大学数学专业本科毕业生，论文格式

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数学与信息科学学院

2009-3-2

分类号 O15

陕西师范大学学士学位论文

m?n 矩阵的广义迹

作 者 单 位 数学与信息科学学院 指 导 老 师 作 者 姓 名 王 秀 英 专 业、班 级 数学与应用数学专业02级1班 提 交 时 间 二OO六年五月

1

(空一行,小四)

m?n矩阵的广义迹

(空一行,小四)

王秀英

(数学与信息科学学院2002级1班)

指导教师 曹怀信教授

(空一行,小四)

摘 要: 本文首先讨论了n?n矩阵迹的若干重要性质，包括:可加性、齐次性、转置不变性、交换不变性等,并且证明了矩阵迹的唯一性．然后,利用分块矩阵的思想及辗转相除法(带余除法),引入了一般m?n矩阵的广义迹的概念, 它是方阵迹的一个自然推广,研究了这种广义迹的一系列重要性质．最后,给出了具体实例说明了一般矩阵广义迹的概念与计算方法,并对各条性质给予了验证．

关键词: 矩阵; 广义迹; 分块矩阵; 带余除法

(空一行,小四)

Generalized traces of m?n matrices

WANG Xiu-ying

(Class 1, Grade 2002, College of Mathematics and Information Science)

Advisor: Professor CAO Huai-xin

(空一行,小四)

Abstract: In this paper, a series of important properties of the usual trace of n?nmatrices are given, including: additivity, homogeneousness, transpose-invariance, commutative invariance, and the uniqueness of the usual trace is also proved. Next, by using block-decomposition of an m?n matrix and the division algorithm, the concept of generalized trace of a matrix is introduced．Some important properties of this generalized trace are given. Finally, some examples are given in order to illustrate the concept, computation and properties of the generalized trace.

Key words: matrix; generalized trace; block-matrix; division algorithm

(空一行,小四)

2

矩阵迹的概念是一个古老而基础的概念，它是n阶矩阵的一个重要的数量特征．在普通高校的高等代数教科书中,只是给出了一个n行n列的矩阵算子迹(方阵对角线元素之和tr(A)??i?1aii,其中A?Mn?n(F),aii为方阵A对角线上的元素)的定义及其某些重要的性质，参见文献[1-3],文献[10,11,13]．文献[4]得到了关于实矩阵迹不等式的几个充要条件，并把所得结果推广到了复矩阵情形．文献

[5-7]中,研究了Hilbert空间上的算子迹，给出了算子迹的一系列重要性质．特别地,文献[5]给出了迹类算子的若干不等式,并证明了Hilbert空间中的Bellman不等式tr(AkBk)?tr(AB)k对k?2n及任二正的迹类算子A与B成立．同时还证明了当k?2n时,对任一迹类算子A,不等式tr(AkA?k)?tr(AA?)k也成立．文献[6]将Jan R. nMagnus关于矩阵迹的一个命题推广到Hilbert空间上算子迹的相应命题,由此得到一个证明算子迹的H?lder不等式的方法,同时得到关于算子迹的H?lder不等式的几个等价命题并最后给出了算子迹的Minkowski不等式的一个证明．文献[8,9]中，定义了在C*-代数Mn(A)上的矩阵迹是一个满足以下条件的正线性映射?:Mn(A)?A：

?(u*Au)??(A)??A?Mn(A),?u?U(Mn(A))?, ?(A2)?(?(A))2(?A?0), 给出了矩阵算子迹的一些基本性质并证明了:如果A是可交换的C*-代数，则映射?是Mn(A)上的矩阵迹当且仅当A中存在一个元素?（0????2）使得

?(A)??tr(A)(?A?[aij]?Mn(A)),

其中tr(A)??i?1aii．本文的目的是将矩阵算子迹的概念推广到一般地m?n矩阵上，给出一般矩阵广义算子迹的概念,并证明矩阵广义迹的一系列重要性质．

(空一行,小四) n

1．预备知识

1.1 矩阵的迹及其性质

在本文中，假定Mm?n(F)为数域F上全体m?n矩阵之集（特别的Mn?n(F)为数域F上全体n阶矩阵之集）,则关于矩阵的运算, Mm?n(F)为数域F上向量空间，N表示所有自然数之集，A?(A?Mm?n(F))表示矩阵A的转置矩阵．

