静电场的描绘
【实验目的】
1.学习用模拟法测绘静电场的原理和方法。
2.加深对电场强度和电位要领的理解。
3.用作图法处理数据。
【实验仪器】
静电场描绘仪、静电场描绘仪信号源、导线、数字电压表、电极、同步探针、坐标纸等。
【实验原理】
在一些科学研究和生产实践中,往往需要了解带电体周围静电场的分布情况。一般来说带电体的形状比较复杂,很难用理论方法进行计算。用实验手段直接研究或测绘静电场通常也很困难。因为仪表(或其探测头)放入静电场,总要使被测场原有分布状态发生畸变;除静电式仪表之外的一般磁电式仪表是不能用于静电场的直接测量,因为静电场中不会有电流流过,对这些仪表不起作用。所以,人们常用“模拟法”间接测绘静电场分布。
1、模拟的理论依据
模拟法在科学实验中有极广泛的应用,其本质上是用一种易于实现、便于测量的物理状态或过程的研究,以代替不易实现、不便测量的状态或过程的研究。
为了克服直接测量静电场的困难,我们可以仿造一个与静电场分布完全一样的电流场,用容易直接测量的电流场模拟静电场。
静电场与稳恒电流场本是两种不同场,但是它们两者之间在一定条件下具有相似的空间分布,即两场遵守的规律在形式上相似。它们都可以引入电位U,而且电场强度E=-△U/△l;它们都遵守高斯定理:对静电场,电场强度在无源区域内满足以下积分关系
∮E·ds = 0 ∮E·d l = 0
对于稳恒电流场,电流密度矢量J在无源区域内也满足类似的积分关系
∮J·ds = 0 ∮J·d l = 0
由此可见,E和J在各自区域中满足同样的数学规律。若稳恒电流空间均匀充满了电导率为σ的不良导体,不良导体内的电场强度E′与电流密度矢量J之间遵循欧姆定律
J=σE′
因而,E和E′在各自的区域中也满足同样的数学规律。在相同边界条件下,由电动力学的理论可以严格证明:像这样具有相同边界条件的相同方程,其解也相同。因此,我们可以用稳恒电流场来模拟静电场。也就是说静电场的电力线和等势线与稳恒电流场的电流密度矢量和等位线具有相似线的分布,所以测定出稳恒电流场的电位分布也就求得了与它相似的静电场的电场分布。
2、模拟条件
模拟方法的使用有一定条件和范围,不能随意推广,否则将会得到荒谬的结论。用稳流电场模拟静电场的条件可归纳为几点:
(1)稳流场中电极形状应与被模拟的静电场的带电体几何形状相同。
(2)稳流场中的导电介质应是不良导体且电阻率分布均匀,并满足σ电极≥σ导电质才能保证电流场中的电极(良导体)的表面也近似是一个等位面。
(3)模拟所用电极系统与被模拟电极系统的边界条件相同。
3、同轴圆柱形电缆的静电场
利用稳恒电流的电场和相应的静电场其空间形成一致性,则只要保证电极形状一定,电极电位不变,空间介质均匀,在任何一个考察点,均应有U稳恒=U静电,或E稳恒=E静电。下面
图 1
以同轴圆柱形电缆的“静电场”和相应的模拟场—“稳恒电流场”来讨论这种等效性。如图10(a)所示,在真空中有一半径的长圆柱导体A和一个内径的长圆筒导体B,它们同轴放置,分别带等量异号电荷。由高斯定理可知,在垂直于轴线上的任何一个截面S内,有均匀分布辐射状电力线,这是一个与坐标Z无关的二维场。在二维场中电场强度E正平行于xy平面,其等位面为一簇同轴圆柱面。因此,只需研究任一垂直横截面上的电场分布即可。
距轴心O半径为r处(图1(b))的各点电场强度为
式中λ为A(或B)的电荷线密度。其电位为
(1)
若时,Ub = 0则有
代入式(1)得 (2)
距中心r 处场强为 (3)
其中A、B间不是真空,而是充满一种均匀的不良导体,且A和B分别与电流的正负极相连,见图2同轴电缆模拟电极间形成径向电流,建立一个稳恒电流场。可以证明不良导体中的电场强度与原真空中的静电场Er是相同的。
4、同轴圆柱形电级间的电流场
取厚为t的圆柱形同轴不良导体片来研究,材料的电阻率为ρ则半径r的圆周到半径为(r+dr)的圆周之间的不良导体薄块的电阻为
(4)
