复变函数积分方法的思考总结
钱学森11 陈海琪 2110405004
摘要:函数的积分问题是复变函数轮的主要内容,也是其基础部分,因此有必要总结归纳求积分的各种方法。其主要方法有:利用柯西积分定理,柯西积分公式和用留数定理求积分等方法,现将这些方法逐一介绍。
关键词:积分,解析,函数,曲线
1.利用定义求积分
例1、计算积分,积分路径C是连接由0到的直线段.
解:为从点0到点的直线方程,于是
.
2.利用柯西积分定理求积分
柯西积分定理:设在单连通区域内解析,为内任一条周线,则.
柯西积分定理的等价形式:设是一条周线,为之内部,在闭域上解析,则.
例2、求,其中为圆周,
解:圆周为,被积函数的奇点为,在的外部,
于是,在以为边界的闭圆上解析,
故由柯西积分定理的等价形式得.
如果为多连通区域,有如下定理:
设是由复周线所构成的有界多连通区域,在内解析,在上连续,则.
3.利用柯西积分公式求积分
设区域的边界是周线或复周线,函数在内解析,在上连续,则有 ,即.
例3. 求积分,其中为圆周.
解:
另外,若为周线内部一点,则
(,且为整数).
4.应用留数定理求复积分
在复周线或周线所围的区域内,除外解析,在闭域上除外连续,则.
设为的阶极点,,其中在点解析,,则.
例4.计算积分
解:被积函数在圆周的内部只有一阶极点及,
因此,由留数定理可得
.
5.用留数定理计算实积分
某些实的定积分可应用留数定理进行计算,尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分,常是一个有效的办法,其要点是将它划归为复变函数的周线积分.
5.1计算型积分
令,则,,,
此时有.
例5.
解:令,则,,
,其中,,
,
应用留数定理得.
若为的偶函数,则之值亦可用上述方法求之,因为此时,仍然令.
例6.计算 (为实数且)
分析:因为,
直接令,则,
于是.
解:
应用留数定理,当时,
当时,.
5.2计算型积分
例7.计算.
解:函数在上半平面内只有一个四阶极点,
令 ,
则
即
故.
6.级数法计算积分
连续性逐项积分定理:设在曲线C上连续(n=1,2,3…),在C上一致收敛于,则在曲线C上连续,并且沿C可逐项积分: =。将函数展成泰勒级数或洛朗级数就解决了该类复积分的有关问题。
例8.计算积分,C:|z|=.
解:在|z|<内,
=
所以
==+0=
7.拉普拉斯变换法
计算复积分时,可先运用拉普拉斯变换的基本运算法则(线性关系、相似定理、位移定理、像函数微分法、本函数微分法、本函数积分法、延迟定理、卷积定理等),将该类复积分化为F(s)的形式,再参照拉普拉斯变换表,得出相应的复积分结果。
总之,复变函数的积分理论是实变量函数积分理论的推广,但比实积分理论的内容要丰富和复杂得多。因而在学习时应着重理解复变函数积分理论与高等数学中积分理论的联系,同时又要注意到二者的不同,这对学生掌握复变函数整个课程内容大有裨益。
[参考文献]
[1] 黄隽:复变函数积分计算方法的探讨. 常州工学院学报,20##年8月第21卷第4期
[2]王绵森.复变函数学习辅导与习题选解[M]。北京:高等教育出版社,2003。[3]王燕.复变函数积分的解法分析[J]。数学学习与研究,2009,12:90-91。
对数函数的思考总结
开封高中 王东红
对数函数包括对数与对数运算、对数函数及其性质两部分内容,知识点较多,与其他知识联系较广。在做题过程中常常用到分类讨论、数形结合、转化等解题思想。
例1.设0<x<1,a>0且a≠1,试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.
