实验M-3   杨氏弹性模量的测定

实验人：　　

杨氏弹性模量是材料弹性性质的一个主要特征量.本实验通过对钢丝杨氏弹性模量的测量,学习一种测量长度微小变化的方法:光杠杆镜尺法.

[目的]

1.测定金属丝的杨氏弹性模量.

2.掌握光杠杆镜尺法测定长度微小变化的原理,学会具体的测量方法.

3.学习处理实验数据的两种方法:图解法和逐差法.

[原理]

1.金属丝受外拉力作用,会有伸长,且遵从虎克定律,有

其中,Y:杨氏弹性模量       mg:外力          S:金属丝横截面积

     L:金属丝长度        △L:金属丝伸长量

2.光杠杆镜尺法测微原理

如图1,该系统利用镜子放大微小变化,从而达到测微效果.结合虎克定律及光杠杆镜尺法,可得杨氏弹性模量为

其中,L:金属丝原长     D:镜面到标尺的垂直距离     S:金属丝截面积

K:光杠杆前足到两后足连线的垂直距离  :单个砝码质量  

:加/减单个砝码时，标尺读数变化量

LDgSK均为常量,由图解法和逐差法求出

[仪器]

杨氏模量测定仪(如图M-4-3),调节方法如下:

1.调节光杠杆与望远镜在同一高度,光杠杆镜面尽可能铅直.

2.在望远镜外侧寻找光杠杆镜面上标尺的象(如看不到,应调节镜面方位和移动测定仪的位置)

3.移动望远镜,使其缺口与准星大致对准标尺的像.

4.调节望远镜目镜,使观察到的十字叉丝清晰.

5.调节望远镜调焦手轮,先观察到镜子，再观察到标尺，使观察到的标尺读数与十字叉丝均清晰而无视差.

[实验步骤]

1.调节测定仪,使支架铅直.

2.在金属丝下端先挂一负载(如2千克),使金属丝完全拉直,此负载为初始负载,不计入作用力内.

3.用带有卡具的米尺量出金属丝长度L.

4.在不同位置，用螺旋测微计测10次金属丝直径d,取平均值.

5.安装光杠杆,调节望远镜,记录望远镜读数x₀,逐渐增加砝码到9×0.500kg,每次增加0.500kg,记录望远镜读数x_i’,再逐渐减少砝码,记录望远镜读数,则x_i=0.5(x_i’+ x_i’’)

6.用钢皮尺测量光杠杆镜面到标尺的距离D

7.用游标卡尺测量光杠杆前足到后两足连线的垂直长度K.

[注意事项]

1.调节望远镜时,注意消除视差,即要求标尺读数相对十字叉丝无相对位移.

2.实验前,望远镜中标尺读数应在10~20cm之间.

3.在测量期间切不可碰撞或移动仪器.

4.不可触摸光杠杆镜面.

[数据记录和处理]

金属丝材料：钢

5块砝码质量：m=5×0.500kg

g=9.794m/s²

最大仪器误差              不确定度

m：砝码，0.500kg，                  2g               

L：米尺，分度1mm                                         

D：钢卷尺，分度1mm，                                     

K：游标卡尺，分度0.02mm                                  

d：千分尺，分度0.004mm     0.004mm

：米尺，分度1mm     0.1cm        

1.测定金属丝的直径（mm）:

d=(0.493±0.003)mm   (螺旋测微计标准仪器偏差为0.002mm)

2.测定钢丝的 值:

3.计算钢丝的杨氏弹性模量

钢丝的杨氏弹性模量标准值：Y’=2.00×10¹¹N/m²

（1）用逐差法处理实验数据：

平均值

==88.3kg/m 

钢丝的杨氏弹性模量为

百分差

(1)用图解法处理实验数据

如图为m-关系曲线，利用图线求出比值m/:

直线斜率为m/=0.879kg/cm

钢丝的杨氏弹性模量为

Y₁=(8LDgm)/(πd²K)

=×0.879×10²

=1.91×10¹¹N/m²

百分差

[思考题]

1.作图法和逐差法处理实验数据各有什么特点?

答:作图法特点是简单,直观,明显表达实验数据间关系.作图法最常用的是作直线.逐差法的特点是可以充分利用实验数据,合理减小实验误差.但逐差法必须满足三个条件:两个变量间存在多项式函数关系;自变量成等差级数递增或递减;测得的数据为偶数组.

2.请分析那些原因会造成x_i’, x_i’’相差较大?

答:可能的原因有:金属丝本身不直;杨氏弹性模量仪支柱不垂直,因而摩擦阻力较大;光杠杆尖角与金属丝相碰;测试时移动光杠杆等.

3.实验中为什么用不同的长度测量仪器分别测量各量?

答:由误差分析可知,各物理量的相对误差不一样,对误差项大的要选择较好的仪器, 对误差项小的要选择较一般的仪器,才能保证相对误差相近,以免做无谓的测量.