半径到之间的圆柱片电阻为
(5)
由此可知半径到之间圆柱片的电阻为
(6)
若设U0 = 0,则径向电流为
(7)
距中心处的电位为
(8)
则稳恒电流场Er′为
(9)
可见式(2)与式(8)具有相同形式,说明稳恒电流场与静电场的电位分布函数完全相同。即柱面之间的电位与1nr均为直线关系。并且()相对电位仅是坐标的函数,与电场电位的绝对值无关。显而易见,稳恒电流的电场E′与静电场E的分布也是相同的。因为
(10)
实际上,并不是每种带电体的静电场及模拟场的电位分布函数都能计算出来,只有在σ分布均匀几种形状对称规则的特殊带电体的场分布才能用理论严格计算。上面只是通过一个特例,证明了用稳恒电流场模拟静电场的可行性。
5、电场的测绘方法
由(10)式可知,场强E在数值上等于电位梯度,方向指向电位降落的方向。考虑到E是矢量,U是标量,从实验测量来讲,测量电位比测定场强容易实现,所以可先测绘等位线,然后根据电力线与等位线正交原理,画出电力线。这样就可由等位线的间距,电力线的疏密和指向,将抽象的电场形象地反映出来。
静电场描绘仪(包括水槽、双层固定支架、同步探针等),如图3所示,支架采用双层式结构,上层放记录纸,下层放带电极水槽。并将电极引线接出到外接线柱上,电极间有电导率远小于电极且各向均匀的导电介质水。接通交流电源就可进行实验。在导电玻璃和记录纸上方各有一探针,通过金属探针臂把两探针固定在同一手柄座上,两探针始终保持在同一铅垂线上。移动手柄座时,可保证两探针的运动轨迹是一样的。由水槽上方的穿梭针找到待测点后,按一下记录纸上方的探针,在记录纸上留下一个对应的标记。移动同步探针在水槽中找出若干电位相同的点,由此即可描绘出等位线。
使用方法:
(1)接线
静电场测试仪信号源的输出接线柱与电极接线柱相连,将探针架放好,并使探针下探头置于放有电极的水槽中,开启开关,指示灯亮,有数字显示。电压表示值为电场中某点对负极的电压值。
(2)测量
调节静电场测试仪电源前面板上电压调节旋钮,将开关打在电源电压上,电表显示所加的电压值,单位为伏特,一般调到10V,便于运算。然后将开关打在测量,横移动探针架,数显示表示值随着运动而变化,从而测出每条等位线上的几个电压相等的点。
(3)记录
在描绘架上铺平坐标纸,用螺钉夹住,当电压表显示读数认为需要记录时,轻轻按下记录纸上的探针并在坐标纸上,记录电压,为实验清楚快捷,每等位线不少于8个点,然后用光滑曲线连接即可。
【实验内容】
1、长直同轴圆柱面电极间的电位分布
(1)将电极水槽中加入适量的水,然后把它放在上层静电场描绘仪的下层;
(2)按图连接好电路,电压表及探针联合使用。
(3)把坐标纸放在静电场描绘仪的上层,并用四个螺钉夹好。
(4)调节静电场描绘仪的电源(大约10V)。
(5)移动探针座使探针在水中缓慢移动,用数字电压表测量电位差,找到等位点时按下坐标纸上的标记指针,做出标记。分别作出6V、5 V、4 V、3 V、2V的五条等位线,每条等位点不得少于8个。
(6)根据等位点描绘等位线,并标出每条等位线的电位。
(7)根据电力线和等位线垂直的提点,描绘被模拟空间中的电力线。
2、不规则电极间电位分布
(1)将水槽中的电极更换成两圆柱面型。
(2)重复内容一中的操作,分别作出8V、7 V、6V、5 V、4 V、3 V、2V的7条等位线。
【数据记录与处理】
1、同轴圆柱面型电极间电位分布
(1)根据等位点描绘被模拟空间中的等位线。
(2)根据电力线和等位线垂直的提点,画出被模拟空间中的电力线。
(3)测量每条电位线的半径计算对应的电位理论值,并与实验值比较计算相对误差,将数据填入以下表格。
表: V mm mm
2、不规则电极间电位分布
(1)根据等位点描绘被模拟空间中的等位线。
(2)根据电力线和等位线垂直的提点,画出被模拟空间中的电力线。
注意:将图线粘贴在实验报告上
【思考题】
(1)用模拟法测的电位分布是否与静电场的电位分布一样?
