衍射光栅实验非垂直入射误差分析
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(北京邮电大学电子工程学院,北京市 邮编:100876)
摘 要:衍射光栅由大量相互平行,等宽,等间距的狭缝组成,它利用多缝衍射原理使光发生色散。由于它具有较大的角色散和较高的分辨本领,已经被广泛用于各种光谱仪中。本文对衍射光栅实验数据进行了基础的分析,此外还探究了平行光未精确垂直入射光栅对结果的影响。
关键字:光栅;衍射;非垂直;误差;
中图分类号:O436.1 文献标识码:A
Non-normal incidence error analysis of diffraction grating experiment
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(Beijing University of Telecommunication, School of Electronic Engineering, Beijing, 100876, China)
Abstract:Diffraction grating is constituted by a large amount of slits which are of equal width, equally spaced, and paralleled to each other. It uses multi-slit diffraction theory to make light dispersion occurs. Because it has a larger angular dispersion and high resolving power, it has already been widely used in a variety of spectrometers. This paper explore the influence of the parallel incident light is not precise vertical grating on the results , in addition to the basic analysis of the experimental data of the diffraction grating.
Keywords: grating; diffraction ; non-normal incidence; error;
1. 引言
衍射光栅是极其精密的光谱分光元件,作为各种光谱仪器的核心元件广泛应用于石油化工,医药卫生,食品,生物,环保等国民经济和科学研究的各个领域。因此,对衍射光栅的实验研究具有重要意义。在大学的物理实验中,衍射光栅实验成为一个必不可少的实验,它有利于培养学生的对实验现象的观察能力及科学实践动手能力。
衍射现象可以分为两种:菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射。衍射光栅实验借助于分光计和光栅测量波长,属于夫琅禾费衍射的范畴。所谓夫琅禾费衍射是指观察点和光源都是无限远时的衍射现象,本实验通过分光计的望远镜的会聚作用将观察范围缩小至实验台上。本文在光栅衍射实验基础上进行基本数据处理和误差分析,对斜入射情况下引起的误差进行定量讨论,并给出最大可允许的斜入射角的推导计算式和理论计算值,以总结减少误差的理论依据,为更可靠的实验数据处理提供参考。
2. 实验目的
(1) 观察光的衍射现象,加深对光栅衍射原理的理解;
(2) 进一步熟悉分光计的调节和使用;
(3) 学会测量平面透射光栅的光栅常数;
(4) 会用平面透射光栅测定光波波长;
(5) 学习测量光栅的角色散;
3. 实验原理
3.1衍射光栅和光栅方程
平面透射光栅是由大量等宽、等距、排列紧密的平行狭缝构成,能将入射的复色光按波长的大小以不同的角度衍射而达到分光的目的。设缝宽为a,相邻两缝间不透光部分的宽度为b,d = a + b称为光栅常数。
如图1所示,一束平行单色光与光栅法线成θ角入射到光栅平面上时,通过每一条狭缝的光线发生衍射现象,通过许多狭缝衍射后的平行光,用会聚透镜会聚,则产生干涉现象。如果在透镜焦平面上的会聚点P处的光振动是加强的,就会产生明条纹。明条纹实际上是光源狭缝的衍射像,是一条锐细的亮线。其光程差CA+AD等于波长的整数倍kλ,即
(1)
式(1)称为光栅方程,式中的加号表示衍射光和入射光在光栅法线的同一侧,减号表示两者分别在法线的两侧。
