没有为波函数这一数学实体及其演化规律---薛定谔方程提供进一步的物理解释，同时，它也没有为隐藏在波函

数背后的神秘的量子实在提供一幅清晰的物理图像。[1]

4.4审判者——贝尔不等式

19xx年，期约翰?S?贝尔在定域性隐参量理论的基础上，提出了一个著名的关系——贝尔不等式:

｜P（a，b）-P（a，c）｜≤1+P（b，c） (3)

其中P（a，b），P（a，c）和P（b，c）分别表示：在a和b方向，a和c方向，b和c方向上分别测量粒子A和B的自旋投影的乘积AaBb、AaBc、AbBc的平均值——证明如果存在隐变量，那么实验观察到的概率应该在一个特定的界限之下。于是有可能对隐参量理论进行实际的实验检验，从而判断哥本哈根学派对量子力学的解释是否正确。最著名的是19xx年艾思贝克特的实验，它的结果不仅仅违背了贝尔定理，与量子理论非常一致，而且说明任何定域的隐变量理论都是值得怀疑的！但是我们不能说量子力学就是终极真理，它仍然必须接受新的实验的检验。

4.5可能的解决途径

关于量子力学的争论是由对微观粒子的波粒二象性的解释引起的，而概率解释的引入是问题争论的核心。第一个问题在于“真实”的定义是什么，这是个颇具有哲学味道的论题；第二个问题是关于波函数坍缩的描述，我看只能在实验方面给出确定的回答，如果能给出描述，那么第一个问题也就解决了。既然不能同时测量出波动性和粒子性的状态，那么我们是不是可以从微观粒子被我们测量到波动性或者粒子性的实验条件入手，找出波函数坍缩的条件，进而给出描写这种坍缩的数学理论，完成对微观粒子的完备描述？

光的粒子性主要反映在光和物质的相互作用中，特别反映在光的检测过程中。当我们用各种仪器（如光电管/计数器/云室）去检测可见光/x射线/γ射线时，在强度足够弱的情况下，只要仪器的时空分辨率足够高，我们接受到的总是一个个离散的电脉冲信号或径迹。即光总是同检测器工作物质的单个电子、原子或分子起作用，检测器对光的响应总是发生在短促的时间间隔和微小的空间区域内。这就是常说的光的粒子性[3]。既然电子的波动性由光子联想而来，那么光子的粒子性的体现是不是能对电子的粒子性的体现给出类似启示呢——波函数坍缩的条件、实物的粒子性也反映在粒子和物质的相互作用中，而且这种作用似乎和相互作用的能量有关——作用能量越低波动性越明显——实物粒子的存在是因为它们之间的相互作用，更进一步的想法是“真实”的仅仅是能量，其它的性质仅仅是能量的表现形式。有三个问题或许可以给出启示：

（1）自由电子——

自由电子不与其它物质发生相互作用，其位置是完全不确定的，其粒子性是体现不出来的，要想体现其粒子性，必须让它与物质发生相互作用，我们才能测量到。

（2）云室中的电子——

利用云室可以在实验室里看到电子的路径，但有条件，必须使电子成为凝聚核心（空气的体积膨胀比应在1.25和1.28之间），这个条件就和能量有关。

（3）BEC——

我们在极低的温度下已经观测到了BEC现象中微观粒子的相干波（波动性的体现），这时微观粒子的能量很低，相互作用也小。

还有一种可能就是存在违反狭义相对论的、我们未探测到的相互作用，这种作用可以传递信息,至少这样能解释艾思贝克特实验中波函数坍缩超光速的问题，这当然需要更好的实验确认。

4.6说明

虽然对量子力学有众多反面看法，但量子力学仍然是我们用来分析和综合物理经验，特别是微观物理经验的最基本的理论。我们也不知道这种情形能持续多久，量子力学的适用范围能

走多远，仅有一点可以肯定，修改量子力学的某些观念和图像的任何可靠要求，都必须来自全新的物理经验，而不是某种先验的思辩，虽然这种思辩能提供给我们探索的信念。[6]

5 结论

20世纪初建立的量子力学是对经典物理学的革命性突破，其中最重要也是最难理解的概念是物质波，它贯穿于整个量子力学。它不但使我们对于物质的性质有了崭新的认识，而且未来更新的认识也许需要从对它的物理解释入手找到突破。通过分析，我们看到物质波概念在量子力学中决定性的地位，可以说，物质波的存在一定意义上决定了量子力学的产生和发展！弄清它们之间的关系，对于我们更好的学习、理解、运用量子力学会有很大的帮助；对于我们日后发展新的理论也会有很好的启示。

参考文献

[1]高山.量子.清华大学出版社,2003

[2]（美）R?埃斯伯格,R?瑞斯尼克.量子物理学.吴伯泽,暴永宁,黄惠英译.北京工业学院出版社 1985

[3]赵凯华,罗蔚茵.量子物理.高等教育出版社,2001

[4]郭奕玲,沈慧君.物理学史.清华大学出版社,1993

[5]（美）S温伯格.终极理论之梦.李泳 译.湖南科学技术出版社,2003

[6]王正行. 量子力学原理.北京大学出版社,2003

 

第二篇：许昌学院本科论文 量子力学的发展及应用

　　　　  本科生毕业论文

    量子力学的发展及应用

院       系      电气信息工程学院    

专       业           物理学         

班       级          

学       号                

学 生 姓 名                    

联 系 方 式  　　         

指 导 教 师      职 称  副教授

     年 5 月

独 创 性 声 明

本人郑重声明：所呈交的毕业论文(设计)是本人在指导老师指导下取得的研究成果。除了文中特别加以注释和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果。与本研究成果相关的所有人所做出的任何贡献均已在论文(设计)中作了明确的说明并表示了谢意。