定义1.1.1?1? 设A?(aij)?Mn?n(F),则称A的所有主对角线元素之和为A 3

的迹,记为trA，即trA??aii．

i?1n

矩阵迹有下列基本性质(其中A,B为n阶矩阵):

定理1.1.1 设A,B?Mn?n(F), 则

(1) trA??aii???i,其中?i为A的特征值;

i?1i?1nn

(2) tr(A?B)?trA?trB;

(3) tr(kA)?ktrA，k?N;

(4) trA??trA;

(5) tr(AB)?tr(BA);

(6) 若A和B为两个相似的方阵,则trA?trB,即相似矩阵有相同的迹． 证明 (1) 设

?a11??a21A?????a?n1a12a22?an2?a1n???a2n?, ?????ann??

则按照[2]中的定理知: A的特征方程是?I?A?0. 在

?1?0??a11?a1n???a11??a1n?????I?A?????????????????

?0?1??a??an1???ann???n1?ann?

的展开式中,有一项是主对角线上元素的连乘积???a11????a22?????ann?．展开式中其余各项,至多包含n?2个主对角线上的元素,它对?的次数最多是n?2．因此,特征多项式中含?的n次与n?1次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现,它们是?E???n??a11?a22???ann??n?1．在特征多项式中令??0,即得常数项:??(?1)nA．因此,如果只写出特征多项式得前两项与常数项,就有

?E?A??n??a11?a22???ann??n?1?????1?nA．

由根与系数的关系可知,A的全体特征值的和??i??aii?tr(A)．

i?1i??1nn

(2) 设

4

?b11b12?

b22?b

B??21

????b

?n1bn2

????

b1n??b2n?

， ???bnn??

假定C?A?B,C?Mm?n(F),C?(cij),则

tr(A?B)?trC??cii??(aii?bii)??aii??bii?trA?trB．

n

n

n

n

i?1

i?1

i?1

i?1

(3) 设

??a11

a12?a1n?

A???

a21a22?a?

2n?

??????

，

??an1

an2

?a?

nn??

n

n

则有tr(kA)??kaii?k?aii?ktrA．

i?1

i?1

(4) 设

??a11

a12?a1n?

A???

a21a22?a?

2n?

??????

,

??an1

an2

?a?

nn??

则

??a11

a21?an1?

A????a12

a22?a?

n2?

??????． ??a1n

a?a?

2n

nn??

n

因此有trA???aii?trA．

i?1(5) 设A,B,C,D?Mn?n(F),

??a11

a12?a1n?

?b11b12?

A???a21

a22?a?

?2n????????

;B??b21b22

???an1

a?a????n2

nn?????bn1bn2

?

假定C?AB,D?BA,C?(Cij),D?(dij),则

5

b1n?b?2n?

??, b?nn??

tr(AB)??Cii???aikbki,

i?1i?1k?1nnn

tr(BA)??Dii???bikaki．

i?1i?1k?1nnn

由求和的交换性即可证得:

tr(AB)?tr(BA)．

(6) 由于相似矩阵有相同的特征多项式?2?,特征多项式相同则特征值相同,则矩阵的各个多项式的和(重根按重数记)相同．因此根据性质1),矩阵的迹等于它的各个特征值的和,则这两个矩阵的迹相同(即trA?trB)．证毕.

下面的定理将以上的性质(5)推广到非方阵的情况.

定理1.1.2 设A和B分别为n?m,m?n矩阵,则tr(AB)?tr(BA)．

证明 令A?(aij)n?m为n?m矩阵,B?(bij)m?n为m?n矩阵, 设

C?AB?(cij)n?n，D?BA?(dij)m?m,

其中

cij??aikbkj(i,j?1,2,?n),dij??bikakj(i,j?1,2,?,m).

