第一部分数列的概念与表示
1. 数列的概念:按一定________排列的一列数,其中每个数叫作这个数列的_________.
2. 数列的通项公式定义:_______________________________________________________.因此,数列可以看成特殊的函数,其定义域为______________________.
练习:
第二部分 等差数列
一 定义式:________________
二 通项公式:
三 前n项和公式:
四 性质结论
① 3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置
如:3个数可设为________________; 4个数可设为______________________________
② 与的等差中项;
③ 在等差数列中,若,则;
特别地,若,则;
④ 等差数列的前项和为,则成_______数列
第三部分 等比数列
一 定义式:____________________
二 通项公式:
三 前项和:;(注意讨论公比)
四 性质结论:
①与的等比中项为(___号(填“同”或“异”));
②在等比数列中,若,则;
特别地,若,则;
③等比数列的前项和为,则成_______数列
④3或4个数成等比数列求数值时应按对称性原则设置
如:3个数可设为________________; 4个数可设为______________________________
一般的,对于数列而言,其前项和与之间的关系为________________________
例1 已知三个数成等差数列,其和为126,另三个数成等比数列,把两个数列的对应项依次相加,分别得到85,76,84,求这两个数列.
例2 已知数列,则的最小值是______;并求出的表达式.
例3 在等比数列中且其前项和为126,求项数与公比.
第四部分 求数列通项公式
常用方法:利用与之间的关系、累加、累乘、从递推关系中构造等差或等比数列等
例4 设数列的前项和,且,求数列的通项公式.
例5已知数列满足,求数列的通项公式
例6已知数列满足求数列的通项公式.
第五部分 求数列的前n项和
常用方法:分组求和、分段求和、倒序相加、错位相减、裂项相消等
例7(1)求数列;
(2)求的值;
例8 已知数列的前项和,求数列的通项公式和的前项和.
例9 已知函数满足,求
例10 给定实数x,求
例11 已知数列满足,求数列的通项公式.
数列知识点总结
第一部分 等差数列
一 定义式:
一个数列是等差数列的等价条件: (a,b为常数),即是关于n的一次函数,因为,所以关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。
二 通项公式:
三 性质结论
1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置,如:3个数a-d,a,a+d; 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d
2.与的等差中项;
在等差数列中,若,则;若,则;
3.若等差数列的项数为2,则;
若等差数列的项数为,则,且,
4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设,,则有;
5., ,则前(m+n为偶数)或(m+n为奇数)最大
第二部分 等比数列
一 定义:成等比数列。
二 通项公式:,
数列{an}是等比数列的一个等价条件是:当且时,关于n的图像是指数函数图像的分点表示形式。
三 性质结论:
1.与的等比中项 (同号);
2.在等比数列中,若,则;若,则;
3.设,,, 则有
第三部分 求递推数列通项公式
类型一:累加法 形如a=a+ f (n), 其中f (n) 为关于n的多项式或指数形式(a)或可裂项成差的分式形式.——可移项后叠加相消.
类型二: 累积法 形如.其中f (n) = (p≠0,m≠0,b –c = km,k∈Z)或=kn(k≠0)或= km ( k ≠ 0, 0<m且m ≠ 1).
类型三:形如=,(pq ≠ 0).且的数列,——可通过倒数变形为基本数列问题.
当p = -q时,则有: 转化为等差数列;
当p ≠ -q时,则有:.同类型五转化为等比数列.
类型四:特征根法 形如a=pa+ q ,pq≠0 ,p、q为常数.
当p =1时,为等差数列;
当p ≠1时,可在两边同时加上同一个数x,即a+ x = pa+ q + x
a+ x = p(a+), 令x = ∴x = 时,有a+ x = p(a+ x ),从而转化为等比数列 {a+ } 求解.
类型五:形如a=pa+ f (n),p≠0且 p为常数,f (n)为关于n的函数.
当p =1时,则 a=a+ f (n) 即类型一.
当p ≠1时,f (n)为关于n的多项式或指数形式(a)或指数和多项式的混合形式.
⑴若f (n)为关于n的多项式(f (n) = kn + b或kn+ bn + c,k、b、c为常数),——可用待定系数法转化为等比数列.
⑵若f (n)为关于n的指数形式(a).
①当p不等于底数a时,可转化为等比数列;
②当p等于底数a时,可转化为等差数列.
第四部分 求前n项和
一:公式法求和直接用等差、等比数列的求和公式求和。
公比含字母时定要讨论
二.裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
(1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
(3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] (4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
(5) n·n!=(n+1)!-n!(6)c/((n+a)(n+b))=(c/(a-b))*(1/( n+a)-1/(n+b))
小结:此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意: 余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。 2余下的项前后的正负性是相反的。
三.错位相减 如:
说明 求形如{an·bn}的数列的前n项和,若其中{an}成等差数列,{bn}成等比数列,则可采用推导等比数列求和公式的方法,即错位相减法,此方法体现了化归思想.
四:分组求和:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和
五:合并求和:当通项公式中含有(-1)n,求和时可以对n的奇偶进行讨论,然后分情况求和.
例:1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n
可以先求出奇数项和偶数项的和,再相减。
但更好的方法是:(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]
8.其它求和法:如:归纳猜想法,奇偶法等
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