大学物理实验绪论

补充教材

机械学院

§1 物理实验的主要任务和要求

一、物理实验的地位、作用和任务

物理学从本质上说是一门实验科学。物理规律的研究都是以实验事实为基础,并不断接受实验的检验。物理实验在物理学的发展过程中起着十分重要的作用。物理实验课高等学校理工科各专业一门独立开设的必修基础课程，与理论课教学具有同等重要的地位。两者既有深刻的内在联系，又有各自的任务和作用。

物理实验是对理工科大学生系统进行实验方法和实验技能训练的开端，也是对学生进行科学实验训练的重要基础。物理实验课对学生进行基础实验方法和技能的训练，特别是有效数字概念和误差理论的学习、运用和训练。

本课程的具体任务：

1、通过对实验现象的观察、分析和对物理量的测量，学习物理实验的基础知识

(1) 掌握常用物理量的基本测量方法，常用实验方法及常用测量仪器的原理和使用等。这些测量方法及有关仪器在科学实验或日常工作中会经常遇到。

(2) 学习误差理论、有效数字的读取、记录和运算方法以及正确处理实验数据的基本方法，学习提高实验精度和减小实验误差的常用方法和技巧。例如，学会分析哪些误差是主要的，哪些可以减小或忽略。在满足精度要求的前提下，能够提出初步的最简便、经济的实验方案，包括选择恰当的仪器与测量步骤等。

(3)了解理论知识的有关应用，包括最新应用。这不但能加深对物理学原理的理解，反过来还可以增加理论课的学习兴趣及主动性，同时也可以拓宽知识面，开阔思路，丰富应用实践方面的经验。

2、培养和提高学生的科学实验能力

(1) 独立阅读实验教材和仪器说明书，查阅相关参考资料以及做好实验前准备工作的能力，正确使用常用仪器进行测量的能力；

(2) 初步掌握常用物理仪器的基本操作方法以及利用这些仪器对基本物理量进行测量的能力；

(3) 运用物理学理论及相关知识对实验现象进行初步分析判断的能力；

(4) 正确记录和处理实验数据，绘制曲线和图表，说明实验结果，撰写合格实验报告的能力。

3、培养和提高学生的科学实验素养

使学生具有理论联系实际的优良作风，实事求是、严谨认真的科学态度，有序细致的操作习惯，自觉研究和探索科学问题的创新精神；自学遵守纪律、团结协作爱护公共财物的优秀品德。

二、怎样学好物理实验课

要想实现培养目标，完成上述任务，学生应该根据物理实验课的特点和要求认真对待实验教学的各个环节，潜心钻研，才可以达到更好的效果。

物理实验课一般可分为四个主要环节进行。

1、实验前的预习

实验课前，学生必须认真阅读实验教材，以便更好地了解实验的基本原理，掌握实验的关键环节，为及时、迅速、准确地测得实验数据做好准备。通过预习，还要了解仪器的工作原理和使用方法。在学习中要认真回答思考题，牢记注意事项及安全操作规程。由于实验课时间有限，因此课前预习的好坏是能否完成实验，能否取得较好效果的前提。

2、课堂讲解

实验前老师对仪器的调节使用，主要实验内容、具体步骤和注意事项进行简要的讲解。为准确无误地完成实验打好基础。

3、课堂实验

课堂实验是实验课最重要的环节。

(1)实验前必须检查和辨认仪器设备、材料是否完好、齐备，明确各部分的作用、使用方法和注意事项；

(2)根据实验要求正确地将有关仪器组成所需的测试系统。经检查确保无误，方可按步骤进行实验操作。

特别是在电磁学实验中，在连接电路前，应考虑仪器设备的合理布局及电源的正负极性，电路连接好之后，还要注意把仪器调节到“安全待测状态”，然后请教师检查，确定电路连接正确无误后方可接通电源进行实验。

(3)在实验中必须仔细观察、积极思考、认真操作、防止急躁，做到实事求是地观察和测量。要初步学会分析实验现象，遇到问题时应冷静分析和思考；在实验中有意识地培养自己的独立工作能力。