k?1k?1mn

所以

?m?nm

tr(AB)??cii????aikbki????aikbki,

i?1i?1?k?1?i?1k?1

nm?n?nm

tr(BA)??dii????bikaki????akibik???aikbki,

i?1i?1?k?1i?1k?1?k?1i?1mmnn

从而 tr(AB)?tr(BA)．

通过以上的讨论,我们可知若定义数域F上n阶矩阵集合到F的一个迹映射f,则具有以上的诸多性质．

定理1.1.3 那么若定义f:Mn(F)?F是一个映射,而且满足下列条件:

(1) 对任意的n阶矩阵A,B,f(A?B)?f(A)?f(B);

(2) 对任意的n阶矩阵A,和F中数k,f(kA)?kf(A);

(3) 对任意的n阶矩阵A,B,f(AB)?f(BA);

(4) f(In)?n,

则f(A)?tr(A)对一切F上的n阶矩阵A成立.

6

证明 设Eij为n阶基础矩阵,因为f(In)?n,所以由条件1)和条件4)知: f(In)?f(E11?E22???Enn)?f(E11)?f(E22)???f(Enn)?n．

又由条件3)知:

f(Eii)?f(EijEji)?f(EjiEij)?f(Ejj)，

所以 f(Eii)?1．

另一方面,若i?j,Eij?Ei1E1j,则f(Eij)?f(Ei1E1j)?f(E1iEj1)?f(0)?0,得f(In)?0,与条件4)矛盾．

若A?(aij),则由上知

f(A)?f(?aijEij)??aijf(Eij)??aii?tr(A)．

i,ji,ji?1nnn

1.2 广义矩阵的分块

用(矩阵行与行之间的)横线及(列与列之间的)竖线将一个矩阵分成若干块，这样得到的矩阵就称为分块矩阵?3?．一个矩阵可以有各种各样的分块方法，究竟怎样分比较好，要根据具体情况及具体需要而定．

1.2.1 矩阵分块的原则

① 必须使分块后的矩阵的运算可行．

② 必须使分块后的矩阵的运算较不分块简便.

例1.2.1 考虑矩阵

?10?00?00????01?00?00?????????????A??00?20?00?． ?00?45?00???????????????00?00?11??

根据它自身的特点,我们可以将A如虚线所示的那样分块,若记

?10??20??,A1??A??01?2??45??,A3??11?, ????

则

7

?A1?A??0

?0?

0A20

0??0?． A3??

矩阵A除了主对角线上的块外，其余各块都是零矩阵，这种分块成对角形状的矩阵，称为分块对角阵． 设

?b11

??b21???B??b31

?b?41????b51

b12b22b32b42b52

?????

b13b23b33b43b53

b14b24b34b44b54

?????

b15b25b35b45b55

??????

??????

b16??b26????b36? b46?????b56?

为了进行运算A?B，我们对B的分块必须与A的分块完全一致，即如图中虚线所示．使A与B的各对应子块都是同型的．

设C?cij

??

6?4

，为使AC的运算可行，C的分块必须参照A的分块来进行，

即A的列分与C的行分一致，而C的列分，则可视C的具体情况来定，不受A的分法的影响．如下所示：

?c11??c21????cC??31

?c41????c51?c?61

1.2.2 分块矩阵的运算

c12c22?c32c42?c52c62

c14??

c23?c24?????

?

c33?c34?

． ?c43?c44?

????

?

c53?c54?c63?c64??

?

c13

视分块矩阵中的每一子块为一个元素，则分块矩阵的运算法则与普通矩阵的运算法则完全相同． 分块矩阵的转置:

8

?A11???

?A?r1A12?Ar2?A1s??????Ars?????Ar?1??A11????A?A?r2???12． ???????A??A??rs??1s

例1.2.2 设

2??10????30?000???01?1???03?000?A???????, B??, ???????????3??00??21?000???3?5?00??2???4?3

将A,B适当分块,并求AB．

解 根据A,B的特点及乘法运算的要求,可将A,B如虚线所示分块． 记

?I2A???O?A2??3I2??,B??BA3???1O2?3??, ?O1?3?

?2??3?其中A2???1??,A3????2??,B1??21?,则 ????

2AB???O?2?2?IA2??3I2???A3???B1O2?3?? ?O1?3?

?3I?A2B1???AB31?O2?3??, ?O2?3?

?30??2?3I?A2B1???03?????1???21? ????