签名：                　

　　　　　　　　　　　　　　　　    　　年　　月　　日

授 权 声 明

本人完全了解许昌学院有关保留、使用本科生毕业论文(设计)的规定，即：有权保留并向国家有关部门或机构送交毕业论文(设计)的复印件和磁盘，允许毕业论文(设计)被查阅和借阅。本人授权许昌学院可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编论文(设计)。

本人论文(设计)中有原创性数据需要保密的部分为：无

                  签名：            

　　    　　年　　月　  　日

指导教师签名：             

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                  年　　月　  　日

摘  要

 

量子力学发展至今已有一百年了，它发展的道路并不是一帆风顺的。这一百年虽是艰难的，但是辉煌的。此后，人们发现量子力学与现代科技的联系日益紧密，它的发展潜力是不能低估的。本文从两个部分逐次论述了量子力学的发展及应用。第一部分是量子力学的发展，这部分阐述了早期量子论，量子力学的建立及量子力学的延拓。第二部分是量子力学的应用，这部分阐明了量子力学在固体物理和信息科学中的应用。

关键词：早期量子论；量子力学的建立；量子力学的延拓；量子力学的应用

     　

ABSTRACT

The development of quantum mechanics has been a hundred years, and it is not a smooth development path. Such a hundred years is difficult, but is also brilliant. Since then, it was discovered that the relation between quantum mechanics and modern science and technology was increasingly inseparable, and its development potential can not be underestimated . This article successively discusses the development and applications of quantum mechanics from two parts. The first part is the development of quantum mechanics, which describes the early quantum theory, the establishment of the quantum mechanics and the expansion of the quantum mechanics. The second part is the application of quantum mechanics, which explains the application of quantum mechanics in solid state physics and information science .

Key words:  the early quantum theory;  establishment of quantum mechanics;  expansion of

quantum mechanics ;  application of quantum mechanics

目  录

1 引言....................................................... 1

2 量子力学的发展............................................. 1

2.1 早期量子论............................................... 3

2.1.1普朗克的量子假说....................................... 3

2.1.2爱因斯坦的光量子理论................................... 3

2.1.3玻尔的原子理论......................................... 4

2.2 德布罗意物质波........................................... 4

2.3 量子力学的建立........................................... 5

2.3.1数学体系............................................... 5

2.3.2逻辑体系............................................... 7

2.3.3哲学体系............................................... 9

2.4 量子力学的延拓.......................................... 10

2.4.1量子电动力学.......................................... 10

2.4.2量子色动力学.......................................... 10

3 量子力学的应用............................................ 11

3.1 量子力学在固体物理上的应用............................... 11

3.2 量子力学在信息科学上的应用............................... 12

3.2.1量子计算机............................................ 12

3.2.2量子通信.............................................. 13

4 结束语.................................................... 14

参考文献.................................................... 16

致谢....................................................... 17

1  引言

量子力学诞生至今一百年。经过一百年的发展，它由原子层次的动力学理论，已经向物理学和其他学科以及高新技术延伸。而事实上，它已超出物理学范围；它不仅是现代物质科学的主心骨，又是现代科技文明建设的主要理论基础之一。所以说量子力学不仅适用于原子层次，而且还适用于亚原子-亚核的物质层次，从而延拓成量子场论体系；量子力学又可用于分子和大分子等物质层次，包括介观和宏观尺度的物质系统，从而致使凝聚态物理兴旺发达以至量子物理学不断地扩展，并使量子化学、生物学、医学等交叉学科日趋成熟。也正是因为现代物质科学的这些学科有了显著进步，才导致技术水准和社会生产力的大幅度提升。

建立在量子概念的量子力学及其物理诠释，促使人类的思想观念产生根本性转变；虽然这新概念很抽象，但就目前文明的空前繁荣而言，量子力学所产生的影响是相当广泛的。而看看量子力学的前沿性进展新貌，则会感到心驰神往。

量子力学可谓是量子理论的第二次发展层次，第一次常称作早期量子论，第三次就是量子场论。本文除了论述这三个层次以外，又说了它在现代物理乃至现代物质科学中的地位，阐述了它应用的状况。

2  量子力学的发展

19世纪末20世纪初，人们认为经典物理发展很完美的时候，一系列经典理论无法解释的现象一个接一个的发现了。经典力学时期物理学所探讨的主要是用比较直接的实验研究就可以接触到的物理现象的定理和理论。牛顿定理和麦克斯韦电磁理论在宏观和慢速的世界中是很好的自然规律。而对于微观世界的物理现象，经典物理学就显得无能为力，很多现象没发解释。这些困难被看做是“晴朗天空的几朵乌云”，正是这几朵乌云引发了物理界的变革。下面简述这几个困难：

⑴ 黑体辐射

完全黑体在与热辐射达到平衡时，辐射能量密度随频率变化会有一个曲线。韦恩从热力学普遍理论考虑以及分析实验数据的得出一个半经验公式。但是韦恩公式并不是与所有实验数据吻合的很好。在长波波段，韦恩公式与实验有严重偏离。瑞利和金斯根据经典电动力学和统计物理学也得出黑体辐射能量分布公式。他们得出的公式在长波部分与实验结果比较符合，而在短波部分则完全不符。这促使普朗克在韦恩公式和瑞利-金斯的公式之间寻求协调统一，结果得出一个两参数的普朗克公式，此公式不仅与实验符合的最好，而且形式最简单（韦恩公式除外）。

普朗克提出这个公式后，许多实验物理学家立即用它去分析了当时最精确的实验数据，发现符合的非常好。他们认为，这样简单的一个公式与实验如此符合，绝非偶然，在这公式中一定蕴藏着一个非常重要但尚为被人们揭示出的科学原理。