(4)实验数据的记录是实验结果和分析问题的依据。在实验中，应根据所使用仪器的精度和实验条件认真真实地读取和记录实验数据，千万不可根据主观意想来编造数据、凑数据，特别是要正确使用有效数字。原始数据必须要用钢笔或圆珠笔记录在原始数据记录本上，不要随意涂改，对认为错误的数据应轻轻划上一道，在旁边写上正确值，以便在分析测量结果和误差时参考。

两人以上合作实验时要合理分工，充分交流，协调一致，共同达到实验要求。

实验完毕，应将所测量的数据交给任课老师检查、签字。最后再仔细收拾整理仪器设备，保持实验室的清洁与整齐。

4、撰

写实验报告

实验报告是对实验过程及其结果的系统而全面的总结，要用简明的形式将实验结果完整而真实地表达出来。实验报告要用统一规格的实验报告纸书写（可加附页），必须各自独立地及时完成。要做到文字通顺、表述明确、字迹端正、图表规范、结果正确、讨论认真。好的实验报告应作为研究资料保存。

实验报告通常包括：

(1)实验名称、实验者姓名、学号、同组人姓名、实验日期。

(2)实验目的

(3)实验原理用简洁的语言对实验所依据的理论进行叙述，不要照抄书本。要给出实验所依据的定理、定律、线路、光路以及有关实验条件等。

(4)实验的内容和步骤根据老师的具体要求简述实验的主要实验内容和步骤。

(5)实验记录实验数据记录应尽量详尽，并注明单位。数据记录还应包括相关的常数。

(6)数据处理及实验结果的表示包括结果计算、实验曲线、表格、误差分析、最后结果表示等内容。计算按照有效数字的运算法则进行。根据要求计算各直接测量量和间接测量量的标准误差，并将实验结果正确地表示出来。

(7)结果讨论根据实验的具体情况，必要时应对实验结果进行讨论，讨论内容不限。如实验中观察到的现象分析、误差来源分析、实验中存在的问题讨论、结果的可靠性等。

三实验的具体安排

1、本学期须完成八个物理实验。实验采用循环的方式进行，三(或四个)个实验为一个循环，每周完成一个实验；每个实验为两个学时。

2、实验时每个教学班分为A、B两个大组，一般采用一个上午或下午为单元，前两节为A组实验时间，后两节为B组实验时间；每个大组按学号顺序分分成若干个实验小组，每个小组两至三人，实验时必须按小组编号顺序与仪器编号对号入座。

3、每个小组必须准备一个原始数据记录本，实验时必须带原始数据记录本，原始数据必须记录在原始数据本，每次数据必须有任课老师签字，否则本次实验按零分计。

4、实验时必须遵守实验室规章制度，有事请假，假条必须有班主任老师签名盖章，否则按旷课处理。旷课时本次实验成绩按零分计。

5、必须按时上交实验报告。实验报告每周交一次。每次上课前由学习委员或课代表交上次课实验报告，并附缺交实验报告人员名单。无故不按时上交实验报告者将酌情扣减本次实验成绩。

6、实验报告上必须写明班级、学号及同组人姓名，实验报告不得抄袭，不交实验报告和雷同实验报告均按零分处理。

7、物理实验成绩按等级记分制，共分为五个等级：优秀、良好、中等、及格和不及格。记录成绩的主要依据是实验报告和课堂实验情况。

8、实验结束后，各组必须将使用的仪器整理好，关闭有关的电源。每个大组每次实验必须明确值日生(三人)，实验结束后值日生要打扫实验室卫生。

§2 误差理论及其处理

1、测量

测量就是将待测物体的某物理量与相应的标准进行定量比较，得到此物理量的测量值。测量结果数值的大小与所选用的单位有关。因此，表示一个被测对象的测量值时必须包括数值和单位。

对物理量的测量按测量方式通常可分为直接测量和间接测量。

直接测量 凡是可以用测量仪器或仪表直接读出待测物理量量值的测量称为直接测量，相应的物理量称为直接测量量。例如用米尺量长度，用天平称质量等。

间接测量 是指被测物理量的量值要用相关的直接测量的量值通过公式运算间接获得，这类测量称为间接测量，相应的物理量称为间接测量量。例如根据公式利用单摆测量重力加速度，摆长和单摆周期T为直接测量量，重力加速度g为间接测量量。

