等差数列的性质总结
1.等差数列的定义:an?an?1?d(d为常数)(n?2);
2.等差数列通项公式:
an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N) , 首项:a1,公差:d,末项:an 推广: an?am?(n?m)d. 从而d?
3.等差中项
(1)如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.即:A
?a?b2
*
an?amn?m
;
或2A?a?b
(2)等差中项:数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2
4.等差数列的前n项和公式:
Sn?
n(a1?an)
2
?na1?
n(n?1)
2
d?
d2
n?(a1?
2
12
d)n?An?Bn
2
(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数2n?1时,an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项
S2n?1?
?2n?1??a1?a2n?1?
2
??2n?1?an?1(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)
5.等差数列的判定方法
(1) 定义法:若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列.
?
(2) 等差中项:数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2. ⑶数列?an?是等差数列?an?kn?b(其中k,b是常数)。 (4)数列?an?是等差数列?Sn?An?Bn,(其中A、B是常数)。
2
6.等差数列的证明方法
定义法:若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列.
?
7.提醒:
(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a1、d、n、an及Sn,其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)设项技巧:
①一般可设通项an?a1?(n?1)d
②奇数个数成等差,可设为?,a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?(公差为d);
③偶数个数成等差,可设为?,a?3d,a?d,a?d,a?3d,?(注意;公差为2d)
8..等差数列的性质: (1)当公差d?0时,
等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;
前n和Sn?na1?
n(n?1)
2
d?
d2
n?(a1?
2
d2
)n是关于n的二次函数且常数项为0.
(2)若公差d?0,则为递增等差数列,若公差d?0,则为递减等差数列,若公差d?0,则为常数列。
(3)当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq,特别地,当m?n?2p时,则有am?an?2ap.
注:a1?an?a2?an?1?a3?an?2????,
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(4)若?an?、?bn?为等差数列,则??an?b?,??1an??2bn?都为等差数列
(5) 若{an}是等差数列,则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ,?也成等差数列
(6)数列{an}为等差数列,每隔k(k?N)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等差数列
(7)设数列?an?是等差数列,d为公差,S奇是奇数项的和,S偶是偶数项项的和,Sn是前n项的和
1.当项数为偶数2n时,
S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?S偶?a2?a4?a6?????a2n?
n?a1?a2n?1?
2
n?a2?a2n?
2
?nan
*
?nan?1
S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an?=nd S奇S偶
?nannan?1
?anan?1
2、当项数为奇数2n?1时,则
??S奇?(n?1)an+1S奇n?1?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1?
??? ??
S?S?aS?naS偶nn+1n+1?奇偶偶???
(其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项).
(8)?an?、{bn}的前n和分别为An、Bn,且
则
(9)等差数列{an}的前n项和Sm?n,前m项和Sn?m,则前m+n项和Sm?n???m?n?
(10)求Sn的最值
法一:因等差数列前n项和是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性
n?N。
*
AnBn
?f(n),
anbn
?
(2n?1)an(2n?1)bn
?
A2n?1B2n?1
?f(2n?1).
法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和 即当a1?0,d?0, 由?
?an?0?an?1?0
可得Sn达到最大值时的n值.
(2) “首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。
?an?0即 当a1?0,d?0, 由?可得Sn达到最小值时的n值.
a?0?n?1
或求?an?中正负分界项
法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,Sn取最大值(或最小值)。若S p = S q则其对称轴为n?
注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:
①基本量法:即运用条件转化为关于a1和d的方程;
②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.
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p?q2
等差数列
1.等差数列的定义:(d为常数)();
2.等差数列通项公式:
, 首项:,公差:d,末项:
推广: . 从而;
3.等差中项
(1)如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项.即:或
(2)等差中项:数列是等差数列
4.等差数列的前n项和公式:
(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)
特别地,当项数为奇数时,是项数为2n+1的等差数列的中间项
(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)
5.等差数列的判定方法
(1)定义法:若或(常数) 是等差数列.
(2) 等差中项:数列是等差数列.
⑶数列是等差数列(其中是常数)。
(4)数列是等差数列,(其中A、B是常数)。
6.等差数列的证明方法
定义法:若或(常数) 是等差数列.
7.提醒:
(1)等差数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:、、、及,其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)设项技巧:
①一般可设通项
②奇数个数成等差,可设为…,…(公差为);
③偶数个数成等差,可设为…,,…(注意;公差为2)
8..等差数列的性质:
(1)当公差时,
等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差;
前和是关于的二次函数且常数项为0.
(2)若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列。
(3)当时,则有,特别地,当时,则有.
注:,
(4)若、为等差数列,则都为等差数列
(5) 若{}是等差数列,则 ,…也成等差数列
(6)数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列
(7)设数列是等差数列,d为公差,是奇数项的和,是偶数项项的和,是前n项的和
1.当项数为偶数时,
2、当项数为奇数时,则
(其中是项数为2n+1的等差数列的中间项).
(8)、的前和分别为、,且,
则.
(9)等差数列的前n项和,前m项和,则前m+n项和
(10)求的最值
法一:因等差数列前项是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性。
法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和
即当 由可得达到最大值时的值.
(2) “首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和。
即 当 由可得达到最小值时的值.
或求中正负分界项
法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,取最大值(或最小值)。若S p = S q则其对称轴为
注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:
①基本量法:即运用条件转化为关于和的方程;
②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.
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