⑵ 光电效应

直到电子发现后，人们才认识到光电效应是由于紫外线照射，大量电子从金属表面逸出的现象。经过实验研究，发现光电效应呈现下列几个特点：

① 对于任何一种金属都有一个确定的临界频率。照射光频率必须大于临界频率时，才能观测到光电子从电极上逸出。

② 光电子的能量与照射光的频率有关，而与光强度无关。光强度只影响到光电流的强度即单位时间从金属电极单位面积上逸出的电子的数目。

③ 当入射光频率大于临界频率时，不管光多微弱，只要光一照上，几乎立刻观测到光电子。

这些都与经典电磁理论是不相符的，经典的电磁理论是无法解释这些特点的。

⑶ 原子的线状光谱及其规律

人们拥有很多关于光谱的资料，对这些资料进行整理与分析后，发现光谱线波长有一定的规律且原子光谱是呈分离的线状光谱而不是连续分布。这样人们自然会提出疑问：原子的线状光谱产生的机制是什么？这些谱线的波长为什么有这样简单的规律？

⑷ 原子的稳定性

卢瑟福的原子模型成功的解释粒子的大角度偏转，但它也是不完美的，还存在着一些问题：

关于原子的稳定性问题。由经典电动力学，电子绕核做的是加速运动，电子的能量会越来越少从而电子减速，轨道半径会不断缩小，最后就会掉到原子核上去，并相应发射出一个很宽的连续辐射谱，这与观测到的原子的线状光谱矛盾。此外，卢瑟福模型原子对于外界粒子的碰撞也是很不稳定的。但现实世界表明，众多原子稳定地存在于自然界。

⑸ 固体与分子的比热问题

在温度很低的时候能量均分定理不使用。

量子理论就是在解决这些生产实践和科学实验同经典物理学的矛盾中逐步建立起来的。

2.1  早期量子论

2.1.1  普朗克的量子假说

1900年，普朗克推导出一个关于黑体辐射的公式： 。这个公式称为普朗克公式。此后他致力于找出这个公式的真正的物理意义，他根据玻尔兹曼的思想，作了如下假设：黑体是由带电谐振子组成，这些谐振子的能量不能连续变化，只能取一些分立值。谐振子的最小能量为，这个最小能量称为能量子，h称为普朗克常数。谐振子的能量是能量子的整数倍。能量子概念的提出，实在是很震撼人心，它打破了经典物理连续、平滑的概念。人们是很难接受的，连普朗克本人都感到困惑，它会带来革命性的变革。

2.1.2  爱因斯坦的光量子理论

普朗克早期量子论文章的知音很少，其中之一就是在伯尔尼专利局工作的一个年轻的专利审查员阿尔伯特·爱因斯坦。爱因斯坦觉得，能量元素的假设是生动，实在的，也令人惊骇，“似乎脚下的地板被拖走了，悬在那里，望哪里都看不见任何能建立它的基础。”此后，爱因斯坦一生都致力于寻找“坚实的基础”。没等从概念上找到令人满意的基础，爱因斯坦便着手继普朗克工作之后，发现再次使量子理论跨出伟大一步的原理了。

爱因斯坦用同普朗克1900年文章类似的风格，简短，聪明，多方面地讨论，发展了光子的概念。熵概念和热力学基本方程再次打开了通向量子王国之门，辐射场熵方程使得场就像是一个包含大量但是有限数目个独立粒子的理想气体，每个辐射量子——按现在的说法就是光子携带着总量由普朗克能量元素给出的能量，其中现在表示辐射频率，如果有N个光子，那么总能量就是。从这一方程，爱因斯坦得出结论，辐射场就像理想气体一样，包含N个独立粒子——光子，每个单独光子的能量为。毫无疑问，爱因斯坦确信这一思辨，但不知道世界上是不是还有人赞成他。这是1905年，普朗克的量子假说仍然还没什么人注意，爱因斯坦却将它用到了光和其他辐射场，跨出了普朗克自己十年之久都不愿意迈出的一步。

爱因斯坦引用的最重要的实验证据就是“光电效应”，即明亮的紫外光照到真空中制备的纯净金属表面会产生电流。爱因斯坦认为，只要认为实验中的照明光就是粒子型光子的集合，光电效应的这种奇特性质就可以理解如下：他假设了光子向金属中电子转移能量的一个简单机制：“根据入射光由大小组成的观点，可以设想光用以下方式发射电子，由于光子穿透金属体的表面层，他们的能量也转换，至少部分地转换成电子的动能。最简单的方式是设想这是一个光子将全部能量释放给一个电子的过程，我们也就假设这就是真实发生的事件。爱因斯坦就是这样利用普朗克的量子假说提出光量子概念从而解决了光电效应问题。

2.1.3  玻尔的原子量子论

1911年，英国物理学家卢瑟福提出了一个崭新的原子结构模型：原子内部的大部分空间都是空虚的，它的中心有一个体积小，质量很大，带正电荷的核，带负电的电子则以某种方式运动于核外的空间中。这个原子模型看起来更像一个微型的太阳系，原子核是太阳，电子是围绕太阳运行的行星。

一个新的原子模型建立了，但还不完善，还有许多问题，尤其在电磁理论方面面临着严重的困难。经典的麦克斯韦电磁理论预言，电子绕原子核运动时，由于电荷异性相吸，将会不可避免地相互靠近并释放出辐射能量，最后原子的能量越来越小，电子最终落到原子核上消失。换句话说，卢瑟福描述的原子是不可能稳定存在超过1秒的，以此构成的物质世界根本就不可能存在。

现在，卢瑟福模型需要更好的解释，它在需要一种叫做量子化的理论解释。在卢瑟福原子模型与麦克斯韦电磁理论遭遇到无法调和的矛盾时，年轻的玻尔面临着一次学术信仰的抉择，凭借对科学的远见卓识，玻尔选择了卢瑟福原子模型。