按照测量条件通常可分为等精度测量和非等精度测量。

等精度测量 如果对某一物理量进行多次重复测量，并且每次测量的条件（测量者、测量仪器、实验方法和温度等）都相同，所以每一次测量的精度都具有相同的级别。这样进行的重复测量称为等精度测量。

非等精度测量 在诸多测量条件中，只要有一个发生了变化，这时所进行的测量，就称为非等精度测量。在进行多次重复测量时，要尽量保持为等精度测量。

除了上面的分类方式外，还有各种分类方法。如单次测量与多次测量，接触测量与非接触测量，静态测量和动态测量等。

2、真值

所谓真值，是指被测量在特定的时间、特定的环境条件下，客观存在的真实大小。它是一个理想的概念。实际测量中只有最佳值，通常取多次测量的平均值作为最佳值。

3、测量误差

由于被测量的真值是无法测得的，不管使用多么精密的仪器，测量出来的结果总是真值的近似值。所以任何测量都存在误差。

测量误差可分为绝对误差和相对误差。

绝对误差 若某物理量的测量值为x，真值为a，则测量值与真值的之差为：

(1)

上式定义的测量误差反映了测量值偏离真值的大小和方向，因此称为绝对误差。

相对误差 绝对误差只能表示某一测量结果偏离真值的大小，但却不能说明不同测量结果的优劣。例如，测量10m长绝对误差为1mm与测量1m长绝对误差1mm，两者绝对误差相同，但是测量结果前者优于后者。要说明不同测量结果的优劣程度必须用相对误差表示。相对误差定义为：

(2)

测量不确定度 由于被测量的真值不可测得，测量误差也不可得，只能给出被测量的最佳估计值及对其不确定范围做出近似估计。测量不确定度表征被测量值的分散性。

二 误差的分类

由于实验方法、仪器精度、环境条件的不同，误差存在于一切科学实验和测量过程中。误差按其性质和产生的原因可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。

1、系统误差

(1)系统误差的定义

在一定条件下，对同一物理量进行多次重复测量时，其测量结果总是偏向某一个方向，其数值操持一定或按一定规律变化。这类误差就称为系统误差。

(2)系统误差的来源

①仪器误差由于仪器本身缺陷或没有按规定条件使用仪器造成的。

如标准电池，标准电阻等本身的误差；天平不等臂造成的误差；电表的示值与实际值不符等，这类误差采用适当的方法可以使之消除。

②理论或方法误差由于实验所依据的理论公式为近似公式或者实验条件达不到理论要求等而引起的。如单摆测重力加速度时所用公式的近似性；伏安法测电阻时，没有考虑电表内阻的影响等。

③环境误差它是由于实验的外部环境，如温度、湿度、光照等与仪器要求的环境条件不一致而引起的误差。

④实验人员生理或心理特点所造成的误差如使用停表计时时，总是超前或滞后；用仪表读数时总是偏向一方斜视等。

(3)系统误差的分类

① 定值系统误差这种误差在测量过程中其大小和符号恒定不变。例如，千分尺没有进行零点修正，天平砝码的标称值不准确等。

② 变值系统误差这种误差在测量过程中呈现规律性变化。例如，分光计刻度盘中心与望远镜转轴中心不重合，存在偏心差所造成的读数误差。

(4)系统误差的处理

系统误差产生的原因往往可知或能掌握，查明后应设法加以修正清除其影响。

2、粗大误差

明显偏离了测量结果的误差称为粗大误差。它是由于实验者使用仪器方法不正确，或粗心大意读错、记错测量数据，或实验条件突变等原因造成的。在实验测量中要极力避免过失错误，在数据处理中应将粗大误差剔除掉。

3、随机误差

(1)随机误差的定义

由于偶然的或不确定的因素所造成的每一次测量值无规则的涨落，称为随机误差。随机误差也称偶然误差。

在测量过程中，即使消除了系统误差，在等精度条件下多次测量同一物理量时，仍不能得到完全相同的结果，其测量值分散在一定的范围内，所得误差时正时负，绝对值时大时小，既不能预测，也无法控制，呈现无规则的起伏。

