知识点一、平面直角坐标系
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。
其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:x轴和y轴上的点,不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征
1、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
点P(x,y)在第二象限
点P(x,y)在第三象限
点P(x,y)在第四象限
2、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上,x为任意实数
点P(x,y)在y轴上,y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等,纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等,横坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
(1)点P(x,y)到x轴的距离等于
(2)点P(x,y)到y轴的距离等于
(3)点P(x,y)到原点的距离等于
知识点三、函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。
一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
(1)解析法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。
(2)列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
知识点四、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,如果(k,b是常数,k0),那么y叫做x的一次函数。
特别地,当一次函数中的b为0时,(k为常数,k0)。这时,y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
一次函数的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数的图像是经过原点(0,0)的直线。
4、正比例函数的性质
一般地,正比例函数有下列性质:
(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大,图像从左之右上升;
(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小,图像从左之右下降。
5、一次函数的性质
一般地,一次函数有下列性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大
(2)当k<0时,y随x的增大而减小
(3)当b>0时,直线与y轴交点在y轴正半轴上
(4)当b<0时,直线与y轴交点在y轴负半轴上
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法
知识点五、反比例函数
1、反比例函数的概念
一般地,函数(k是常数,k0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成或xy=k的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0,函数y0,所以,它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
3、 反比例函数的性质
4、反比例函数解析式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
若过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM,PN,则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。 。
知识点六、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地,如果,特别注意a不为零,那么y叫做x 的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征(也叫抛物线的三要素):
①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法:
(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴
(2)求抛物线与坐标轴的交点:
当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。
知识点七、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式:的性质:
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2. 的性质:
二次函数的图像可由的图像上下平移得到(平移规律:上加 下减)。
3. 的性质:
二次函数的图像可由的图像左右平移得到(平移规律:左加 右减)。
4. 的性质:
知识点八、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:(,,为常数,);
2. 顶点式:(,,为常数,);
3. 两点式:(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成两点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用两点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
知识点九、二次函数解析式的确定
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两点式;
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
知识点十、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当时,。
如果自变量的取值范围是,那么,首先要看是否在自变量取值范围内,若在此范围内,则当x=时,;若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当时,,当时,;如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当时,,当时,。
知识点十一、二次函数的性质
1、二次函数的性质
2、二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况):
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数:
① 当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程的两根.这两点间的距离
推导过程:若抛物线与轴两交点为,由于、是方程的两个根,故
② 当时,图象与轴只有一个交点;
③ 当时,图象与轴没有交点.
当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有;
当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有.
记忆规律:一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时,图像与x轴有两个交点;当=0时,图像与x轴有一个交点;
当<0时,图像与x轴没有交点。
知识点十二 中考二次函数压轴题常考公式(必记必会,理解记忆)
1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法)
y
如图:点A坐标为(x1,y1)点B坐标为(x2,y2)
则AB间的距离,即线段AB的长度为 A
0
B
2、二次函数图象的平移
① 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
② 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:
③平移规律 在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.函数平移图像大致位置规律(中考试题中,只占3分,但掌握这个知识点,对提高答题速度有很大帮助,可以大大节省做题的时间)
3、直线斜率:
4、设两条直线分别为,: : 若,则有且。 若
知识点十三、二次函数的图象与各项系数之间的关系
抛物线中, a b c,的作用
(1)决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样.
>0时,抛物线开口向上;<0时,抛物线开口向下;的绝对值越大,开口越小
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线
,故:①时,对称轴为轴;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;③(即、异号)时,对称轴在轴右侧. 口诀 --- 左同 右异
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):
①,抛物线经过原点;
②,与轴交于正半轴;
③,与轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧,则 .