如果光线垂直入射,θ=0,则光栅方程简化为
(2)
式(2)中,k为衍射光谱的级数,k=0,±1,±2,…;φk为第k级谱线的衍射角。
如果入射光不是单色光,则由上式可以看出光的波长不同,其衍射角φk也各不相同,于是复色光将被分解。而在中央k=0,φk=0处,各色光仍重叠在一起,组成中央明条纹。在中央明条纹两侧对称地分布着k=1,2…级光谱,各级光谱线都按波长大小的顺序依次排列成一组色彩谱线,这样复色光就被分解成为单色光,如图2所示。
图 2
由光栅方程式(2)可知,用分光计测出某已知波长λ谱线的第k级衍射角φk,便可计算出光栅常数d;如果光栅常数d为已知,则可测出光波的波长λ,如图3所示。
图 3
3.2衍射光栅的角色散
角色散是光栅、棱镜等分光元件的重要参数,它表示单位波长间隔内两单色谱线之间的角间距,即角色散
(3)
由光栅方程式(2)对λ微分,可得光栅的角色散
(4)
由式(4)可知,光栅常量d愈小,角色散愈大。此外,光谱的级次愈高,角色散也愈大。而且光栅衍射时,如果衍射角不大,则cosφk近似于不变,光谱的角色散几乎与波长无关,即光谱随波长的分布比较均匀,这和棱镜的不均匀色散有明显的不同。
4. 实验仪器
分光计、光栅、汞灯。
5. 主要步骤
(1) 调节分光计达到测量要求;
(2) 调节光栅平面与平行光管光轴垂直、光栅刻痕与分光计中心转轴平行;
(3) 观测衍射光谱:测汞灯光谱线的衍射角,求光栅常数和汞灯光谱线的波长以及光栅的角色散;
6. 数据处理
6.1原始数据表格
6.2计算衍射角及不确定度
因为望远镜从位置1转到位置2的过程中,刻度盘的0°刻线通过了左侧游标的零刻线,所以左侧游标读数θL2应加上360°。
衍射角为望远镜转过角度的一半。
6.3计算光栅常数及不确定度
由式(2)可得:
由于本实验在测量时的为给定值,为常数,所以计算时只需看和的关系。
所以在一定的情况下,选择大的谱线比较好。但是级次大的谱线光强较小,因而可能难以分辨,所以实际操作时要灵活操作。
实验中应选择用计算光栅常数,所以带入绿光波长,,,可得
相对不确定度 0.08%
绝对不确定度
6.4计算二级蓝紫光、黄光波长及不确定度
由式(2)可得:
测量时的是前一步实验得出来的,所以不能看成常数,需要考虑其不确定度的影响。
,
所以,越大,的不确定度越小。
综合和的情况,在可能看清的情况下,级次越大,测得的值误差越小。
蓝紫:带入,
可得
理论值,百分误差
黄1:带入,
可得
理论值,百分误差
黄2:带入,
可得
理论值,百分误差
6.5计算光栅一级、二级衍射的角色散
根据式(4):计算
一级衍射角色散:
二级衍射角色散:
比较分析:光谱的级次愈高,角色散愈大。衍射角不大时,角色散与光谱级次近似成正比,可以用公式 做近似计算。由式(3),在较小时有:
(5)
对应于实验中的黄1和黄2两种光:
因为 较大,所以不能用式(5)计算。
7. 平行光未精确垂直入射光栅讨论
7.1调整光栅平面与平行光管光轴垂直
平行光垂直入射光栅时,式(1)可以简化为式(2),方便数据处理,所以实验中要尽量保证垂直入射。
调整方法:
① 首先粗调,以便于微调,而且只有保证光栅平面与平行光管光轴几乎垂直的情况下,才可能在法线两侧都看到谱线。
② 将望远镜对准零级谱线的中心,测出入射光方位角。
③ 测出左右两侧第一级衍射谱线的方位角,分别计算其与入射光的夹角。若两者相差超过2′,应判断零级谱线偏向哪侧。若偏向左侧,则光栅应顺时针旋转(从分光计上方看);反之则逆时针旋转,重复步骤②③。若两者相差不超过2′,则认为已经调整垂直。
7.2平行光斜入射光栅的误差分析
斜入射时,式(1)不再可以简化为式(2)。
由式(2),实际测出值的的理论表达式为
(6)
想要测出的无误差的理论表达式为
(7)
所以因为而引入的衍射角测量误差
将在处展开成二阶泰勒级数
所以在较小时,设,表达式简化为
(8)
即平行光斜入射时测得的衍射角要略大于理想垂直入射的衍射角。
7.3斜入射角最大允许误差值的计算
由式(7):
以二级绿光为例,应带入公认值,带入实验室参考值,
假设1%为最大允许相对误差
带入式(8),计算得
人眼可分辨的角度
8. 思考题
8.1如果光栅刻痕与分光计主轴不平行,会产生什么现象,如何调节?
如果光栅刻痕不平行于分光计主轴,将会发现衍射光谱是倾斜的并且倾斜方向垂直于光栅刻痕的方向。通过调整与光栅平面垂直的两个载物台调平螺钉调节。
8.2如果平行光不是垂直入射光栅,对测量结果有什么影响?