(2)随机误差产生的原因

随机误差的产生，一方面是由于测量过程中一些随机的无法控制的可变因素或不确定因素引起的，如由于人的感官灵敏度或周围环境干扰而导致读数的微小变化以及其它不可预测的随机因素的影响等。

另一方面是由于被测对象本身的不稳定性引起的。如被测样品本身存在的微小差异，这时被测量就没有明确的定义值，这也是引起随机误差的一个原因。

随机误差就个体而言是不确定的，但其总体服从一定的统计规律，因此可以用统计方法估算其对测量结果的影响。

三、测量的精密度、准确度和精确度

对测量结果的好坏，我们往往用精密度、准确度和精确度来评价，但这是三个不同的概念，使用时应加以区别。

1、精密度表示测量结果中偶然误差大小的程度。它是指在规定条件下对被测量进行多次测量时，各次测量结果之间离散的程度。精密度高则离散程度小，重复性大，偶然误差小，但系统误差的大小不明确。

2、准确度表示测量结果中系统误差大小的程度。它是指在规定条件下，多次测量数据的平均值与真值符合的程度。准确度高则测量接近真值程度高，系统误差小，但对测量的偶然误差的大小并不明确。

3、精确度表示测量结果中系统误差与偶然误差的综合大小的程度。它是指测量结果的重复性及接近真值的程度。对于测量来说，精密度高，准确度不一定高；而准确度高，精密度也不一定高；只有精密度和准确度都高时，精确度才高。

下面我们以打靶为例，来形象地说明，这三个不同概念的之间的区别。

在图中(a)图表示子弹比较集中，但都偏离靶心，说明射出的精密度高，但准确度较低；(b)图表示子弹比较分散，但是它们的中心位置比较接近靶心，说明射击的准确度高，但精密度较低；(c)图表示子弹比较集中靶心，说明射击的精密度和准确度都较高，即精确度较高。

三、随机误差的分布规律与特征

(一)随机误差的正态分布规律

1、多次测量值的正态分布规律

就某个单一测量值来说随机误差是没有规律的，其大小和方向都是不能预知的，但对同一物理量进行多次重复测量时，则发现随机误差的出现服从某种统计规律。

例如用秒表来测量单摆的周期时发现，就某一次测量而言，其周期的大小是不确定的，如果对单摆周期测量多次，其值时大时小，总是在某个值附近波动。用秒表测量单摆的周期213次，其测量值的分布规律如表1(区间:单位为秒，频率:单位为次)

表1

如果以时间t为横坐标，以频率为纵坐标做出周期的测量值与测量频率的图像如图(2)所示。

从图(2)可以看出周期T的测量值满足正态分布。由图可知测量值T绝大部分分布在某一值T₀附近，且关于T₀基本对称；测量值比T₀越小或越大出现的概率越小。

2、随机误差的分布规律

实际上T₀值就是多次测量值的算术平均值，根据测量误差的定义，如果将纵坐标平衡至T₀处，即坐标原点位于T₀处，则图(3)的横坐标为偶然误差，纵坐标表示随机误差出现的概率。图(3)称为随机误差的正态分布曲线。由图(3)不难看出随机误差有如下特点：

(1)单峰性 绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率高。非常大的误差出现的概率趋于零。

(2)对称性 绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相等。即。

(3)有界性 在一定条件下随机误差的绝对值不会超过一定的界限。即误差越大出现的概率越小。

由此可见，随机误差虽因不可预知而无法避免，但却可以通过多次测量，利用其统计规律而实现互相抵偿，因而能找到真值的最佳近似值（又叫最佳估计值或最近真值）。

(二)直接测量结果的确定和随机误差的估计

1、直接测量结果的最佳估计值—算术平均值

在相同条件下对一个物理量进行了n次独立的直接测量，所得测量值为x₁，x₂，…x_n，称其为测量列，其算术平均值为：

(3)

由定义式(1)可知，在测量列中单次测量值的绝对误差为测量值与真值之差，即

(4)

其中为物理量的真值。将(4)式求和有，将等式两边同时除以n有

(5)

在无系统误差或已消除系统误差的情况下，当测量次数时，由随机误差的抵偿性可知，即，所以有，即多次测量的平均值是真值的最佳估计值。或者说测量次数越多，多次测量的算术平均值就越趋于真值。