 

第二篇：杨氏弹性模量的测定

实验七  杨氏弹性模量的测定

测量材料杨氏模量的方法很多，诸如拉伸法、压入法、弯曲法和碰撞法等。拉伸法是最常用的方法之一。但该方法使用的载荷较大，加载速度慢，且会产生驰豫现象，影响测量结果的精确度。另外，此法还不适用于脆性材料的测量。本实验借助于新颖的动态杨氏模量测量仪用振动法测量材料的杨氏模量。该方法可弥补其不足，同时还可扩大学生在物体机械振动方面的知识面，不失为一种非常有用和很有特点的测量方法。

【实验目的】

1．了解振动法测量材料杨氏模量的原理；

2．学会用作图外推求值法测量振动体基频共振频率和杨氏模量；

3. 测量试件机械振动的本征值

4．观察铝平板的振型；

5．通过实验,逐步提高综合运用各种测量仪器的能力。

【实验仪器】

DY-D99型多用途动态杨氏模量测量仪、YXY-3D型音频信号源、示波器（Y轴灵敏度5-10m

V)、毫米刻度钢皮尺(250mm长)、0.02mm精度游标卡尺、物理天平（精度0.05克）。

DY-D99型多功能动态杨氏模量测量仪简介

该仪器如图3所示。它由棒材试件杨氏模量定量测量装置和板材试件振型演示观察装置两部分组成。两部分用接线箱连接和转换。前一装置包含两个换能器（电动式换能器）、导轨标尺及其支架。其中一个电动式换能器用作激振器，在音频信号发生器输出的音频正弦信号电压的作用下，作机械振动，进而激励试件作机械振动。另一个电动式换能器当作拾振器，将由试件传递过来的机械振动信号转变为电信号，并输到示波器观察波形。当音频信号发生器的信号频率调到与试件的固有频率相同时，试件产生共振，示波器显示的波形幅度达到最大。两个换能器的作用可互换。它们各自设有一个刀口，可搁置棒材试件。标尺用于指示换能器或刀口在试件上的位置。

矩形金属板试件和带有声整流罩的声激振器是振动体振型演示观察装置的基本组成部分。声激振器在音频信号电压的作用下，通过声压，激励板材试件振动。当音频信号发生器的信号电压频率达到板材试件的某一阶谐振频率时，则均匀撒在板表面的沙粒形成一个相应的振型图案。

【实验原理】

一、振动法测杨氏模量的物理基础

振动法测杨氏模量是以自由梁的振动分析理论为基础的。两端自由梁振动规律的描述要解决两个基本问题：即固有频率和固有振型函数。本实验只讨论前一个问题，然后以此为基础，导出杨氏模量的计算公式。

当图1所示的均质等截面两端自由梁作横向振动时，其振动方程为

                          (1)

其中为杨氏模量，为惯性矩，m₀为单位长度质量。

图1  两端自由梁的基频振动

方程（1）可用分离变量法求解。令

                              (2)

代入方程（1），并经整理得

                      （3）

由于上式中的、和、既非的函数，亦非的函数，而是等于一个常数（称为分离常数），即

                   （4）

于是由上式可得到两个独立的常微分方程：

                                    （5）

                                   (6)

这两个线性常微分方程的解分别为

                                    （7）   （8）

两端自由梁弯曲振动方程的通解为

    (9)

对于两端自由梁，如果搁置试件的两个刀口处在试件的节点附近，则边界条件为：两自由端的横向作用力-,两自由端的弯矩,即：

                           （10）

将通解代入上式表示的边界条件，则得：

                     （11a）

（11b）

由前两式可得代入后两式得：

         （12）

的非零解的条件是判别行列式等于零：

              （13）

由上式可解得两端自由梁的频率方程为

                                    （14）

用数值解法可求得上式的第一阶振型的根为：

                           （15）

由此可得两端自由梁的一阶固有圆频率(又称基频频率)为

                      （16）

式中=22.38称为自由梁的第一阶振型系数。对于不同阶的振型，有不同的值。第一阶振型图如图1所示。由图可见，在这一状态下，试件有两个节点，它们分别在离试件端面的0。224和0。776处。

    根据上式,可得杨氏模量的计算公式：

                                            (17)

对于等圆截面试件，应有

      

以及

          ,

考虑到上述诸因数后，(17)式变为

                                       (18)

这就是振动法测杨氏模量的计算公式。式中的l,d和m分别圆截截面试件的长度、直径和质量，f为试件的振动频率。

【测量方法】     

振动法测量杨氏模量的实验装置如图2所示。圆截面试件搁在两个距离可调的刀口上。刀口之间的距离大致为试件两个节点之间的距离。

将低频信号发生器输出的等幅电信号加到与试件相接触的压电晶体激振器上，使电信号变为压电晶体激振器的机械振动，通过激振器刀口传到试件上，激励试件作受迫振动。在两端自由梁的另一位置设置了一个压电晶体拾振器，它可把试件的机械振动转变为电信号。该信号经放大后，传输到示波器和数字电压表，用以显示振动波形和振动信号的大小。压电晶体激振器1输入电信号的频率可在低频信号发生器的数字频率表上读出。