玻尔把普朗克-爱因斯坦的概念创造性的运用来解决原子结构和原子光谱的问题，提出了他的原子的量子论。主要包括两个方面：

⑴ 原子能够而且只能够稳定地存在于与离散的能量相对应的一系列状态中。这些状态称为定态。因此原子能量的任何改变，只能在两个定态之间以跃迁的方式进行。

⑵ 原子在两个定态之间跃迁时，吸收或发射的辐射的频率是唯一的。

普朗克的能量量子论，爱因斯坦的光量子论和玻尔的原子量子论，构成我们常说的早期量子论。从历史顺序看这似乎是一脉相承，甚至是顺理成章的，可是事实上他们三人各有独到之处。虽然早期量子论未能完全从经典物理学的观念脱颖而出成为一个完整的理论体系，但是它为量子力学的建立打下了坚实的基础。

2.2  德布罗意物质波 

继玻尔之后在量子力学上做出突出贡献的是法国科学家路易·德布罗意。 路易·德布罗意于1923年提出物质波的概念是现代量子力学诞生的一块基石。正如爱因斯坦所言：“厚幕的一角被德布罗意揭开了。”
　　1929年，德布罗意接受了爱因斯坦的观念把光看作粒子(质量，动量)，试图导出黑体辐射公式，但只导出了与维恩位移公式相同的结果。随后通过类比分析，他强烈的感到把波与粒子统一起来的必要性，结果，他成为划时代的物质波概念的创立者。
　　1923年9月10日、9月24日、10月8日，路易·德布罗意在法国科学院会议周报《导报》上发表了三篇论文，其标题分别是《波与量子》，《光量子衍射和干涉量子》，《气体的动力学理论和费马原理 》。1924年他向巴黎大学提交的博士论文《关于量子理论的研究中》对前几篇论文进行了系统的总结，进一步发展和完善了他的学说。这篇论文收录在《物理学年鉴》中，他也因此而获1929年诺贝尔物理学奖。在这篇论文中他把相对论中E=作为基础，把爱因斯坦关于光的波粒二象性推广到所有的粒子，把光的波动性学说和粒子学说进行了综合。德布罗意指出爱因斯坦公式不仅适用于光子，而且适用于电子，即一向被认为是粒子的电子具有波的性质。其波长这就是著名德布罗意的公式。
    在1923年9月10日的这篇文章中，他把电子的波动假说应用到玻尔——索末菲量子条件之中得出了，即电子的轨道周长恰好是波长的整数倍。正如他自己评论到：“我相信这是对玻尔—索末菲稳定性法则似乎合理的第一个物理解释”。
    德布罗意物质波的提出是需要非凡的勇气的，因为在当时并没有任何直接的实验证据，在爱因斯坦的推荐下，德布罗意的物质波学说才在物理学界引起了广泛重视。物质波假说导致了1926年薛定谔波动力学的诞生，1927年戴维逊和革末用电子束在镍晶体表面散射产生的衍射现象证实了德布罗意物质波假说的正确性。

2.3  量子力学的建立

2.3.1  数学体系

量子力学的建立是沿着两条路走的。一条是海森伯，玻恩，约当在哈密顿力学的基础上加上了量子化条件，于1925年提出了矩阵力学。另一条是德布罗意和薛定谔沿着物质波的思路于1926年提出了波动力学。

⑴ 矩阵力学

首先提出用方阵式的数学来表达物理量的人是24岁的海森伯。他22岁拿到博士学位后，去哥本哈根玻尔处，参与克拉莫斯-海森伯色散公式的研究。他不满先用经典力学而后加量子化条件的做法，而信念物理学中只应引入客观测量，如光谱线的频率和强度或振幅，振幅的平方给出其强度。因为谱线依赖于高低两个能级，海森伯直接引入振幅方阵，含有频率乘时间的相因子。海森伯考虑恢复力带有振幅的平方项的非简谐振子，为使时间因子得以一致，他建议对振幅方阵的平方用行乘列的乘法，但他那时还不知道这是数学中矩阵的乘法规则。他开始这一大胆的尝试，将运动方程连同量子化条件一道来求解。量子化条件是用索末菲的作用积分按波恩的严格表述对应原理用振幅方阵写出。他得到一些初步结果，写成他一人署名的文章。他请波恩看他的文章，波恩学过矩阵的数学课，看出海森伯从里兹组合规则凑出的乘法规则恰是矩阵的乘法规则。波恩考虑一维的保守系，用正则坐标和动量与哈密顿正则运动方程，但物理量皆用矩阵表示。对保守系有能量守恒，因此哈密顿量必须是对角矩阵。波恩知道，矩阵的乘法一般是不满足交换律的。从索末菲的作用积分的量子化条件波恩对应出正则动量与正则坐标的对易矩阵的对角元均相等，为虚数，并含有普朗克常量除以圆周弧度。他猜想这对易矩阵的非对角元全为零。他请约当参加合作，约当几日内便从正则运动方程证明出这个对易矩阵对时间的导数为零，所以是个对角矩阵，如波恩所猜想。这样，矩阵力学有了自己的量子化条件，简称为对易关系。以波恩和约当二人署名的这篇文章给出简谐振子的矩阵力学处理和对电磁场的量子化处理，再次证明了关于黑体辐射的普朗克公式。在1925年10月底，在波恩，海森伯和约当三人署名的文章中，对应经典力学中原则上可用正则变换求解，给出矩阵力学中原则上可用相似变换求哈密顿矩阵的对角化；发展了矩阵力学中逐步近似的微扰理论。这三篇文章奠定了矩阵力学。