2、多次测量结果的随机误差（标准误差）

对物理量X进行多次测量时，其算术平均值的绝对误差可以用算术平均误差和算术平均值的标准误差来表示。

(1)算术平均误差将各次测量值与平均值之差的绝对值求和再除以测量次数n，即得到多次测量值的算术平均误差，即

(6)

(2)算术平均值的标准误差

由统计理论可以证明算术平均值的标准误差用下式表示

(7)

其中n为测量次数，为n次测量中第i次测量值，为n次测量的算术平均值。算术平均值的标准误差的统计意义是：待测物理量落在区间内的概率为68.3%，落在区间内的概率为95.4%，落在区间内的概率为99.7%。进一步的理论表明用算术平均值的标准误差来表示算术平均值的绝对误差更合理。本课程一律采用算术平均值的标准误差作为测量值的绝对误差。算术平均值的标准误差简称标准误差。

3、单次测量结果标准误差的估算

对有些测量量，由于使用的仪器精度足够高，并不需要进行多次测量。设仪器的最大读数误差为,则单次测量结果的标准误差为

(8)

式中k 为分布系数，若认为单次测量时误差符合均匀分布，则k取为，若误差满足正态分布k取3。在本课程中一律取，即

(9)

例如，假设千分尺的最大仪器误差为，则用千分尺测量一次时其标准误差为。

如果仪器没有标明仪器误差，对于刻度型仪器则取仪器最小刻度的十分之一作为标准误差；对于数字型仪器则取读数的最小单位作为标准误差。

4、仪器的准确度等级与仪器误差的关系

设仪器最大允许误差为，量程为A，最大读数误差为，则最大允许误差定义为

(10)

则仪器的准确度等级S定义为

(11)

于是由(11)式得到仪器的最大读数误差为

(12)

即仪器的最大读数误差等于仪器的准确度等级乘以其量程除以100。

5、测量结果的表示

测量结果的完整表示除了测量值以外，还应包括测量误差——标准误差和相对误差。这样测量结果的表达式为

(13)

例1、利用千分尺测量钢球的直径，共测量六次。消去系统误差后，所得测量值分别为:，，，，，，其中单位为毫米。求钢球的直径及其标准误差，并将结果表示出来。

解：先求出钢球直径的算术平均值为:

将各次测量值减去平均值得到各次测量的绝对误差为(其中单位为毫米)：

，，,，，

由(7)可以求得算术平均值的标准误差为:

于是测量结果为:

必须注意：绝对误差只取一位有效数字，相对误差取两位有效数字(在§3中陈述)。

(三) 间接测量结果随机误差的计算——标准误差的传递与合成

在物理实验中,某些物理量通常只能通过另外一些物理量间接地得到。由于直接测量量存在误差,间接测量量不可避免地存在误差,由直接测量量的误差引起的间接测量量的误差称为误差传递。

1、误差传递的基本公式

设间接测量量是由相互独立的多个直接测量量通过函数关系计算得到。由于每个直接测量量在测量过程中都存在误差，那么间接测量量也存在误差。与数学中自变量的增量相似，与函数的增量相似。由高等数学函数增量和全微分公式有

或 (14)

如果将视为直接测量量的误差，则为间接测量量的误差。(14)式称为误差传递基本公式。其中称为各直接测量量的分误差，则称为误差传递系数。(14)式说明：一个测量量的误差对总误差的贡献，不仅取决于本身误差的大小，还与误差传递系数有关。

如果是积或商的函数关系，为了简便起见将函数关系式两边取对数后再求全微分，即，然后再求全微分得到误差传递的基本公式

(15)

(15)实际上是以相对误差形式表示的误差传递的基本公式。

2、间接测量量标准误差传递公式

设之间为相互独立的直接测量量，它们各自的标准误差分别为，且它们的测量次数足够多，可以证明间接测量量的标准误差为

(16)

或 (17)