(2)如果实验时电源电压有效值不稳定,那么是否会改变电力线和等位线的分布?为什么?
(3)试从你测绘的等位线和电力线分布图,分析何处电场强度较强,何处电场强度较弱。
【注意事项】
(1)水槽由有机玻璃制成的,实验时要轻拿轻放,以免破碎。
(2)水层厚度要保持一致,即水槽要水平放置,以保证导电介质的均匀性,且水不要过多也不要过少,水面要到达探针但不要淹没电极。
(3)电极、探针要和导线接触良好。
(4)实验完毕后,要将电极从水槽中拿出来放在毛巾上,以免电极生锈。并将仪器摆放整齐。
实验六 静电场的描绘
[目的]
1. 学习用模拟法研究静电场;
2. 描绘圆柱形电容器中的等势线。
[仪器和用具]
1. 静电场描绘仪(DZ-2型);
2. 静电场描绘仪电源(AC-12型,0-12V、1KHZ);
3. 游标尺(0-150mm、精度:0.02mm);
4. 导线4条;
5. 毫米尺(0-200mm),圆规,计算器;
6. 坐标纸二张【140×140 (mm)2】,复写纸【140×140(mm)2】
注:5和6由学员自带。
[原理]
一、静电场与稳恒电流场
静电场是静止电荷周围存在的一种特殊物质。各种电子器件的研制以及化学电镀、静电喷漆等工艺,均需了解带电体或电极间的静电场分布。但是,除极简单的情况外,大部分情况下不能得到静电场的解析表达式。为了解决实际问题,一般借助实验的方法来描述电场强度或其电势的空间分布。但是由于静电场中不存在电流,无法用直流电表直接测量,而用静电式仪表测量,必须用金属探头,然而金属探头伸入静电场中将发生静电感应现象,产生感应电荷,感应电荷的电场叠加于被测的静电场中,改变了静电场原来的分布,使之发生显著的变化,导致测量误差极大。因此,一般采用间接测量的方法来描述静电场,利用稳恒电流场来模拟测绘静电场的分布,就是一种常用的测量方法。
静电场和稳恒电流场本是不同的场,但是它们都遵守高斯定理,对静电场有
对稳恒电流场,则有
另外,它们也都引入了电势U的概念且电场强度与电势又存在的关系,因此描绘出U的分布即可利用此关系描绘出的分布。
根据两种场的这种相似性,我们可将不良导体作为电介质,并使其与作为电极的良导体以及输出电压稳定的电源构成闭合电路,从而在不良导体中建立一个稳恒电流场,改变电极和介质的形状,使介质中电流场的电位分布与欲测量的静电场的电位分布完全相似,测出稳恒电流场的电势分布,即可得到相应的静电场的电势分布,根据该电势分布图,描绘出等位线(或等位面)图,再根据电力线与等位线正交的性质,作出电力线图,即可得到静电场的分布图。
上述这种利用规律和形式上的相似,由一种测量代替另一种测量的方法,就称为模拟法。
二、两共轴无限长均匀带电圆柱体间的静电场
如图6-1(h→∞),设内圆柱A的半径为,其电势为;外环内半径为,其电势为,则静电场中距离轴心为处的P点的电势可表示为:
(6-1)
根据高斯定理可知,对于两共轴无限长均匀带电圆柱体系统,垂直于轴线的任一截面S内,都有均匀分布的如图6-1(b)的辐射状电力线,这是一个与圆柱中心轴线无关的二维场,即只需研究任一截面上的电场分布即可。而在二维场中,电场强度平行于x、y平面,其等位面为一簇同轴圆柱面的同心圆,圆等位面与电力线正交。
如图6-1(b),当时,电荷均匀分布的两同轴无限长圆柱体内距轴心距离为的场强大小为
(6-2)
式中C由圆柱体上的线电荷密度决定。将式(6-2)代入式(6-1)可得
(6-3)
在r=rb处,电势值代入式(6-3)有
整理后可得:
(6-4)