狄拉克符号。海森伯1925年夏在剑桥演讲时，狄拉克注意到海森伯方阵的乘法不满足交换律，乃抽象地引入乘法不满足交换律的数。在经典力学中，运动方程和正则变量都可以用泊松符号形式表达，所以他首先寻求两个q数的泊松符号该如何表达。从泊松符号的代数性质出发，他发现两个q数的泊松符号与其对易子成正比，比例系数可以从经典力学正则坐标和正则动量的泊松符号的特殊值来定。这样，对多个自由度的体系，他得到相应的对易关系，结果与矩阵力学的第三篇文章所得的一样，只是q数比矩阵更抽象。从数学上讲，人们可以把海森伯，波恩和约当的矩阵看作是狄拉克的q数即非对易代数的一种实现，或把后者看作前者的符号化，则这两种表达形式便统一了。

⑵ 波动力学

1926年波动力学的发现即波粒二象性。据说德拜在例行的讨论会上建议薛定谔去弄清楚德布罗意的一系列文章。薛定谔先也得到和德布罗意一样的相对论波动方程，觉得与玻尔的氢原子能级不相符后，却进一步作非相对论近似，写出了薛定谔方程。薛定谔发现，对自由电子的德布罗意波，按波动光学惯例用相位的指数函数表示其波函数时，容易发现电子的动量和非相对性能量，可用对空间和时间坐标的偏微分算符乘以普朗克常量除以圆周弧度和适当虚数表示，即用微分算符作用到德布罗意波函数时，将得到相应的物理量的值乘上该波函数。据此薛定谔推广到由普通的哈密顿量描述的情况，维持微分算符表达式不变；因为这样，如果这时忽略普朗克常量，波函数的相位便满足熟知的哈密顿-雅克比方程，达到经典力学近似。对于像氢原子中电子的三维运动保守系，哈密顿量不显含时间而有能量守恒。薛定谔方程简化为定态的波动方程，不含时间变量而出现能量参量。

在他的另一篇文章中，薛定谔出乎意料地证明了波动力学与矩阵力学在数学上是等价的。在波动力学中，正则动量是用微分算符表示的，正则坐标则用乘法算符表示，其间恰好满足矩阵力学的对易关系。薛定谔指出并证明，某物理量的海森伯矩阵是相应算符夹在两个带能量相位因子定态波函数间的积分，算符左边的波函数连同相位因子须取复数共轭，而哈密顿算符的相应积分即是海森伯能量对角矩阵。反过来，创建矩阵力学的波恩给波函数以概率解释。人们同样发现薛定谔方程较简单，从而薛定谔方程得到广泛运用。

2.3.2  逻辑体系

量子力学在1925-1926年以后以不同的数学表达形式出现，已如上述。都与光谱实验比较，彼此结果一致。1927-1928年，几项标志性的工作进一步完善了量子力学理论。下面简单介绍这几项工作：　　

⑴ 表象理论

表象理论量子力学中研究量子力学规律的各种表示形式以及不同表示形式之间变换的理论。微观粒子体系的状态和力学量的具体表示形式称为表象。通常粒子系统的状态用以空间坐标为自变量、以时间为参量的波函数 （r ，t ）来描述，这种表示形式称为坐标表象。根据态叠加原理，粒子系统的状态波函数可以用任一力学量的本征函数系展开，则展开系数可同样描述粒子系统的状态，这种表示形式称为 Q表象，具体的有动量表象、能量表象等。这种情形相当于把描述粒子系统状态的波函数看成一个某抽象空间中的态矢量，力学量的本征函数系是该抽象空间中的一组基矢 ，展开系数就是态矢量在各基矢上的投影，这些投影即这些展开系数就是态矢量在 Q表象中的具体表示形式。表示力学量的算符在不同表象中也有不同的表示形式。在坐标表象中，力学量的算符形式是，式中是动量算符；在Q表象中，力学量算符一般是矩阵。不同表象之间的波函数和力学量算符可通过一定的变换矩阵来变换。

量子力学所采用的不同表象在理论上是完全等价的，而在实际工作中选取什么表象取决于所讨论的问题。表象选得适当，可以使问题简化。

1927年，约当和狄拉克分别达到关于表象理论的更深刻的认识，用狄拉克的讲法是，可取一全套互相对易的动力学变量同时对角化，用它们的本征值作表象的行列标志，不同表象间满足一定的变换关系。当然也可不用坐标而改用动量的三个互相对易的分量，这叫动量表象。这样，不管是矩阵，q数，算符，都统一为线性算符，描写动力学变量；不管是被矩阵或q数向右乘的列矢，还是被微分算符，向右作用的波函数，都描写动力学系的运动状态，可以统一叫态函数。矩阵力学和波动力学都是量子力学，只是表象不同罢了。

⑵ 不确定原理

海森伯在1927年提出不确定原理即测不准原理。海森伯对云室实验中电子的轨迹进行仔细思考，他认为这个轨迹是水滴串形成的，而不是电子的真正的轨道，况且水滴要比电子大得多。又由于微观粒子有波粒二象性，叠加原理意味着测量的多值性，经典物理是不能对它作决定性的描述，而只能做统计性的描述。因此他得出结论，这个轨迹肯定不是电子的准确轨道。海森伯猜想，在微观世界里，电子的位置是不可测量的，这一时刻对电子进行测量，下一时刻这个电子就不在原来的位置，同样电子也只能以一定的不确定性具有某一速度。海森伯的这一猜想是可以通过电子的单缝衍射实验来验证的。在电子的单缝衍射实验中，因为电子通过狭缝时发生衍射，粒子的动量不再确定的保持在原来的方向，有了偏转且偏转角为，即方向有了动量分量，再利用德布罗意公式可得到。从这一关系可知，位置测量的越精确，动量的测定就越不准确，反之亦然。