光栅方程式(1)不再可以简化为式(2),由式(1)可得:,所以衍射图样会发生偏移,造成实验误差。
8.3比较光栅分光和三棱镜分光的主要区别。
光栅分光原理:不同颜色的光波长不同,通过光栅后产生衍射图样的亮线位置分布不同;三棱镜分光原理:不同颜色的光在同一介质中折射率不同。
三棱镜分光只有一组光谱,而且色散不均匀;光栅分光会产生多组光谱,如果衍射角不大则角色散几乎与波长无关,光谱随波长分布比较均匀。
8.4测量时,如何微调望远镜的位置?
使用望远镜微调螺钉可以微调望远镜位置。
8.5如何区分同一级次的谱线?并判断不同级次的谱线是否重叠?
可见光范围内,前两级谱线一般不重叠。望远镜从中央亮纹向两侧转动的过程中,在蓝紫光谱线后看到的第一条绿光、黄1和黄2谱线为同一级次。如果谱线次序发生改变,不再是蓝紫-绿-黄1-黄2时,说明不同级次谱线发生了重叠。
9. 实验总结
因为之前做过《分光计的调整与使用》实验,所以对于分光计的调整已经比较熟悉,实验完成得也比较快。本实验有以下几点值得注意的地方:
1) 本实验是基于分光计的精密光学实验,只有分光计的调整尽量做到完美,才能保证实验结果的准确度。
2) 平行光尽量垂直入射光栅。
3) 每做完一个步骤就要进行检验,这样在误读数据后,仪器能够保持原状,便于重新读数。
4) 移动望远镜寻找谱线时速度不要过快。实
验时,我自己就因为移动得太快,错过了一级谱线而错把二级当成一级谱线读数,导致耽误了一段时间。
5) 汞灯谱线亮度比较高,要适当休息眼睛。
参考文献
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[4] 刘春平,宋汉阁.光栅衍射实验现象引发的新思考[J].大学物理实验2004,17(1):22.
[5] 陈德伟,李永平.光束斜入射的分频光栅衍射行为研究[J]. 强激光与粒子束,2004,16(2):163-166.
(1)进一步熟悉分光计的调整与使用;
(2)学习利用衍射光栅测定光波波长及光栅常数的原理和方法;
(3)加深理解光栅衍射公式及其成立条件。
1.测定光栅常数和光波波长
光栅上的刻痕起着不透光的作用,当一束单色光垂直照射在光栅上时,各狭缝的光线因衍射而向各方向传播,经过透镜会聚相互产生干涉,并在透镜的焦平面上形成一系列明暗条纹。
如图1所示,设光栅常数d=AB的光栅G,有一束平行光与光栅的法线成i角的方向,入射到光栅上产生衍射。从B点作BC垂直于入射光CA,再作BD垂直于衍射光AD,AD与光栅法线所成的夹角为j。如果在这方向上由于光振动的加强而在F处产生了一个明条纹,其光程差CA+AD必等于波长的整数倍,即:
(4.10.1)
式中,l为入射光的波长。当入射光和衍射光都在光栅法线同侧时,(4.10.1)式括号内取正号,在光栅法线两侧时,(4.10.1)式括号内取负号。
如果入射光垂直入射到光栅上,即i=0,则(4.10.1)式变成:
(4.10.2)
这里,k=0,±1,±2,±3,…,k为衍射级次,jk为第k级谱线的衍射角。
2.用最小偏向角法测定光波波长
如图2所示,波长为的光束入射在光栅G上,入射角为i,若与入射线同在光栅
法线n一侧的m级衍射光的衍射角为沪,则由式(4.10.1)可知
(4.10.3)
若以△表示入射光与第m级衍射光的夹角,称为偏向角,
(4.10.4)
显然,△随入射角i而变,不难证明时△为一极小值,记作,称为最小偏向角。并且仅在入射光和衍射光处于法线同侧时才存在最小偏向角。此时
(4.10.5)
带入式(4.10.3)得
m=0,±1,±2,… (4.10.6)
由此可见,如已知光栅常数d,只要测出了最小偏向角,就可根据式(4.10.6)算出波长。
1. 分光计
分光计的结构和调整方法见4.3节。在本实验的各项任务中,为实现平行光入射并测准光线方叫位角,分光计的调整应满足:望远镜适合于观察平叫行光,平行光管发出平行光,并且二者的光轴都垂直于分光计主轴。