将此式代入式(6-3),并取Ua=U0,Ub=0,整理后可得:
即 或 (6-5)
将式(6-5)方程两边取自然对数的形式可得:
(6-6)
式(6-5)和式(6-6)即为两共轴无限长均匀带电圆柱体间静电场中任意点P的电势Ur与该点距轴心的距离的函数关系式。
三、圆柱形电容器的模拟场
对圆柱形电容器,当其圆柱的高度h>>rb时,可将其视为两共轴无限长均匀带电圆柱体。两圆柱体间的电势分布规律仍如式(6-6)的函数关系,由此关系式可知,在两圆柱体间的任意位置,只要r相等,其对应的电势值均相等。可见,以r为半径的圆柱面上的电势处处相等,因此,任一截面的电势及电场分布的规律均相等,只要模拟一个截面的电势分布,即可反映整个圆柱体间的电势及电场分布情况。
模拟装置可设计为如图6-2所示的结构。A、B电极分别为高度h≈8mm的铜质圆柱体及圆环,利用自来水作为两电极间的导电介质;为电源档,即稳定的正弦交流电源。 由于水在稳恒的直流电流场中会产生极化现象,从而在模拟场出现一附加电场,与模拟场的原型不符,使描绘出的等势线产生较大的偏差。而水在正弦交流电流场中不会产生极化,而稳定的正弦交流电源的电压、电流有效值是稳定的,由此建立的场是稳恒的电流场,其等位线与被描绘的静电场的等位线能够完全相似,故本实验的工作电源改用稳定的正弦交流电源。因为正弦交流电源对水不产生电解,且正弦交流电源的电压、电流有效值等效于直流电的电压和电流值,所以只要采用稳定的正弦交流电源,当实验中水温基本不变时,通过水中的交流电流有效值可视为稳定的,由此建立的场可视为稳恒的电流场,其等位线与被描绘的静电场的等位线必定相似,实验也证实了这一点;图中,为测量档,即交流毫伏表,用来测定等势线,由于其内阻(大于2MΩ)远远大于A、B电极间的电阻值,故电表内阻引入的系统误差完全可略。
设A电极相对于B电极的电势值为U0,A、B间介质(水)的等效电阻为R,流经介质的电流有效值为I,则根据欧姆定律可得:
(6-7)
当水为均匀时,由于模拟装置的对称性,则I又可表示为
(6-8)
式中,h为水的厚度,r为测量点P离A电极轴心的距离, j为通过高为h,半径为r的圆柱面的电流密度(有效值)。当电流场空间充满均匀的电导率为σ的不良导体时,不良导体内的电场强度与电流密度矢量之间遵循欧姆定律,故根据欧姆定律的微分形式,有
(6-9)
式中,σ为介质的电导率。联解式(6-7)、式(6-8)及式(6-9)可得:
(6-10)式中,=常量。因为U0及R在实验过程中是保持不变的,因此上式是恒定电流场的场强分布表示式,与上述圆柱形电容器中的静电场强分布关系式(6-2)完全相似。
场强的分布确定后,模拟场中各点的电势可根据下式确定
(6-11)
式中积分常数由电极的形状即边界条件确定。当时,取,则有:,即 ,代入式(6-11)可得:
(6-12)当时,时由(6-12)可得
(6-13)
将式(6-12)除以式(6-13)可得
(6-14)
或写成
(6-15)
式(6-15)与式(6-6)完全一致。可见,圆柱形电容器中静电场的电力线和等势线与模拟模型的电流场的电流线和等势线具有完全相似的分布,故可用上述的模拟模型来模拟圆柱形电容器中的电势分布,从而描绘出静电场的分布。
归纳以上的讨论可知,电流场模拟静电场的条件为:
1. 电流场所用的电极系统应与被模拟的静电场的电极系统的几何形状相似。
2. 稳恒电流场中的导电物质应是不良导体,且电阻率分布均匀。
3. 模拟场所用的电极系统应与被模拟的静电场的电极系统的边界条件相同。
四、实验装置及测绘方法