知识点十四、中考点击
考点分析:
命题预测:函数是数形结合的重要体现,是每年中考的必考内容,函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围,及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等,一般占3-6分左右.一次函数与一次方程有紧密地联系,是中考必考内容,一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查,占6分左右.反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现,要关注反比例函数与实际问题的联系,突出应用价值,3—6分;二次函数是初中数学的一个十分重要的内容,是中考的热点,多以压轴题出现在试卷中.要求:能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式,并体会二次函数的意义;会用描点法画二次函数图像,能丛图像上分析二次函数的性质;会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴,并能解决实际问题.会求一元二次方程的近似值.
分析近年中考,预计20##年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像,一次函数的图像和性质,在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解.同时将注重考查二次函数,特别是二次函数的在实际生活中应用.
达标练习
一、选择题
1.已知坐标平面内点A(m,n)在第四象限,那么点B(n,m)在( )
A.第一象限 B.第二象限; C.第三象限 D.第四象限
2.在函数y=中,自变量x的取值范围是( )
A.x>1 B.x>3 C.x≠1 D.x≠3
3.在平面直角坐标系中,点P(2,1)关于原点对称的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.一天,亮亮发烧了,早晨他烧得厉害,吃过药后感觉好多了, 中午时亮亮的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜亮亮才感觉身上不那么烫了.图中能基本上反映出亮亮这一天(0时~24时)体温的变化情况的是( ).
5.小丽的家与学校的距离为km,她从家到学校先以匀速跑步前进,后以匀速走完余下的路程,共用. 下列能大致表示小丽距学校的距离y(km)与离家时间t(h)之间关系的图象是( )
二、填空题
1.已知函数f(x)=,那么f(-1)=_______.
2.直角坐标系中,第四象限内的点M到x轴、y轴的距离分别为3,2, 则M点的坐标是________.
3.函数y=中自变量x的取值范围是_________.
4、已知点A(m-1,2),点B(2,m),且直线AB∥y轴,则m的值为 .
5.图表示长沙市20##年6月份某一天的气
温随时间变化的情况,请观察此图回答下列问题:
(1)这天的最高气温是______度;
(2)这天共有_______个小时的气温在31度以上;
(3)这天在_______(时间)范围内温度在上升;
(4)请你预测一下,次日凌晨1点的气温大约是多少度?
答:_______.
三、解答题
1.小强在劳动技术课中要制作一个周长为80cm
的等腰三角形,请你写出底边长y(cm)与一腰长为x(cm)的函数
关系式,并求出自变量x的取值范围.
2.南宁市某中学环保兴趣小组对南湖清除淤泥工程进行调查,并从《南宁晚报》中收集到下列数据:
根据上表解答下列问题:
(1)请你按体积=面积×高来估算,南湖的淤泥量大约有多少万立方米?
(2)设清除淤泥x天后,剩余的淤泥量为y(万米3),求y与x的函数关系.(不要求写出x的取值范围.
(3)为了使南湖的生物链不遭破坏,仍需保留一定量的淤泥. 若需保留的淤泥量约为22 万米3,求清涂淤泥所需天数.
3.一农民带了若干千克自产的土豆进城出售,为了方便, 他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售, 售出土豆千克数与他手中持有的钱线(含备用零钱)的关系如图所示,结合图象回答下列问题:
(1)农民自带的零钱是多少?(2)降价前他每千克土豆出售的价格是多少?
(3)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱) 是26元,问他一共带了多少千克土豆.
四、跨学科综合题(附加题)
1.两个物体A、B所受压强分别为PA(Pa)与PB(Pa)
(PA、PB为常数),它们所受压力F(N)与受力面积S(m2)的函数关系图象
分别是射线LA、LB,如图所示,则( )
A.PA<PB B.PA=PB C.PA>PB D.PA≤PB
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一次函数一定义与定义式自变量x和因变量y有如下关系ykxb则此时称y是x的一次函数特别地当b0时y是x的正比例函数即ykxk为常数…
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【人教版】初中数学九年级知识点总结28锐角三角函数【编者按】本章内容主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念以及研究直角三角形…