二次函数 ??I.定义与定义表达式 ??一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： ??y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.） ??则称y为x的二次函数。 ??二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 ??II.二次函数的三种表达式 ??一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） ??顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）] ??交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ??注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: ??h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a ??III.二次函数的图像 ??在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像， ??可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 ??IV.抛物线的性质 ??1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 ??x = -b/2a。 ??对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 ??特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） ??2.抛物线有一个顶点P，坐标为 ??P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。 ??当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 ??3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 ??当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 ??|a|越大，则抛物线的开口越小。 ??4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 ??当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； ??当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 ??5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 ??抛物线与y轴交于（0，c） ??6.抛物线与x轴交点个数 ??Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 ??Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 ??Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。 ??V.二次函数与一元二次方程 ??特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c， ??当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， ??即ax^2;+bx+c=0 ??此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 ??函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 ????答案补充 ??画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 ??二次函数解析式的几种形式 ????(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0). ????(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0). ????(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0. ????说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点 ????补充 ??如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k????定义与定义表达式 ??一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： ??y=ax^2+bx+c ??（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。） ??则称y为x的二次函数。 ??二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 ??x是自变量，y是x的函数 ????二次函数的三种表达式 ??①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) ??②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k ??③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2) ??以上3种形式可进行如下转化： ??①一般式和顶点式的关系 ??对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即 ??h=-b/2a=(x1+x2)/2 ??k=(4ac-b^2)/4a ??②一般式和交点式的关系 ??x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

(一)知道二次函数的意义；???? (二)会画y=x2,y=ax2的图象，并了解a的变化图形的影响；???? (三)会根据已知条件用待定系数法求出函数式y=ax2;???? (四)掌握抛物线y=ax2图象的性质；???? (五)加深对于数形结合思想认识.?? 重点：知识二次函数的意义；会求二次函数式y=ax2;会画y=ax2的图象.???? 难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系.????(一)复习???? 1.一次函数式的一般形式是什么?(y=kx+b(k≠0，k是常数))???? 2.一次函数中的“次”字是指什么?(函数中自变量的指数)????总结二次函数的难点问题】对于二次函数，动区间定轴或定区间动轴的，（以开口????向上的为例）????【总结二次函数的难点问题】对于二次函数，动区间定轴或定区间动轴的，（以开口????向上的为例）3类问题：?? ① 求最大值，分2类讨论，讨论的标准是以给定区间[a,b]的中点（a＋b）????2为1个临界点分2个区间讨论；???? ②求最小值，分3类讨论，讨论的标准是以给定区间[a,b]的两个端点为2个临????界点分3个区间讨论；???? ③求值域，分4类讨论， 讨论的标准是以给定区间[a,b]和区间[a,b]的中点（????a＋b）2的三个端点为3个临界点分4个区间讨论；?? 【注意】a、注意题中给出的函数的定义域或者参数的取值范围。?? b、开口向下的可以自己推导。?? c、该办法可以应用函数的思想解决一些恒成立的问题。????1．描点画二次函数y=ax2的图象应注意：列表时应以O为中心，均匀选取一些便于计算且有代表性的x的值．开始选值时带有一定的试探性．描点后注意点与点之间的变化趋势，然后用平滑的曲线按自变量由小到大（或由大到小）的顺序平滑地连接起来．????2．抛物线的开口大小问题：????｜a｜越大，抛物线的开口越小；｜a｜越小，抛物线的开口越大．????3．抛物线y=ax2的特征：????（1）对称轴是y轴，也就是直线x=0，顶点是原点（0，0）．????（2）a＞0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（x＞0时），y随x的增大而增大，在y轴左侧（x＜0时），y随x的增大而减小；有最小值，当x=0时，最小值是0．????（3）a＜0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸，在y轴右侧（x＞0时），y随x增大而减小；在y轴左侧（x＜0时），y随x的增大而增大；当x=0时，有最大值是0．????注意：此性质不可死记硬背，要结合图象看性质????

 

第二篇：二次函数总结

一次函数

一、定义与定义式：

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b

则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常数，k≠0）

二、一次函数的性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

1．作法与图形：通过如下3个步骤

（1）列表；

（2）描点；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线通过原点

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：

已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②

（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式：

1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)

2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）

二次函数

y=ax^2+bx+c （a,b,c是常数，且a不等于0）

a>0开口向上

a<0开口向下

a,b同号，对称轴在y轴左侧，反之，再y轴右侧

|x1-x2|=根号下b^2-4ac除以|a|

与y轴交点为(0,c)

b^2-4ac>0，ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根

b^2-4ac<0，ax^2+bx+c=0无实根

b^2-4ac=0，ax^2+bx+c=0有两个相等的实根

对称轴x=-b/2a

顶点(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

顶点式y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a

函数向左移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a+d)^2+(4ac-b^2)/4a,向右就是减 函数向上移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a+d,向下就是减

当a＞0时，开口向上，抛物线在y轴的上方(顶点在x轴上)，并向上无限延伸；当a＜0时，开口向下，抛物线在x轴下方(顶点在x轴上)，并向下无限延伸。｜a｜越大，开口越小；｜a｜越小，开口越大.

4.画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 二次函数解析式的几种形式

(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).

(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).

(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.

说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.

(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和

x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).

求抛物线的顶点、对称轴、最值的方法

①配方法：将解析式化为y＝a(x-h)2+k的形式，顶点坐标(h,k)，对称轴为直线x＝h，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，y最小值＝k，若a＜0，y有最大值，当x＝h时，y最大值＝k.

②公式法：直接利用顶点坐标公式(- , ),求其顶点；对称轴是直线x＝- ,若a＞0，y有最小值，当x＝- 时，y最小值＝ ，若a＜0，y有最大值，当x＝- 时，y最大值＝ .

6.二次函数y＝ax2+bx+c的图像的画法

因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：

(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；

(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；

(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.