解法一:作差法
|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=| |-||=(|lg(1-x)|-|lg(1+x)|)
∵0<x<1,∴0<1-x<1<1+x
∴上式=-[(lg(1-x)+lg(1+x)]=-·lg(1-x2)
由0<x<1,得,lg(1-x2)<0,∴-·lg(1-x2)>0,
∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|
解法二:作商法
=|log(1-x)(1+x)|
∵0<x<1,∴0<1-x<1+x,∴|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x)
由0<x<1,∴1+x>1,0<1-x2<1
∴0<(1-x)(1+x)<1,∴>1-x>0
∴0<log(1-x)<log(1-x)(1-x)=1
∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|
解法三:平方后比较大小
∵loga2(1-x)-loga2(1+x)=[loga(1-x)+loga(1+x)][loga(1-x)-loga(1+x)]
=loga(1-x2)·loga=·lg(1-x2)·lg
∵0<x<1,∴0<1-x2<1,0<<1
∴lg(1-x2)<0,lg<0
∴loga2(1-x)>loga2(1+x),即|loga(1-x)|>|loga(1+x)|
解法四:分类讨论去掉绝对值
当a>1时,|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2)
∵0<1-x<1<1+x,∴0<1-x2<1
∴loga(1-x2)<0,∴-loga(1-x2)>0
当0<a<1时,由0<x<1,则有loga(1-x)>0,loga(1+x)<0
∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=|loga(1-x)+loga(1+x)|=loga(1-x2)>0
∴当a>0且a≠1时,总有|loga(1-x)|>|loga(1+x)|
评注:本题属于比较大小问题,解法较多,可以用作差和作商等常用方法,也可以根据对数底数的特点进行讨论,结合对数的运算性质解题。
例2.已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
解:依题意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立.
(1)当a2-1≠0时,其充要条件是:
解得a<-1或a>
(2)当a2-1=0时,若a=-1,则f(x)=0满足题意,若a=1,则不合题意.
综上所述:a的取值范围是:(-∞,-1]∪(,+∞)
评注:本题属于恒成立问题,真数部分比较复杂,二次项的系数含有未知数,因此要进行分类讨论。
例3 设不等式2(logx)2+9(logx)+9≤0的解集为M,求当x∈M时函数f(x)=(log2)(log2)的最大、最小值
解 ∵2(x)2+9(x)+9≤0
∴(2x+3)( x+3)≤0 ∴-3≤x≤-
即 ()-3≤x≤()
∴()≤x≤()-3,∴2≤x≤8
即M={x|x∈[2,8]}
又f(x)=(log2x-1)(log2x-3)=log22x-4log2x+3=(log2x-2)2-1
∵2≤x≤8,∴≤log2x≤3
∴当log2x=2,即x=4时ymin=-1;当log2x=3,即x=8时,ymax=0
评注:本题属于最值问题,把对数与不等式结合起来,在解题时把对数式作为一个整体求出其范围,进而求出x的范围,再求函数最值时用到二次函数的一些性质。
例4.已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点
(1)证明 点C、D和原点O在同一条直线上;
(2)当BC平行于x轴时,求点A的坐标
(1)证明 设点A、B的横坐标分别为x1、x2,
由题意知 x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2
因为A、B在过点O的直线上,
所以,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),
由于log2x1==3log8x2,
所以OC的斜率 k1=,
OD的斜率 k2=,
由此可知 k1=k2,即O、C、D在同一条直线上
(2)解 由BC平行于x轴知 log2x1=log8x2
即 log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1,
由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1
又x1>1,∴x1=,则点A的坐标为(,log8)
评注本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考查学生的分析能力和运算能力 (1)证明三点共线的方法 kOC=kOD (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想,只要得到方程(1),即可求得A点坐标
第一章复数的运算与复平面上的拓扑1.复数的定义一对有序实数(x,y)构成复数z?x?iy,其中x?Re?z?,y?Im?z?.i2…
第一章复数1i21i1欧拉公式zxiy实部Rez虚部Imz2运算z1z2Rez1Rez2Imz1Imz2z1z2Rez1z2Imz…
复变小结1幅角不赞成死记学会分析yx0xx0y0argz2yx0y0xx0y0yargtg2x2ltargzArgz1z2Argz…
学习复变函数心得在这一学期我学了复变函数这门课程使我受益良多也有挺多的学习心得感受所以接下来我想跟大家一起分享我的一些看法及心得我…
第一章复数1i21i1欧拉公式zxiy实部Rez虚部Imz2运算z1z2Rez1Rez2Imz1Imz2z1z2Rez1z2Imz…
复变小结1幅角不赞成死记学会分析yx0xx0y0argz2yx0y0xx0y0yargtg2x2ltargzArgz1z2Argz…
关于求积分的各种方法的总结摘要函数的积分问题是复变函数轮的主要内容也是其基础部分因此有必要总结归纳求积分的各种方法其主要方法有利用…
复变函数复习重点一复数的概念1复数的概念zxiyxy是实数xRezyImzi21注一般两个复数不比较大小但其模为实数有大小2复数的…
基本的幂级数展开式11zz2znz11zz2zne1zz2nzz3z2n1nsinzz1z32n12nz2nzcosz11z22n…
第一章复数的运算与复平面上的拓扑1.复数的定义一对有序实数(x,y)构成复数z?x?iy,其中x?Re?z?,y?Im?z?.i2…