?30??42??72????03?????21?????24??, ??????

3??3??6??A3B1????21???2???4?2??．

????

所以

2?7?4?2AB??63???4?2?000000000??0?． 0??0??

9

(空一行,小四)

2. 广义矩阵的迹

2.1 矩阵广义迹的定义

引理2.1.1(辗转相除法,欧几里得Euclid除法?11?) 对m,n?N,其中m?n,反复作带余除法,有

n?mq1?r1,0?r1?m, (1)

m?r1q2?r2,0?r2?r1, (2)

r1?r2q3?r3,0?r3?r2, (3)

…………………

rn?2?rn?1qn?rn,0?rn?rn?1, (n)

rn?1?rnqn?1?rn?1,rn?1?0． (n+1)

由于每进行一次带余除法,余数至少减少1,而m是有限的,所以至多进行m次带余除法,就可以得到一个余数为零的等式．

定义2.1.1 设m?n?N,A?Mm,n(F),A?(aij)m?n, 则由引理2.1.1知对m,n反复作带余除法可以得到一个余数为零的等式,定义矩阵A的迹等于矩阵A的所有分块方阵的迹的和．

由(1)式可把矩阵A分成q1?1块,

?a1,1??a2,1A?????am,1??a1,m???a1,(q1?1)m?1?a1,q1m?a1,q1m?1?a2,m???a2,(q1?1)m?1?a2,q1m?a2,q1m?1a1,n???a2,n?; ?????am,n??????????????am,m???am,(q1?1)m?1?am,q1m?am,q1m?1

记

A?A1?Aq1?Aq1?1;在矩阵A的分块矩阵A1,?,Aq1,Aq1?1中,最多只有矩?

阵Aq1?1不是方阵．若Aq1?1为方阵,则矩阵A的迹可以求得;若Aq1?1不是方阵,则由2)

式可把矩阵Aq1?1分成q2?1块,记为

Aq1?1?A1q1?1

在矩阵Aq1?1的分块矩阵 ?q1?1q1?1A2?Aq2q1?1; Aq2?1?

q1?1q1?1q1?1 A1q1?1,A2,?Aq,Aq22?1

10

q1?1q1?1

A的迹可以求得;若不是,中,最多只有矩阵Aq不是方阵．若Aq2?1为方阵,则矩阵2?1

qn?1?1q1?1

则由3)式可把矩阵Aq分成块．如此继续,最终,可把矩阵分成qn?1q?1A3?1q2n?1

块．根据引理2.1.1可知广义矩阵A一定可以被分成k个方阵

(k?q1?q2???qn?1,n?0,1,?),其中若方阵只包含一个数字它的迹即为那个数．因此

trA??trAi??trA

i?1

i?1

q1

q2

q1?1

i

????trAiqn?1． (2.1)

i?1

qn?1

2.2 矩阵的广义迹的性质

对广义矩阵先研究比较特殊的,即矩阵的行数与列数满足n?lm,l?N的情形,在此条件下根据(2.1)式有trA??trAi??(aii?ai,m?i???ai,(l?1)m?i)．

i?1

i?1

l

m

定理2.2.1 ?A,B?Mm?n(F),tr(A?B)?trA?trB． 证明 设

?a11??aA??21

???a?m1

a12a22?am2

?b11?a1n?

??

?a2n??b21

, B??????

??

??b?amn??m1

b12

b22?bm2

?b1n?

?

?b2n?

, ????

?bmn??

则有矩阵C?Mm?n(F)．

C?(cij)mn?(aij?bij)mn

a12?b12?a1n?b1n??a11?b11

??a?ba?b?a?b?2122222n2n???21 ???????????????????a?bam2?bm2?amn?bmn?m1?m1?

