理论力学转动惯量

实验报告

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          

 

 

实验小组成员：1453352 郭佳林   1453422 贺春森

                 1453442 刘美岑   1450051 万丽娟

                 1453208 王玮

       实验时间：20##年5月24日13：30——15：30

       实验地点：同济大学四平路校区力学实验中心

 

 

【实验概述】

       转动惯量是描述刚体转动中惯性大小的物理量，它与刚体的质量分布及转轴位置有关。正确测定物体的转动惯量，对于了解物体转动规律，机械设计制造有着非常重要的意义。然而在实际工作中，大多数物体的几何形状都是不规则的，难以直接用理论公式算出其转动惯量，只能借助于实验的方法来实现。因此，在工程技术中，用实验的方法来测定物体的转动惯量就有着十分重要的意义。IM-2 刚体转动惯量实验仪，应用霍尔开关传感器结合计数计时多功能毫秒仪自动记录刚体在一定转矩作用下，转过π角位移的时刻，测定刚体转动时的角加速度和刚体的转动惯量。因此本实验提供了一种测量刚体转动惯量的新方法，实验思路新颖、科学，测量数据精确，仪器结构合理，维护简单方便，是开展研究型实验教学的新仪器。

 

 

【实验目的】

1.      了解多功能计数，计时毫秒仪实时测量（时间）的基本方法。

2.      用刚体转动法测定物体的转动惯量。

3.      验证转动的平行轴定理。

4.      验证刚体定轴转动惯量与外力矩无关。

 

 

【实验原理】

 

         

 

1.      转动力矩、转动惯量和角加速度的关系

系统在外力矩作用下的运动方程

错误!未找到引用源。   （1）

由牛顿第二定律，可知：

砝码下落时的运动方程为：

即绳子的张力

砝码与系统脱离后的运动方程

   （2）

由方程（1）和（2）可得：

  （3）

 

2.      角速度的测量

。   （4）

若在t₁、t₂时刻测得角位移θ₁、θ₂，则

   （5）

   （6）

所以，由方程（5）和（6），可得：

3.      转动惯量J的理论公式

1)        设圆形试件，质量均匀分布，总质量为M，其对中心轴的转动惯量为J，外径为D_1,，内径为D₂，则

2）平行轴定理：

设转动体系的转动惯量为J₀，当有M₁的部分质量原理转轴平行移动d的距离后，则体系的转动惯量为：

 

 

【实验器材】

1.        实验仪器

IM-2刚体转动惯量实验仪（含霍尔开关传感器、计数计时多功能毫秒仪、一根细绳、一个质量为100g的砝码等，塔轮直径从下至上分别为30mm、40mm、50mm、60mm，载物台上的孔中心与圆盘中心的距离分别为40mm、80mm、120mm）（如下图）

       

2.        实验样品

1)        一个钢质圆环（内径为175mm，外径为215mm，质量为933g）

2)        两个钢质圆柱（直径为38mm，质量为400g）

 

 

【实验步骤】

1.      实验准备

在桌面上放置IM-2转动惯量实验仪，并利用基座上的三颗调平螺钉，将仪器调平。将滑轮支架固定在实验台面边缘，调整滑轮高度及方位，使滑轮槽与选取的绕线塔轮槽等高，且其方位相互垂直。

通用电脑计时器上光电门的开关应接通，另一路断开作备用。当用于本实验时，建议设置1个光电脉冲记数1次，1次测量记录大约20组数。

 

2.      测量并计算实验台的转动惯量

1)        放置仪器，滑轮置于实验台外3-4cm处，调节仪器水平。设置毫秒仪计数次数。

2)        连接传感器与计数计时毫秒仪，调节霍尔开关与磁钢间距为0.4-0.6cm，转离磁钢，复位毫秒仪，转动到磁钢与霍尔开关相对时，毫秒仪低电平指示灯亮，开始计时和计数。

3)        将质量为m=100g的砝码的一端打结，沿塔轮上开的细缝塞入，并整齐地绕于半径为r的塔轮。

4)        调节滑轮的方向和高度，使挂线与绕线塔轮相切，挂线与绕线轮的中间呈水平。

5)        释放砝码，砝码在重力作用下带动转动体系做加速度转动。

6)        计数计时毫秒仪自动记录系统从0π开始作1π，2π……角位移相对应的时刻。

3.      测量并计算实验台放上试样后的转动惯量

将待测试样放上载物台并使试样几何中心轴与转动轴中心重合，按与测量空实验台转动惯量同样的方法可分别测量砝码作用下的角加速度β₂与砝码脱离后的角加速度β₁，由（3）式可计算实验台放上试样后的转动惯量J，再减去实验步骤2中算得的空实验台转动惯量即可得到所测试样的转动惯量。将该测量值与理论值比较，计算测量值的相对误差。