⑶ 氦原子与氢分子

旧量子论的破产是在量子力学处理两电子问题时，如氦原子和氢分子。电子是全同粒子，总哈密顿量算符对交换任意两个电子的全套坐标是不变。因此可以引入一个交换算符与哈密顿量算符互易，所以交换算符是守恒量，它的本征值对电子是－1。这是泡利不相容原理的普遍表述。两个角动量为1/2的自旋组合出总自旋为0的单重态和总自旋为1的三重态，前者对两个电子自旋交换反对称，所以对两个电子空间坐标交换是对称的，而后者恰恰相反，这就解释了氦原子光谱分为两个分离的谱系，考虑到泡利原理的能级计算与光谱项符合。同样，1927年海特勒和F.伦敦对氢分子的近似计算表明总自旋为0的单重态使两原子吸引形成共价键，计算的键长和键能与实验值大致符合，而总自旋为1的三重态则使两原子排斥。F.伦敦1928年在这基础上考虑两个共价键间的化学反应，描述位能曲面，估计反应轨道和活化能的大小。这是量子力学应用到化学的开端。     

⑷ 相对论性狄拉克方程

我们知道薛定谔方程是线性的，方程的不同解叠加后仍是方程的解，方程中包含对时间的微分算符只用到一次，且可推出概率守恒的连续方程。这几点都似乎是波动力学的核心。狄拉克特别注意保留这些特点而按狭义相对论的要求改造它，于1928年提出狄拉克方程，计算出氢原子的精细结构与光谱实验符合得很好。在狄拉克方程中出现两个二值的自由度，一个代表具有半个角动量却有一整个磁矩的自旋，另外一个二值的自由度则代表是粒子还是反粒子。如果将狄拉克方程用分量明显写出为联立的微分方程式组，可以与电磁场分量的麦克斯韦方程组媲美。虽然分量有实数或复数的差异，在洛伦兹变换时有不同的变换规律，我们还是可以将电子及正电子看为狄拉克场的量子，如同光子是麦克斯韦场的量子一样，只是因为自旋是半整数而非整数，场分量间需满足反对易关系而非对易关系。无论是波场和粒子都具有波粒二象性，都是量子的。

2.3.3  哲学体系

哥本哈根学派提出了量子力学的诠释以后，不久就遭到EPR一派的强烈批评。以爱因斯坦为代表的EPR一派不同意对方提出的波函数的概率解释，不确定原理和互补原理等。双方展开了一个长达半个世纪的大论战。但这场论战却促进量子力学不段地趋于完备。

1930年，爱因斯坦用了一个理想实验“爱因斯坦光子箱”，他想从能量和时间这一对变量上来证明不确定原理是错误的。但爱因斯坦没有注意到广义相对论的红移效应。玻尔发现了这一问题，利用“加工”过的爱因斯坦光子箱论证了不确定原理。玻尔的论证是如此的有力，使爱因斯坦不得不放弃自己的看法，承认量子力学在理论上是自洽的，海森伯的不确定原理是合理的。以后爱因斯坦就转而论证量子力学理论的不完备性。

1935年，爱因斯坦，波多尔斯基，罗斯联名发表了《能认为量子力学对物理实在的描述是完备的吗？》一文，这就是著名的EPR论文。他们的论证被称为EPR论证。论证的出发点是两条判据和两条暗中的假设。

EPR根据量子力学波函数描述的一般特征，推断出要么由波函数所提供的关于实在的量子力学的描述是不完备的，要么当对应于两个物理量的算符不可对易时，这两个物理量就不能同时是实在的。EPR论证选择了前者，认为量子力学对物理实在提供了一个不完备的描述。接着又提出一个理想实验。由两个子系统构成的复合体系，在它们经过某种相互作用后又彼此分开，按照量子力学，如果对分开后的体系Ⅰ进行动量的测量，即可确定地得知体系Ⅱ的同一分量的相应值。但是根据EPR的实在性判据和定域性假设，对Ⅰ的测量施于Ⅱ这种影响将起一种不可理解的“传心术”，这种传心术将是超过光速的超距作用。当然按照相对论，这是违背因果律的，因而是不可能实现的。爱因斯坦的结论是：或者量子力学不完备，或者量子力学存在一种超距作用。

EPR论文发表后，又引爆了一场大讨论。EPR论证未被玻尔接受，玻尔的反驳也同样不能令爱因斯坦信服。随着两位伟人的辞世，两人之间的争论也就结束了，但是两种观点之间的争论却未停止。

2.4  量子力学的延拓

2.4.1  量子电动力学

量子电动力学在量子力学的分支中，它的发展是相当成熟的。它研究的是电子，正电子之间的相互作用和光子的量子理论。这种相互作用是电磁相互作用。量子电动力学包括了许多物理学分支中关于电磁相互作用的基本原理。

量子力学中的微扰理论可以处理光的吸收和受激发射，但却不能处理光的自发射。用微扰方法计算光的自发射的高一级近似时，就会出现发散困难，计算结果变的无穷大，因而失去了确定意义。而量子电动力学克服了无穷大困难，理论上结果可以计算到任意精度，并与实验符合得很好，量子电动力学的理论预言也被实验所证实。到20世纪40年代末50年代初，完备的量子电动力学理论建立。

在量子电动力学中，荷电粒子之间的相互作用是通过交换光子而产生的。而交换光子的方式有很多种。这些交换方式或许简单或许复杂。但这些过程的最终表现是两个电子之间的相互作用。不同复杂程度的交换方式的贡献是不一样的，它们的贡献随着过程中光子的吸收或发射次数呈指数式下降，而这个指数的底就是精细结构常数。在量子电动力学中，任何电磁现象都可以用精细结构常数的幂级数来表达。这样精细结构常数就具有了全新的含义：它是电磁相互作用中电荷之间耦合强度的一种度量。

费曼、施温格和朝永振一郎分别用不同方法解决了无穷大这一困难，他们的工作丰富了量子电动力学。他们都利用“重正化”概念把发散量确切地归入电荷与质量的重新定义中，从而在处理光的自发射的高阶近似时不再会遇到发散。有了重正化，许多难以解决的问题迎刃而解，量子电动力学发展才完善。用量子电动力学计算出的电子反常磁矩、兰姆位移和实验结果非常相符。