2. 光栅
如前所述,光栅上有许多平行的,等距离的刻线。在本实验中应使光栅刻线与分光计主轴平行。如果光栅刻线不平行于分光计主轴,将会发现衍射光谱是倾斜的并且倾斜方向垂直于光栅刻痕的方图4.10.3光栅刻痕不平行于分光计向,但谱线本身仍平行于狭缝,如图4.10.3所示。显然这会影响测量结果。通过调整小平台,可使光栅刻痕平行于分光计主轴。为调节方便,放置光栅时应使光栅平面垂直于小平台的两个调水平螺钉的连线,如图4.10.4所示。
3水银灯、
1. 水银灯谱线的波长
水银灯谱线的波长
2.水银灯光谱图
汞灯的多级衍射光谱
3.使用水银灯注意事项
l)水银灯在使用中必须与扼流圈串接,不能直接接220V电源,否则要烧毁。
2)水银灯在使用过程中不要频繁启闭,否则会降低其寿命。
3)水银灯的紫外线很强,不可直视。
(1)调整分光计和光栅以满足测量要求。
(2)在光线垂直入射的情形下,即i=0时,测定光栅常数和光波波长。
①调整光栅平面与平行光管的光轴垂直。平行光垂直入射于光栅平面,这是式(4.10.2)成立的条件,因此应做仔细调节,使该项要求得到满足。调节方法是:先将望远镜的竖叉丝对准零级谱线的中心,从刻度盘读出入射光的方位(注意:零级谱线很强,长时间观察会伤害眼睛,观察时必须在狭缝前加一两层白纸以减弱其光强)。再测出同一m级左右两侧一对衍射谱线的方位角,分别计算出它们与入射光的夹角,如果二者之差不超过a'角度,就可认为是垂直入射。(思考:是否可用分光计调整的自准法?)
②课前由式(4.10.2)推导出d和的不确定度公式。为了减少测量误差,应根据观察到的各级谱线的强弱及不确定度的公式来决定测量第几级的较为合理。
③测定。光线垂直于光栅平面入射时,对于同一波长的光,对应于同一m级左右两侧的衍射角是相等的。为了提高精度,一般是测量零级左右两侧各对应级次的衍射线的夹角2,如图所示。测量时应注意消除圆度盘的偏心差
4求d及。已知水银灯绿线的波长,由测得的绿线衍射角求出光栅常数d。再用已求出的d测出水银灯的两条黄线和一条最亮的紫线的波长,并计算d和的不确定度。
(3)在时,测定水银灯光谱中波长较短的黄线的波长。
①使光栅平面法线与平行光管光轴的夹角(即入射角)等于,同时记下入射光方位和光栅平面的法线方位。调整方法自拟,请课前考虑好。
②测定波长较短的黄线的衍射角。与光线垂直入射时的情况不同,在斜入射的情况下,对于同一波长的光,其分居入射光两侧且属同一级次的谱线的衍射角并不相等,因此,其只能分别测出。
③根据上述读数,判断衍射光线和入射光线位居光栅平面法线同侧还是异侧。
④确定m的符号并用已求出的d计算出水银灯光谱中波长较短的黄线的波长。
(4)用最小偏向角法测定波长较长的黄线的波长(选做)。
确定的方法与确定三棱镜的最小偏向角的方法相似。改变入射角,则谱线将随之移动,找到黄光某一条谱线与零级谱线的偏离为最小的方位后,就可由该谱线的方位及零级谱线的方位(即入射光的方位)测出最小偏向角。
实际测量时,为提高测量精度,可测出2。方法是:先找到黄光中与入射线位居光栅平面法线同侧的某一条谱线,改变入射角,当其处于最小偏向角位置时,记下该谱线的方位;然后,以平行光管的光轴为对称轴,通过转动小平台,使光栅平面的法线转到对称位置上,在入射线的另一侧,对应级次的衍射线亦同时处于最小偏向角位置,记下其方位,前后两种情况下衍射线的夹角即为2。
利用已测出的d和式(4.10.6)即可求出水银灯光谱中波长较长的黄线的波长,并与实验任务2中得到的实验结果相比较。
数据处理:
1.i=0时,测定光栅常数和光波波长
光栅编号: ;= ;入射光方位= ;= ;
2.时,测量波长较短的黄线的波长
光栅编号: ;光栅平面法线方位= ;= 。
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