(1) 二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c (a≠0,a、b、c是常数)的函数称为二次函数

(2) 二次函数的图像特征

通过配方y=ax2+bx+c可写成y=a(x+b/2a )2+ (4ac-b2 )/4ac ,它的图像是以直线x=－b/2a为对称轴，以（－b/2a，(4ac-b2 )/4ac）为顶点的一条抛物线

（3）二次函数的性质

a值 函数的图像及性质

（1）开口向上，并且向上无限伸展（2）当x=- 时，

a>0 函数有最小值 ；当x<- 时，y随x的增大而减

小；当x>- 时，y随x的增大而增大；

（1）开口向下，并且向下无限伸展（2）当x=- 时，

a<0 函数有最大值 ；当x<- 时，y随x的增大而增

大；当x>- 时，y随x的增大而减小；

1、 求抛物线顶点坐标盒对称轴的方法

（1）公式法：y=ax2+bx+c=y=a(x+ b/2a)2 + (4ac-b2 )/4ac

顶点是（-b/2a ，(4ac-b2 )/4ac ），对称轴是直线x=-

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x-h)2+k的形式，得到顶点为（h,k）,

2 对称轴是直线x=h，这种方法一定要掌握好，同时要注意符号变化规律，如抛物线y=-x

+x+1=-(x+1/2 )2 ＋3/4 其顶点为（－1/2，3/4 ），不是（1/2 ，3/4 ），对称轴是x=－1/2 不是x=1/2

（3）抛物线的对称性

由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。

2、 二次函数图像的平移规律

图像的平移：将二次函数y=ax2 的图像进行平移，可得到y=ax2+c，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的图像

（1） 将y=ax2 的图像向上（c>0）或向下(c<0)平移|c|个单位，即可得到y=ax2+c的图像，其顶点是（0，c）,形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同

（2）将y=ax2 的图像向左（h>0）或向右(h<0)平移|h|个单位，即可得到y=a(x-h)2的图像，其顶点是（h,0）对称轴x=h,,形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同

（3）将y=ax2 的图像向左（h>0）或向右(h<0)平移|h|个单位，再向上（c>0）或向下(c<0)平移|c|个单位即可得到y=a(x-h)2+k的图像，其顶点是（h,k）对称轴x=h,,形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同

3、 a,b,c及b2-4ac的符号与图像的关系

（1）a 决定抛物线的开口方向：a>0,开口向上;a<0开口向下

（2）a,b 决定抛物线的对称轴的位置

a,b同号，对称轴（x=- <0）在y轴的左侧

a,b异号，对称轴（x=- >0）在y轴的右侧

（3）c 决定抛物线与y轴的交点（此时点的横坐标x=0）的位置

c>0,与y轴的交点在y轴的正半轴上

c=0 抛物线经过原点

c<0 与y轴的交点在y轴的负半轴上

（4）b2-4ac 决定抛物线与x轴交点的个数

当b2-4ac.>0时，抛物线与x轴有两个交点

当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点

当b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点

4、 用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：y=ax2+bx+c，已知图像上三点或三对x、y的值，通常选用一般式

（2）顶点式: y=a(x-h)2+k,已知函数的顶点或对称轴，通常选择顶点式

（3）交点式：已知函数图像与x轴的交点的横坐标x1、x2 通常选择交点式：y=a(x- x1 )(x- x2 )由于用待定系数法确定二次函数解析式有三个待定系数a、b、c(或a、h、k或a、x1 、x2 )，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立条件。当已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便；当已知抛物线的顶点坐标或对称轴时，选用顶点式比较方便；当已知抛物线与x轴两个交点的坐标（或横坐标x1 ，x2 )时，选用交点式较为方便

5、 二次函数的应用

（1）结合图像利用特殊值解决实际问题

（2）二次函数在生活、生产实际中的应用

（3）二次函数与几何图形的结合应用

 

第二篇：二次函数总结

一次函数

一、定义与定义式：

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b

则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常数，k≠0）

二、一次函数的性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

1．作法与图形：通过如下3个步骤

（1）列表；

（2）描点；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线通过原点

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：

已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②

（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式：

1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)

2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）

二次函数

y=ax^2+bx+c （a,b,c是常数，且a不等于0）

a>0开口向上

a<0开口向下

a,b同号，对称轴在y轴左侧，反之，再y轴右侧

|x1-x2|=根号下b^2-4ac除以|a|

与y轴交点为(0,c)

b^2-4ac>0，ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根

b^2-4ac<0，ax^2+bx+c=0无实根

b^2-4ac=0，ax^2+bx+c=0有两个相等的实根

对称轴x=-b/2a

顶点(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

顶点式y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a

函数向左移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a+d)^2+(4ac-b^2)/4a,向右就是减 函数向上移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a+d,向下就是减

当a＞0时，开口向上，抛物线在y轴的上方(顶点在x轴上)，并向上无限延伸；当a＜0时，开口向下，抛物线在x轴下方(顶点在x轴上)，并向下无限延伸。｜a｜越大，开口越小；｜a｜越小，开口越大.

4.画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 二次函数解析式的几种形式

(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).

(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).

(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.

说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.

(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和

x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).

求抛物线的顶点、对称轴、最值的方法

①配方法：将解析式化为y＝a(x-h)2+k的形式，顶点坐标(h,k)，对称轴为直线x＝h，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，y最小值＝k，若a＜0，y有最大值，当x＝h时，y最大值＝k.

②公式法：直接利用顶点坐标公式(- , ),求其顶点；对称轴是直线x＝- ,若a＞0，y有最小值，当x＝- 时，y最小值＝ ，若a＜0，y有最大值，当x＝- 时，y最大值＝ .

6.二次函数y＝ax2+bx+c的图像的画法

因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：

(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；

(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；

(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.