2.4.2  量子色动力学

量子色动力学是关于强相互作用的规范场理论，这种强相互作用是夸克和胶子之间以及胶子之间的作用。夸克和胶子带有分数电荷，自旋分别为1／2和1。

由夸克模型可知重子是有三个夸克组成，这三个夸克处于不同的状态。人们借用光学上的色规定三个不同的夸克代表三个不同的颜色，夸克内部存在一种新的自由度，夸克分处于该自由度的不同状态，而重子作为整体并不显示这种内部自由度的性质。这与颜色的情形十分相似，红、蓝、绿三原色组合成无色。

量子电动力学是关于电磁相互作用的理论；而量子色动力学是关于强相互作用的理论。这两种相互作用的理论使场论发展完善起来。量子色动力学得到一些实验的支持，它能够说明轻子对强子深度非弹性散射的异常现象、喷注现象以及夸克的色禁闭问题。

到此，本论文第一部分量子力学的发展就已如上所述。在量子力学的发展过程中，很多优秀的科学家们涌现出来，像普朗克、爱因斯坦、玻尔、德布罗意、薛定谔、海森伯等。我认为对量子力学发展影响最大的是爱因斯坦，他首先接受普朗克的能量变化是不连续的这一革命思想，对普朗克的发现给予高度评价，在此基础上提出了光量子学说，对量子概念起了巨大的推动作用。在此后量子力学发展的几十年中，爱因斯坦一直是辩论的主角和主导者之一。

3  量子力学的应用

3.1  量子力学在固体物理上的应用

量子力学是描述微观粒子运动规律的理论。海森伯和布洛赫最先把量子力学应用于固体物理。这里主要介绍布洛赫的固体能带理论。

金属自由电子理论是建立在量子理论基础上的，它虽取得了较大成功，能够解释金属电子比热等物理问题。但有些物理性质像有些金属霍尔系数为正，固体分为导体、半导体和绝缘体的物理本质等，是这个理论无法解释的。而固体能带理论就可以解释这些性质。固体能带论是固体物理学中最重要的基础理论，它的出现是量子力学、量子统计理论在固体中应用的最直接、最重要的结果。

晶体中电子的运动可以简化为周期场中的单电子问题。布洛赫认为，不管周期势场的具体函数形式如何，在周期场中运动的单电子的波函数不再是平面波，而是调幅平面波，其振幅不再是常数。即，其中振幅，其中叫做布洛赫函数。上述结论就是布洛赫定理。布洛赫定理是从周期场所具有的平移对称性出发，得到在周期性势场中电子波函数的普遍形式，但却不能得出某一晶体的电子波函数的具体形式，也不能得到能带结构的表达形式。为了得到具体的表达形式，我们利用能带理论中的近自由电子近似，这一模型适用于周期场较弱的情况。因为是弱的周期场，我们可以把它看作微扰。利用这一方法得到的晶体中电子的波函数和能量与自由电子很相似。

近自由电子近似适用的范围是很窄的，它只适用于金属中的价电子。而内壳层的电子和绝缘体中的价电子就不能用这样简单的近似。而紧束缚近似则可以解决这些电子的问题。通过紧束缚近似的计算可知，能带的形成来源于原子轨道的重叠和简并性，能带的宽度取决于原子间的交叠积分。

我们知道导体易导电，半导体在一定的条件下才导电，绝缘体不导电。这些问题很长时间里人们无法解决。而能带理论很好的解释了其中的缘由。一个完全填满电子的能带是满带，由于能带处于均匀分布填满的状态，所以满带电子不导电。未满带电子的分布不再对称，因而会出现一定的宏观电流，所以不满带中的电子才导电。那么，导体的能带中一定有不满的带，绝缘体的能带中就只有满带和空带。半导体的能带结构与绝缘体没有本质区别，只是分割价带和导带的禁带宽度较小。接近绝对零度时，半导体导电性接近于绝缘体，但如果达到一定的温度就会导电。

能带理论用量子力学的方法阐明了电子在晶格中的运动规律和固体的导电原因等。它是量子力学在固体物理上的比较成功的重要的应用。

3.2  量子力学在信息学上的应用

量子力学自创立以来已取得巨大的成功。量子力学不仅解释了原子、原子核的结构、固体结构、元素周期表和化学键、超导电性和半导体的性质等，而且促成了现代微电子技术的创立，使人类进入了信息时代，促成了激光技术、新能源、新材料科学的出现。量子力学的概念和原理至今仍使人困惑，像量子态的纠缠性，非定域性等。这些原理开始被人类利用在信息科学中。

3.2.1  量子计算机

信息科学研究的是信息的产生、加工、存储与处理及对信息传输的有效性、可靠性等。而重要的环节是芯片，不断提高芯片的集成度是计算机乃至信息科学的核心。但计算机芯片的逻辑运算过程是个不可逆的操作，将影响芯片的集成度。为了突破这一困难，人们提出了超导计算机、光子计算机、量子计算机与量子信息等。目前人们认为量子计算机是最具发展前景的。

量子力学和计算机看似毫无关系，但他们的结合却产生了一门也许从根本上影响人类未来发展的新兴学科——量子计算机。

1985年，D．Deutsch根据量子力学的基本原理和特性，系统的研究了量子计算机的一般模型。他提出了量子图灵机的概念，描述量子计算机的结构，定义了量子网络的表述方法，且预言量子计算机的高效性能。1994年，P．Shor发现了一种量子算法，这个算法能成千上万倍的提高大数分解的速度。1996年，Grover又发现了量子搜索法，它是利用一种迭代算法，在设想的量子计算机上实现未加整理的数据库中搜索目标数据。利用这种算法，比经典计算机的搜索要快很多。

