高中数学复习系列---数列(常见、常考题型总结)
题型一:求值类的计算题(多关于等差等比数列)
A)根据基本量求解(方程的思想)
1、已知为等差数列的前项和,,求;
2、等差数列中,且成等比数列,求数列前20项的和.
3、设是公比为正数的等比数列,若,求数列前7项的和.
4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为,中间两数之和为,求这四个数.
B)根据数列的性质求解(整体思想)
1、已知为等差数列的前项和,,则 ;
2、设、分别是等差数列、的前项和,,则 .
3、设是等差数列的前n项和,若( )
4、等差数列,的前项和分别为,,若,则=( )
5、已知为等差数列的前项和,,则 .
6、在正项等比数列中,,则_______。
7、已知数列是等差数列,若 ,且,则_________。
8、已知为等比数列前项和,,,则 .
9、在等差数列中,若,则的值为( )
10、在等比数列中,已知,,则 .
11、已知为等差数列,,则 .
12、等差数列中,已知= .
题型二:求数列通项公式:
A)给出前几项,求通项公式
3,-33,333,-3333,33333……
B)给出前n项和求通项公式
1、⑴; ⑵.
2、设数列满足,求数列的通项公式
C)给出递推公式求通项公式
a、⑴已知关系式,可利用迭加法或迭代法;
例:已知数列中,,求数列的通项公式;
b、已知关系式,可利用迭乘法.
例、已知数列满足:,求求数列的通项公式;
c、构造新数列
1°递推关系形如“”,利用待定系数法求解
例、已知数列中,,求数列的通项公式.
2°递推关系形如“,两边同除或待定系数法求解
例、,求数列的通项公式.
3°递推已知数列中,关系形如“”,利用待定系数法求解
例、已知数列中,,求数列的通项公式.
4°递推关系形如",两边同除以
例1、已知数列中,,求数列的通项公式.
例2、数列中,,求数列的通项公式.
d、给出关于和的关系
例1、设数列的前项和为,已知,设,
求数列的通项公式.
例2、设是数列的前项和,,.
⑴求的通项;
⑵设,求数列的前项和.
题型三:证明数列是等差或等比数列
A)证明数列等差
例1、已知为等差数列的前项和,.求证:数列是等差数列.
例2、已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=.求证:{}是等差数列;
B)证明数列等比
例1、设{an}是等差数列,bn=,求证:数列{bn}是等比数列;
例2、设为数列的前项和,已知
⑴证明:当时,是等比数列;⑵求的通项公式
例3、已知数列满足
⑴证明:数列是等比数列;⑵求数列的通项公式;
⑶若数列满足证明是等差数列.
题型四:求数列的前n项和
基本方法:
A)公式法,
B)拆解求和法.
例1、求数列的前项和.
例2、求数列的前项和.
例3、求和:2×5+3×6+4×7+…+n(n+3)
C)裂项相消法,数列的常见拆项有:;;
例1、求和:S=1+
例2、求和:.
D)倒序相加法,
例、设,求:
⑴;
⑵
E)错位相减法,
例、若数列的通项,求此数列的前项和.
F)对于数列等差和等比混合数列分组求和
例、已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2,求数列{|an|}的前n项和Tn.
题型五:数列单调性最值问题
例1、数列中,,当数列的前项和取得最小值时, .
例2、已知为等差数列的前项和,当为何值时,取得最大值;
例3、数列中,,求取最小值时的值.
例4、数列中,,求数列的最大项和最小项.
例5、设数列的前项和为.已知,,.
(Ⅰ)设,求数列的通项公式;(Ⅱ)若,,求的取值范围.
例6、已知为数列的前项和,,.
⑴求数列的通项公式;
⑵数列中是否存在正整数,使得不等式对任意不小于的正整数都成立?若存在,求最小的正整数,若不存在,说明理由.
例7、非等比数列中,前n项和,
(1)求数列的通项公式;
(2)设,,是否存在最大的整数m,使得对任意的n均有总成立?若存在,求出m;若不存在,请说明理由。
数列
题型一:求值类的计算题(多关于等差等比数列)
A)根据基本量求解(方程的思想)
1、已知为等差数列的前项和,,求;
2、等差数列中,且成等比数列,求数列前20项的和.
3、设是公比为正数的等比数列,若,求数列前7项的和.
4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为,中间两数之和为,求这四个数.
B)根据数列的性质求解
1、已知为等差数列的前项和,,则 ;
2、设、分别是等差数列、的前项和,,则 .
3、设是等差数列的前n项和,若( )
4、等差数列,的前项和分别为,,若,则=( )
5、已知为等差数列的前项和,,则 .
6、在正项等比数列中,,则_______。
7、已知数列是等差数列,若 ,且,则_________。
8、已知为等比数列前项和,,,则 .
9、在等差数列中,若,则的值为( )
10、在等比数列中,已知,,则 .
11、已知为等差数列,,则 .
12.在等差数列中,若 = .
题型二:求数列通项公式:
A)给出前几项,求通项公式
3,-33,333,-3333,33333……
B)给出前n项和求通项公式
1、⑴; ⑵.
2、设数列满足,求数列的通项公式
C)给出递推公式求通项公式
a、⑴已知关系式,可利用迭加法或迭代法;
已知数列中,,求数列的通项公式;
b、已知关系式,可利用迭乘法.
已知数列满足:,求求数列的通项公式;
c、构造新数列
1°递推关系形如“”,利用待定系数法求解
已知数列中,,求数列的通项公式.
2°形如“,两边同除或待定系数法求解
,求数列的通项公式.
3°递推已知数列中,关系形如“”,利用待定系数法求解
已知数列中,,求数列的通项公式.
4°形如",两边同除以
1、已知数列中,,求数列的通项公式.
2、数列中,,求数列的通项公式.
d、给出关于和的关系
1,已知数列,,设,求数列的通项公式.
2、已知数列,,.
⑴求的通项; ⑵设,求数列的前项和.
题型三:证明数列是等差或等比数列
A)证明数列等差
1、已知为等差数列的前项和,.求证:数列是等差数列.
2、已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=.求证:{}是等差数列;
B)证明数列等比
1、设{an}是等差数列,bn=,求证:数列{bn}是等比数列;
2、设为数列的前项和,已知
⑴证明:当时,是等比数列;⑵求的通项公式
3、已知数列中,
⑴证明:数列是等比数列;⑵求数列的通项公式;
⑶若数列满足证明是等差数列.
题型四:求数列的前n项和
基本方法:
A)公式法,
B)拆解求和法.
求数列的前项和.
求数列的前项和.
求和:2×5+3×6+4×7+…+n(n+3)
C)裂项相消法,数列的常见拆项有:;;
求和:S=1+
求和:.
D)倒序相加法,
设,求:
(1)
⑵
E)错位相减法,
若数列的通项,求此数列的前项和.
F)对于数列等差和等比混合数列分组求和
已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2,求数列{|an|}的前n项和Tn.
题型五:数列单调性最值问题
1、数列中,,当数列的前项和取得最小值时, .
2、已知为等差数列的前项和,当为何值时,取得最大值;
3、数列中,,求取最小值时的值.
4、数列中,,求数列的最大项和最小项.
5、设数列的前项和为.已知,,.
(Ⅰ)设,求数列通项公式;(Ⅱ)若,,求的取值范围.
6、已知为数列的前项和,,.
⑴求数列的通项公式;
⑵数列中是否存在正整数,使得不等式对任意不小于的正整数都成立?若存在,求最小的正整数,若不存在,说明理由.
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