 

4.      验证平行轴定理

将两圆柱体对称插入载物台上与中心距离为d的圆孔中，测量并计算两圆柱体在此位置的转动惯量，将测量值与理论计算值比较，计算测量值的相对误差。

 

5.      验证刚体定轴转动惯量与外力矩无关

通过改变塔轮直径对转盘施加不同的外力矩，测定在不同外力矩下转盘的转动惯量，与理论值进行比较，在一定允许的误差范围内验证结论。

 

 

【注意事项】

1.      正确连接霍尔开关传感器组件和毫秒仪，红线接+5接线柱，黑线接GND接线柱，黄线接INPUT接线柱。

2.      霍尔传感器放置于合适的位置，当系统转过约π/2角位移后，毫秒仪开始计时计数。

3.      挂线长度以挂线脱离绕线塔轮后，砝码离地3厘米左右为宜。

4.      实验中，在砝码挂线脱离绕线塔轮前转动体系作正加速度β₂，在砝码挂线脱离塔轮后转动体系作负加速度β₁，须分清正加速度β₂，到负加速度β1 的计时分界时刻。

5.      数据处理时，系统作负加速度β₁的开始时刻，可以选为分界处的下一时刻，角位移时间须减去该时刻。

6.      实验中，砝码置于相同的高度后释放，以利数据一致。

【数据记录与数据处理】

1.        测量空盘的转动惯量

d_塔轮=40mm   m_砝码=100g

2.        测量空盘加圆环的转动惯量

d_塔轮=40mm   m_砝码=100g   m_圆环=933g   d_环外=215mm   d_环内=175mm

圆环的转动惯量J_环=J_盘+环-J_盘=0.02806-0.01744=0.01062g·m²

圆环转动惯量的理论值为J_环理=0.5m_环(r_内²+r_外²)=0.008963kg·m²

误差百分比=|J_环-J_环理|/J_环理×100%=18.5%

3.        验证平行轴定律

1)        圆柱距盘心距离d₁=40mm

d_塔轮=40mm   m_砝码=100g   m_圆柱=400g

圆柱（近）的转动惯量J_近柱=J_盘+近柱-J_盘=0.01815-0.01744=0.000780kg·m²

圆柱（近）转动惯量的理论值为J_近柱理=0.5m_圆柱r_圆柱²+m_圆柱d₁²=0.000712kg·m²

误差百分比=|J_近柱-J_近柱理|/J_近柱理×100%=9.6%

2)        圆柱距盘心距离d₂=80mm

d_塔轮=40mm   m_砝码=100g   m_圆柱=400g

圆柱（中）的转动惯量J_中柱=J_盘+中柱-J_盘=0.020##-0.01744=0.00332kg·m²

圆柱（中）转动惯量的理论值为J_中柱理=0.5m_圆柱r_圆柱²+m_圆柱d₂²=0.00263kg·m²

误差百分比=|J_中柱-J_中柱理|/J_中柱理×100%=26.2%

3)        圆柱距盘心距离d₃=120mm

d_塔轮=40mm   m_砝码=100g   m_圆柱=400g

圆柱（远）的转动惯量J_远柱=J_盘+远柱-J_盘=0.02557-0.01744=0.00813kg·m²

圆柱（远）转动惯量的理论值为J_远柱理=0.5m_圆柱r_圆柱²+m_圆柱d₃²=0.005832kg·m²

误差百分比=|J_远柱-J_远柱理|/J_远柱理×100%=39.2%

4.        验证转动惯量与外力矩无关

d_塔轮=50mm   m_砝码=100g

与d_塔轮=40mm测出的转动惯量相比，百分差=|J_盘^’-J_盘|/J_盘×100%=16%

这说明转动惯量与外力矩无关。

附：实验数据记录表

 

第二篇：仿真实验报告-转动惯量

测量刚体的转动惯量仿真实验

一、实验目的
   

本实验将学习测量刚体转动惯量的基本方法，目的如下：

             1．用实验方法验证刚体转动定律，并求其转动惯量；
               2．观察刚体的转动惯量与质量分布的关系
             3．学习作图的曲线改直法，并由作图法处理实验数据。

二、实验仪器
   

本次实验所用仪器包括有：刚体转动仪，滑轮，秒表，砝码

三、实验原理

1．刚体的转动定律

具有确定转轴的刚体，在外力矩的作用下，将获得角加速度β，其值与外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，即有刚体的转动定律：

M = Iβ   (1)