(17)式也是以相对误差形式表示的间接测量量的标准误差公式。

3、求间接测量量标准误差传递公式的基本步骤

给定直接测量量与间接测量量的函数关系后如何求间接测量量的标准误差传递公式？这实际上是由误差传递基本公式如何求间接测量量的误差传递公式的问题。其基本步骤是：

(1)求全微分由给定的函数关系求出给定函数的全微分，即先求出(14)式，如果函数关系是积或商形式表示的，则先对函数等式两边取对数后再求全微分，即求出(15)式；

(2) 合并同类项合并同一变量的误差传递系数。如果某个自变量有多项，则要先合并各项的系数(如果(14)式(15)式中项数多于变量的个数就需要合并同类项)；

(3)微分符号变为标准误差符号即将(14)式或(15)式中的变为；

(4)求“方和根” 将各直接测量量的分误差求平方，再相加，最后开平方根，即得到间接测量量的标准误差传递公式(16)式或(17)式。

例2、求函数关系式的标准误差传递公式。设直接测量量的标准误差为，为常量。

解: (1)求全微分由函数关系式可求得其全微分为

(2)合并同类项对于某个自变量有两项以上的必须将其合并为一项，所以有

(3)微分符号变为标准误差号将上式中各分误差的微分符号变为标准误差符号，其系数不变有

(4)求“方和根” 将上式右边各项求平方相加后再开平方根，等式左边不变，即得到间接测量量z的标准误差公式为

若直接测量量中有多次测量量,在计算间接测量量的值时是将直接测量量的平均值代入函数关系式得到间接测量量的算术平均值。

例3、求函数关系式的标准误差传递公式。设直接测量量的标准误差为，为常量。

解： (1)求函数的全微分由函数式求得其全微分为

(2)微分符号变为标准误差符号将上式中微分符号变为标准误差号，系数不变则有

(3)求“方和根” 将等式右边各项求平方相加后再开平方根，等式左边不变，则有

即

间接测量结果的表示方法与直接测量结果的表示方法相同，也用(13)式表示。

例4、一铁质圆柱体，用感量为0.02g的天平称量其质量m一次，m=279.68g，用分度值为0.02mm的游标卡尺测量其高度H共五次，用分度值为0.01mm的千分尺测量其直径D五次（测量数据见表），求该圆柱体的密度。

解：测量数据为m=279.68(g),天平的读数误差为δ_m=0.02(g)

由此求得

(1)计算质量的标准误差： (单次测量误差)

(2)计算高度的标准误差：

(3)计算直径的标准误差：

(4)圆柱体的密度：

(5)求密度的标准误差

由于圆柱体密度函数是积商形式出现的，所以先对密度公式两边取对数有

再对上式两边求全微分有：

必须注意常数4和的微分等于零。将上式右边求“方和根”(各项平方相加，再开平方根)，左边不变，即得间接测量量密度的相对误差：

圆柱体密度的标准误差为

必须注意，对于绝对误差和相对误差只入不舍(在§3中陈述)，所以密度的标准误差为

结果表达式：

§3、有效数字及其运算规则

由于物理测量中总存在误差，因而测量误差决定了测量值的位数只能是有限位数，测量结果数字最后一位应与误差相对应，不能随意取舍。因此，在物理测量中必须按照一定的表示方法和运算规则来正确表达和计算测量结果。

一、有效数字的概念

1、有效数字的定义

测量结果中所有可靠数字加上末位有误差(一位)的数字统称为测量结果的有效数字。虽然最后一位数字是有误差的，但是它还是能够反映测量的客观实际。

测量结果有效数字位数的计算：自左至右，从第一个非零数字数起到末位所有数字。例如123.4有四位有效数字，0.01234也是四位有效数字，23.600有五位有效数字。

常数的有效数字为无限多位，可以根据需要取舍。例如圆周率，根据需要可以取3.14，也可以取3.142、3.14159等。

2、有效数字的读取

使用测量仪器测量数据时，必须使用有效数字来表示测量结果。即除了记录能准确读取的数字外，还必须记录一位有误差的数字，也就是说必须估读一位。

(1)对于以刻度示值的仪器，准确数字应该是最小刻度的整数倍；有误差的一位应该估读到最小刻度的十分位，即最小刻度十分之一的整数倍。如用最小刻度为1毫米的米尺测量长度时应该估计到零点几毫米。用分度值为游标卡尺进行测量时应该估计到最小分度值的下一位，一般估计到最小分度值的二分之一。若测量值恰好为整数，最后必须添零至误差发生的那一位。