为矩阵A和矩阵B的和．因此可得tr(A?B)?trC,又由于n?lm,l?N,则

trC??(ci,i?ci,m?i???ci,(l?1)m?i)

i?1m

m

??(ai,i?bi,i?ai,m?i?bi,m?i???ai,(l?1)m?i?bi,(l?1)m?i)

i?1

??(ai,i?ai,m?i???ai,(l?1)m?i)??(bi,i?bi,m?i???bi,(l?1)m?i)

i?1

i?1

mm

?trA?trB．

11

由此我们得出了与方阵算子迹的基本性质(2)相同,即tr(A?B)?trA?trB．

定理2.2.2 ?A?Mm?n(F),k?F,tr(kA)?ktrA． 证明 依据矩阵A?aij??[2]k与数的数量乘积的定义:用数k乘矩阵就是把mn

矩阵的每个元素都乘上k．因此可得

tr(kA)??(kai,i?kai,m?i???kai,(l?1)m?i)

i?1m

?k?(ai,i?ai,m?i???ai,(l?1)m?i)

i?1m

?ktrA.

得证．

定理2.2.3 ?A?Mm?n(F),trA??trA． 证明 依据矩阵A?aij

设

?a11??a21A?????a?m1a12a22?am2?a1n???a2n?, ?????amn????[2]的转置的定义: mn

所谓矩阵A的转置就是指矩阵

?a11??a12?A?????a?1na21a22?a2n?am1???am2?． ?????amn??

根据我们对矩阵分块的方法,也可以把矩阵A?分成l个方阵,同时可以得到

trA???(ai,i?ai,m?i???ai,(l?1)m?i)?trA

i?1m

得证．

定理2.2.4 ?A,B?Mm?n(F),tr(AB?)?tr(B?A)． 证明 令A?(aij)n?m,B?(bij)n?m为n?m矩阵,则B??(bji)m?n为m?n矩阵, 设

C?AB??(cij)n?n，D?B?A?(dij)m?m,

其中

12

cij??aikbjk(i,j?1,2,?n),dij??bkiakj(i,j?1,2,?m)．

k?1

k?1

mn

所以

?m?nm

tr(AB?)??cii????aikbik????aikbik,

i?1i?1?k?1?i?1k?1

nm

?n?nm

tr(B?A)??dii????bkiaki????akibki???aikbik,

i?1i?1?k?1i?1k?1?k?1i?1

m

m

nn

从而 tr(AB?)?tr(B?A)．

定理2.2.5 ?A,B?Mm?n(F),tr(A?B)?trA?trB． 证明 给定矩阵A?aij

??

和矩阵B?bij

mn

??

?2?

,由矩阵加法的定义可以得知, mn

C?(cij)mn?(aij?bij)mn

a12?b12?a1n?b1n??a11?b11

??a?ba?b?a?b?2122222n2n???21 ???????????????????a?bam2?bm2?amn?bmn?m1?m1?

为矩阵A和矩阵B的和．对矩阵C作与定义2.1.1相同的分块．又由于矩阵A和矩阵B有相同的分块,则矩阵A,矩阵B和矩阵C也有相同的分块,且对应分块方阵上的对角线元素的位置没有改变,因此可得tr(A?B)?trC．又有

trC??trCi??trC

i?1

i?1

q1

q1

q1

q2

q1?1

i

????trCiqn?1

i?1q2

q1?1i

qn?1

?(?trAi??trBi)?(?trA

i?1

i?1

i?1

??trBiq1?1)?

i?1

q2

? ?(?trA

i?1

qn?1

qn?1

i

??trBiqn?1)

i?1

qn?1

?(?trAi??trA

i?1

i?1

q1

q2

q1q2

q1?1

i

????trAiqn?1)

i?1qn?1i?1

qn?1

?(?trBi??trBiq1?1????trBiqn?1)

i?1

i?1

?trA?trB．

由此得证tr(A?B)?trA?trB．

定理2.2.6 ?A?Mm?n(F),k?F,tr(kA)?ktrA． 证明 由定义知

13

tr(kA)??trkAi??trkA

i?1

i?1

q1q2

q1?1i

????trkAiqn?1)

i?1

qn?1

?k?trAi??trA

i?1

i?1

q1q2

q1?1

i

????trAiqn?1

i?1

qn?1

?ktrA.

定理2.2.7 ?A?Mm?n(F),trA??trA． 证明 依据矩阵A?aij

设

?a11

??aA??21

???a?m1

a12a22?am2

?a1n?

?

?a2n?

,

???

?

?amn??

??

[2]

的转置的定义: mn

则

?a11??a12

A???