量子计算机由存储器、量子逻辑线路和测量设备组成。存储器就是用来存储捕捉到一起的粒子。每个粒子都是一个两态量子系统，是二维空间的任意矢量。逻辑线路是用来进行逻辑运算的，测量设备就是获取输出信息的设备。

量子计算机的第一步是输入数据。输入数据是制备初始量子态的过程，数据要存储到存储器上。量子计算机的第二步是逻辑运算。逻辑运算过程是对所输入的量子态进行符合量子算法逻辑要求的么正变换过程，么正变换是可逆的，因此，逻辑运算过程不仅是热力学可逆过程，而且是逻辑上可逆。么正变换靠逻辑门来实现。量子计算机的第三步是量子测量，通过对量子测量获取计算结果，得到输出信息。

量子计算机遵循量子力学规律可以进行高速数学和逻辑运算、存储及处理量子信息。量子计算机可以进行并行计算和模拟计算。这两种计算都利用了相干性。为了很好进行计算必须保证量子相干性好，为了克服相干性不好的困难。人们提出了量子编码的方案，量子编码包括量子纠错码、量子防错码等。但这些方案实现起来效率是不高的。

到目前为止。还没有一台量子计算机的出现。怎样实现量子计算机，人们提出了不少的方案，但对微观量子态的操作实在太困难了。但总体来讲，实现量子计算，已经不存在理论上的困难。也许在不远的将来，量子计算机一定会成为现实，这中间还会有一段艰难而曲折的道路。

3.2.2  量子通信

量子力学中的纠缠性与非定域性可以保障量子通信中的绝对安全的密码系统，保证量子信息的隐形传态。利用量子态编码和携带信息，进行加工、处理、传输和提取信息就是量子通信过程。整个过程要遵循量子力学原理。

经典信息中的信息单元是比特，在物理学上比特就是两态系统，它可以制备为两个可以识别的状态。在数字电路中，晶体管不是在截止状态就是在饱和导通状态，我们把截止状态记作1，饱和导通状态记作0。这两个状态便构成一个比特。在量子信息中的信息单元是量子比特，它是两个量子态和的叠加。其中和代表一个粒子的两种可能的状态。

量子通信系统由量子态发生器、量子通道和量子测量装置三部分组成。量子通信可以传输经典信息和量子信息。这两种传输信息分别利用了量子密匙和量子隐形传态。

量子密匙的原理是量子不可以测量，如果量子被测量过，就不再是原来的那个量子了。利用量子的不可测量性制作的密码，理论上讲是安全的。量子态的不可克隆性认为不可能把一个粒子所处的量子态复制到另一个粒子而不破坏原粒子的量子态，这一性质保证信息的保密性。所谓隐形传态指的是可以完全把未知的量子态传输给远处接受者。在科幻电影或神话小说中，常常有这样的场面：某人突然在某地消失掉，其后却在别的地方莫明其妙地显现出来。量子隐形传态采用的就是量子态的纠缠性和量子力学的非定域性，在量子世界中相互远离的粒子之间有着类似于传心术的奇特的功能，一个粒子状态发生变化，另一个粒子就会相应的感受到这种变化，并作出相对应的变化，这就是纠缠。而且这种相互作用在相距非常远的距离时仍然存在，也没有空间的限制，这就是非定域性。

量子信息是量子力学和信息科学结合而成的，这门新兴的学科是充满无穷的发展空间的，很多关于量子信息的应用还不成熟，但理论上是相当完美的。希望不久的将来，一切会成为现实。

量子力学的应用是非常广泛的。像量子力学在医学、生物、化学、光学、信息科学等学科上的应用，导致很多交叉性学科发展并日趋成熟。正是这些学科的发展，导致社会经济大幅度提升。从而，量子力学为社会带来福音。

4  结束语

量子力学是对经典物理学在微观领域的一次革命。19世纪末经典物理出现了危机，一系列现象经典物理无法解释。这时，普朗克、爱因斯坦、玻尔为了解释这些现象提出了早期的量子理论。而后德布罗意提出了物质波这一概念，薛定谔就沿着物质波的思路于1926年提出了波动力学。在数学上与波动力学等价的矩阵力学于1925年由海森伯提出。表象理论、不确定原理、氦原子和氢分子、相对论狄拉克方程等工作进一步完善了量子力学。

量子力学不仅适用于原子层次而且又延拓到量子场论体系如量子电动力学和量子色动力学。量子力学的应用像固体能带理论，量子计算机、量子通信、量子化学等，它们的发展日益成熟科技水平显著提高。最终我们的经济社会生产力水平大幅度提升。

以上就是本文的全部内容，本文只做了些理论上的探讨，成果是很少的。由于时间的紧迫和缺乏经验，文章仍存在许多缺点和不足，希望在以后的物理学习过程中我能继续钻研量子力学，使理论更加完善。

我们知道量子力学是为描述抽象微观粒子而创立的，但对我们日常生活的影响却很大。没有量子力学就不可能有化学，生物，医学以及其他学科的发展。没有量子力学就没有全球经济可言，因为作为量子力学产物的电子学革命将我们带入了计算机时代。量子物理改变了世界，科学革命为世界带来福音，也带来潜在危机。

量子力学的发展是艰难的，是历史上少有的天才科学家在一起共同创造了它。量子的概念如此令人困惑，以至于在引入它以后的20年时间内几乎没有什么根本性的进展，后来物理学家们花了三年时间创立了量子力学。科学家们为自己所作的感到困惑甚至失望。

近年来，人们已经能够通过实验在实验室中大规模地检验历史上留下的关于量子力学能否正确描述宏观物体自由运动及量子力学的“非定域性”的基本问题的论争，已经能够通过具体模型的构建去替代过去思辨式的讨论，能够把基本量子特性直接应用到信息和生命等领域，从而可能导致交叉领域的重大进展。人们需要更加关心经典世界和量子世界交流和沟通的基本问题。它们可能孕育着21世纪重大的科学突破。

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致  谢