利用转动定律，通过实验的方法，可求得难以用计算方法得到的转动惯量。

2．应用转动定律求转动惯量

待测刚体由塔轮，伸杆及杆上的配重物组成。刚体将在砝码的拖动下绕竖直轴转动。设细线不可伸长，砝码受到重力和细线的张力作用，从静止开始以加速度a下落，其运动方程为mg – t=ma，在t时间内下落的高度为h=at2/2。刚体受到张力的力矩为Tr和轴摩擦力力矩Mf。由转动定律可得到刚体的转动运动方程：Tr - Mf = Iβ。绳与塔轮间无相对滑动时有a = rβ，上述四个方程得到：

m(g - a)r - Mf = 2hI/rt2    (2)

Mf与张力矩相比可以忽略，砝码质量m比刚体的质量小的多时有a<<g，所以可得到近似表达式：

mgr = 2hI/ rt2   (3)

式中r、h、t可直接测量到，m是试验中任意选定的。因此可根据（3）用实验的方法求得转动惯量I。

3．验证转动定律，求转动惯量

从（3）出发，考虑用以下两种方法：

A．作m – 1/t2图法：伸杆上配重物位置不变，即选定一个刚体，取固定力臂r和砝码下落高度h，（3）式变为：

M = K1/ t2   (4)

式中K1 = 2hI/ gr2为常量。上式表明：所用砝码的质量与下落时间t的平方成反比。实验中选用一系列的砝码质量，可测得一组m与1/t2的数据，将其在直角坐标系上作图，应是直线。即若所作的图是直线，便验证了转动定律。

从m – 1/t2图中测得斜率K1，并用已知的h、r、g值，由K1 = 2hI/ gr2求得刚体的I。

B．作r – 1/t图法：配重物的位置不变，即选定一个刚体，取砝码m和下落高度h为固定值。将式（3）写为：

r = K2/ t   （5）

式中K2 = (2hI/ mg)1/2是常量。上式表明r与1/t成正比关系。实验中换用不同的塔轮半径r，测得同一质量的砝码下落时间t，用所得一组数据作r－1/t图，应是直线。即若所作图是直线，便验证了转动定律。从r－1/t图上测得斜率，并用已知的m、h、g值，由K2 = (2hI/ mg)1/2求出刚体的I。

四、实验内容

1.调节实验装置：调节转轴垂直于水平面

调节滑轮高度，使拉线与塔轮轴垂直，并与滑轮面共面。选定砝码下落起点到地面的高度h，并保持不变。

2.观察刚体质量分布对转动惯量的影响

取塔轮半径为3.00cm，砝码质量为20g，保持高度h不变，将配重物逐次取三种不同的位置，分别测量砝码下落的时间，分析下落时间与转动惯量的关系。本项实验只作定性说明，不作数据计算。

3.测量质量与下落时间关系：

测量的基本内容是：更换不同质量的砝码，测量其下落时间t。

用游标卡尺测量塔轮半径，用钢尺测量高度，砝码质量按已给定数为每个5.0g；用秒表记录下落时间。

将两个配重物放在横杆上固定位置，选用塔轮半径为某一固定值。将拉线平行缠绕在轮上。逐次选用不同质量的砝码，用秒表分别测量砝码从静止状态开始下落到达地面的时间。对每种质量的砝码，测量三次下落时间，取平均值。砝码质量从5g开始，每次增加5g，直到35g止。

用所测数据作图，从图中求出直线的斜率，从而计算转动惯量。

4.测量半径与下落时间关系

测量的基本内容是：对同质量的砝码，改变塔轮半径，测量不同的下落时间。

将两个配重物选在横杆上固定位置，用固定质量砝码施力，逐次选用不同的塔轮半径，测砝码落地所用时间。对每一塔轮半径，测三次砝码落地之间，取其平均值。注意，在更换半径是要相应的调节滑轮高度，并使绕过滑轮的拉线与塔轮平面共面。由测得的数据作图，从图上求出斜率，并计算转动惯量。

五、实验数据及处理

    1、测量质量与下落时间关系。

  

    2、测量半径与下落时间关系。

  

    3、观察刚体质量分布对转动惯量的影响

       

通过改变配重物的位置，测量出不同配重物下砝码下落的时间我们发现，配重物的质量分布越集中，砝码下落所需时间越短，物体的转动惯量越小。

六、实验总结

    通过本次实验，找到了质量与下落时间关系、半径与下落时间关系，得到了两幅函数图像，并定性地观察出了刚体质量分布对转动惯量的影响，通过仿真实验高效地完成了实验，达成实验目的，加深了自己对于理论知识的理解，也掌握了一种测量转动惯量的方法。