???a?1n

a21a22?a2n

?am1?

?

?am2?

．

???

?

?amn??

根据对矩阵分块的方法,可以把矩阵A?分成k个(k?q1?q2???qn?1,n?0,1,?)方阵,同时可以得到

trA???trAi???trAi?

i?1

i?1

q1q2

q1?1

????trAi?qn?1

i?1qn?1i?1

qn?1

??trAi??trA

i?1

i?1

q1q2

q1?1i

????trAiqn?1

?trA．

定理2.2.8 ?A,B?Mm?n(F),tr(AB?)?tr(B?A)．

证明 令A?(aij)n?m,B?(bij)n?m为n?m矩阵,则B??(bji)m?n为m?n矩阵, 设

C?AB??(cij)n?n，D?B?A?(dij)m?m,

其中

cij??aikbjk(i,j?1,2,?n),dij??bkiakj(i,j?1,2,?m)．

k?1

k?1

m

n

所以

14

?m?nm

tr(AB?)??cii????aikbik????aikbik,

i?1i?1?k?1?i?1k?1

nm?n?nm

tr(B?A)??dii????bkiaki????akibki???aikbik,

i?1i?1?k?1i?1k?1?k?1i?1mmnn

从而 tr(AB?)?tr(B?A)．

2.3 矩阵的广义迹的求解

例2.3.1 考虑例1.2.2所给的矩阵A,B

?1??0A??0??0?02??3??11??0B?, ?003?????00?2?4?3?03002??1?; 0??0??4?3

(1) 求矩阵A,B的广义迹; (2) 验证各个定理．

解 (1) 根据A,B的特点及矩阵广义迹的求法,可得:

?102???trA?tr?011??tr?00?2? ?003???

?5?tr?0??tr?0??tr?-2??3．

?302???trB?tr?031??tr?000? ?000???

?6?tr?0??tr?0??tr?0??6．

(2) 验证定理2.2.5

??1????0tr?A?B??tr??0????0??

?4??0 ?tr?0??0?04010??3????0???0???0?2???02134??2?03??0?2??02????31??00?????00???

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?404??? ?tr?042??tr?00?2??003???

?9 ?trA?trB

验证定理2.2.6 ?k?F,有

?k??0trkA?tr?0??0?

?k? ?tr?0

?0?0k000k0

?5k?tr?0??tr?0??tr??2k? ?3k?ktrA．

同理可证对矩阵B有trkB?ktrB．

验证定理2.2.7 2k??k?3k???2k?? 2k??k??tr?00?2k?3k??

?1000??100??0???????trA??tr?0100??tr?010??tr?0??213?2??213???2??????? ?5?tr?0??tr?0??tr??2? ?3?trA．

同理可证对矩阵B有trB??trB．

验证定理2.2.8

??1????0tr?AB???tr??0????0???2?2?7???3000????11??4?2?0300 ?tr????603??3???2100??????4?20?2????0

000??00??11, ?00?00????1??3000????0??tr?B?A??tr??0300???0??????2100??0??2?????306???11?? ?tr?033??11, 03???215??????0?2???

则有trAB??trB?A．

(空一行,小四)

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参考文献(用项目编号)

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[2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数[M]．北京: 高等教育出版社,1988．

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[13] 唐鹏程．矩阵的迹及其应用[J]．孝感学院学报（自然科学版）, 2000, 20(4): 11-13．

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(另页，空一行,小四)

致 谢

(空一行,小四)

在大学四年的学习过程中，我得到了数学系各位领导、老师及班级同学的热心帮助和支持，使我能够在以优异的成绩完成学业之余,自身综合能力也得到了极大限度的提高．在此谨向他们表示我最衷心的感谢！

感谢我的指导老师曹怀信教授，他严谨细致、一丝不苟的作风是我工作、学习的榜样；他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪．

感谢和我一起走过大学四年的好朋友们,是她们一路的陪伴与爱护,才有了我现在的成绩．她们是我成长的见证,有着值得我永远珍惜的友情．她们的待人处事,治学态度将会影响我的一生．

在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的老师、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对指导老师表示最诚挚的谢意和祝福！

02级1班 王秀英

20xx年5月

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