实验装置如图6-3所示,左边分为上、下两层,模拟模型安装在有机玻璃制成的水槽里并置以底层,上层放置记录纸。记录纸由两张坐标纸(用其背面)和一张复写纸叠加而成,安装时将复写纸夹于两张坐标纸中,再置于记录平台上并用记录纸压紧装置固定好。等臂记录仪的两根探针通过两铜质弹板固定于同一个手柄座上。一根探针置于作为导电介质的水中,另一根置于记录纸上方,两根探针始终保持在统一铅垂线上。移动手柄座时,可保证两探针的运动轨迹是一样的。实验时,由水中的探针找到待测电势值对应的点后,按压记录纸上的探针,即可利用复写纸在坐标纸上留下测量点的记号,从而描绘出等势线,再根据电力线与等势线正交原理,画出电力线。这样就可由等势线的间距、电力线的疏密和指向,将抽象的电场形象地反映出来。
[实验内容与要求]
利用模拟法描绘圆柱形电容器中等势线的分布。
要求:
1. 按表6-1的要求,用游标尺测出A极的直径。然后,按图6-2连接好电路。
2. 在圆柱形电容器等势线的模拟模型中装入自来水(电容器内外都得充满水,但水的高度不能漫过电极上表面)。然后,在静电场描绘仪的记录平台上安装好记录纸。
3. 接通静电场描绘仪电源(f=1KHZ的正弦交流电源)并调节其输出电压值,使得A、B电极间的电压值U0=10.00V(用交流毫伏表测出)。再利用等臂记录仪装置,分别测绘出电势值为1.00V、2.00V、3.00V、4.00V、5.00V、6.00V等六条等势线。每条等势线至少要有分布较为均匀的六个等势点,并作好记号。
4. 根据测绘的各等势点的记录图,利用几何方法,确定出各等势线的共同圆心O,再利用游标尺测出
各等势点至O点的距离,求出值;以为半径,画出相应的等势圆,并在各等势圆上标注其相应的、
值;再按电极半径的实际尺寸,画出A、B电极,然后画出八条对称的电力线。
5. 根据式(6-15),令、 作出Y~X图线,应得到一条直线(否则应重新测绘),
求出直线的斜率b和截距a,按求出实验得到的B电极、A电极半径,与用游标尺测出的B电极、A电极半径比较,判断本次实验的准确程度。
[问题]
1. 本实验的模拟模型中的导电介质为何选用水而不用导电纸?
2. 本实验为何选用正弦交流稳压电源来建立稳恒电流场而不用直流稳压电源?
3. 如何由测绘的各等势点的记录图,推算出A电极和B电极的半径? 本实验如何估算实验的准确程度?
4. 在圆柱形电容器中静电场的模拟实验中,若图线为直线,说明了什么?为什么?
[附]
测量举例
[数据记录]组别:№17
一、电极参量及测量数据记录
B电极内半径:
表6-1:A电极半径测量记录。 游标尺精度:0.02;零点读数值0.00 ;单位:
注:-零点读数
二、位线半径测量记录
毫伏表量程: 、准确度等级:
表6-2 取AB电极间的电压有效值:U0=10.00V (ri用游标卡尺测量)
[数据处理]
一、的换算
表6-3
Y~X图线如下图,在直线上取“1”、“2”、“3”点,其坐标值分别为(0.120,3.630)、(0.540,2.650)、(0.270,3.280),用其计算直线的斜率和截距,可得:(注:Y~X图线必须用坐标纸画;“1”、“2”、“3”点应为坐标纸上的精确点。)
实验准确程度的估计
[结果报道]
1.本实验所测绘的圆柱形电容器内等势线、电力线分布图如下图。
2.实验的相对误差为:、。
*各等势线平均半径与理论值的相对误差估计
表6-4
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