试件的共振状态是通过调节压电晶体激振器输入电压信号的频率来实现的。当低频信号发生器的输出信号频率尚无调到试件的固有频率时，试件不发生共振，示波器上几乎看不到电信号波形或波形幅度很小，数字电压表上几乎没有电压显示或显示数值很小。当低频信号发生器的输出信号频率调到等于试件的固有频率时，试件发生共振。在这种状态下，示波器显示的振动波形幅度骤然增大，数字电压表显示值也突然上升到极值状态，这时低频信号发生器频率计上显示的频率就是试件在该条件下的共振频率f_r。

实际上，物体的固有频率f_I和物体的共振频率f_r并不相同。两者之间的关系为

                                 （19）

式中为试件的机械品质因数。在本实验中故

                                            （20）

在测出试件的相关尺寸m,l,d和固有频率f_I后，便可用公式（18）计算出试件的杨氏模量E。

【实验内容与步骤】

（一）练习测量试件的固有频率

1．按图2连接电路。经教师检查无误后，再进行实验。

2．测量前的准备工作

   （a）将动态杨氏模量测量仪上的“试件选择旋钮”拨到“棒”；

      （b）将示波器各相关旋钮置于显示波形所需要的的位置上；

      （c）音频信号发生器‘频率范围’置于200-2KHz档,输出信号置于‘电压挡’，‘衰减

     旋钮’置于零；

      （d）将黄铜棒置于电动式激振器和电动式拾振器的刀口上，两个刀口之间的距离大致

           调到试件作基频谐振动时两个节点之间的距离上。两刀口应调到等高。

3．测量试件的固有频率f_I

（1）调节音频信号发生器的输出电压调到较大水平。

（2）用“频率粗调旋钮”，仔细调节音频信号发生器输出信号的频率,使示波器显示的振动波形幅度突然增大。这时信号频率接近试件的固有频率。

（3）减小音频信号发生器的输出电压，使示波器显示较好的正弦波形。利用音频信号发生器的频率微调旋钮，细调音频信号发生器的输出信号频率，使示波器显示的波形继续增大，并达到最大状态。如此反复，直到示波器上显示幅度最大波形最好的正弦波形。

（4）记下此时音频信号发生器频率表上显示的频率，即为黄铜棒的固有频率f_I。

（二）用作图外推求值法测杨氏模量

(1)    计算试件黄铜棒的两个节点位置（0.224和0.776），把激振器和拾振器的刀口搁

到试件的两个节点处，将此时激振器和拾振器标尺指示板所指示的标尺位置（最好

调到整数）作为坐标原点O。并设两个坐标：左坐标（30，20，10，0。-10，-20，

-30）和右坐标（-30，-20，-10，0，10，20，30）

（2）将激振器和拾振器的刀口分别移到左右坐标的30、20、10、-10、-20、-30处，按

                   上述方法调出相应的谐振频率f。

（3）以刀口位置x为横坐标，共振频率f为纵坐标，作f---x图线。求出图线与x轴交点

                   的坐标值，即为基频谐振频率f_r。

      （4）用相应的量具测出试件的l,d,m

（5）按（18）式计算出试件黄铜棒的杨氏模量E。

（三）测量试件谐振动的本征值

（1）按上述测量方法分别测出五种不同金属材料圆棒的共振频率f_r1、f_r2、f_r3、f_r4、f_r5

（2）以mf_r²为横坐标，E为纵坐标，作E --- mf_r²图线。从图线的斜率求出本征值K。

（3）将K的实验值与理论值作比较。并根据K的实验值判断所测振型是否为基频共振频率和基频振型？

（四）观察铝平板的振型

（1）将杨氏模量测量仪上的“试件选择旋钮”拨到“板”。

（2）将声激振器的激振头调到试件的非节线位置（不同的振型，激振头的位置不同），

  并将激振器的激振头与试件之间的距离调到最小（但不要接触）。

（3）在铝平板表面均匀撒上小米做的细沙粒。

（4）把音频信号发生器的输出电压调到较大水平。

（6）调节音频信号发生器输出信号的频率（先粗调，后细调频率旋钮），观察板面

                   上沙粒的移动情况。继续细调频率旋钮，使试件板面上出现“T”字形沙型，则试件出现“一弯一扭”振型。

注意：不要调高频振型，否则声音太刺耳！

【思考题】

1．试分析拉伸法测杨氏模量和振动法测杨氏模量这两种方法各自的特点。

2．在本实验中，你如何判断试件的振动已处于基频共振状态?

3．在两端自由梁的振动实验中，为什么要将电动式激振器和电动式拾振器的刀口偏离试件的两个节点位置放置？如果两个刀口放在非节点位置上会不会对测量结果产生影响?

用声激振器对板件激振时，激振头应放在什么位置才能激出振型？