(2)对于某些仪器读数时只需估计最小分度位。例如，仪器的最小分度值为0.5，则0.1-0.4,0.6-0.9都是估计的，不必估到下一位。

(3)对于数字显示型测量仪器，测量结果直接由仪器读取，不需估计，并且认定最末位为有误差位。若进行单次测量时，用读数的最小单位作为误差。如数字毫秒计的最小单位是1毫秒，则进行单次时其误差δ=1ms。

3、有效数字的基本特征

(1)有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关。

对于同一被测量，如果使用不同精度的仪器进行测量，则测得的有效数字的位数是不同的。仪器精度越高测量结果的有效数字越多。例如，用精度为0.01mm的千分尺测量一物体的长度，读数为8.344mm，共有四位有效数字，其中前三位数字“8.34”是可靠数字，末位“4”是可疑数字。如果改用最小分度值为1mm米尺来测量，其读数为8.3mm，测量结果只有两位有效数字。

(2) 有效数字的位数与被测量的大小有关。

例如用同一仪器测量大小不同的被测量，被测量越大，测得结果的有效数字的位数也就越多。

(3)有效数字的位数与单位的选择无关。

例如：不等于，前者是三位有效数字，后者则是四位有效数字；也不等于，它表示四位有效数字。有效数字变了表明所用的测量仪器也变了。如果要进行单位的换算，应该用科学计数法来表示，即

4、有效数字的取舍

对于一个数字或测量结果，根据保留位数的要求，将多余的数字进行取舍的过程称为数字的修约。在大学物理课程中对数字进行修约时一般采用四舍五入的原则。

假设某一个测量结果需要保留n位有效数字，当第n+1位的数字≤4时，则第n位后的各位舍去; 当第n+1位的数字≥5时，则第n位上加1，其后各位全部舍去。

例5、将下表中的数据保留三位有效数字。

5、测量误差决定了测量结果的有效数字位数

测量误差决定了测量结果的有效数字位数。即测量误差所在的那一位必须与测量结果的最后一位(误差位)对齐。对于直接测量量，这一点比较好理解，仪器的精度决定了误差发生在哪一位，即测量结果的有效数字应该读到哪一位。测量误差位与测量结果的有效数字的末位是对齐的，也就决定了有效数字的位数。

对于间接测量量也是如此，标准误差所在的那一位必须与测量结果的最后一位(误差位)对齐。例如，如果根据直接测量数据计算出圆柱体密度为，其标准误差为，说明误差发生在小数点后第三位，密度测量结果中小数点后第三位的“7”也是有误差的，根据有效数字的定义，测量结果的有效数字中只保留一位有误差的数字，应该与标准误差所在的那一位“3”对齐。所以密度测量值中小数点后第四位的“2”没有必要保留。结果应该写成。反之如果，标准误差为，则结果应该写成。总之测量结果有效数字的最末位必须与标准误差所在的那一位对齐。如果写成ρ=（7.81720.003）（g/cm³）或ρ=（7.8170.0003）（g/cm³）都是错误的。

二、有效数字的运算规则

间接测量量是由直接测量量通过一定的函数关系计算出来的。而各直接测量量的大小和有效数字位数一般都不相同，间接测量量的有效数字必须根据函数运算关系来确定。有效数字运算的总原则是：准确数字之间运算得到的结果仍为准确数字；准确数字与非准确数字之间运算、非准确数字与非准确数字之间运算得到的结果为非准确数字。另外，间接测量结果的误差也是由各直接测量结果的误差通过误差传递公式求出来的，计算中也有如何确定有效数字的问题。根据上述有效数字确定的总原则可以得到如下的结论。

1、加减运算时有效数字的保留规则

根据有效数字运算的总原则，作加减运算时，其运算结果在小数点后面保留的位数应与参与运算的各运算数中小数点后位数最少的相同。

例5、求下列运算后的结果及有效数字的位数，23+12.56+58.8。

解：作上述算式的竖式运算，如右图。参与运算的各数中用下划线表示的“3”，“6”，“8”都是有误差的数字，根据有效数字运算的总原则，经过加减运算后的结果中，只有“9”是准确数字，其它用下划线表示的其它三个数字“4”，“3”，“6”均为有误差的数字，又因为测量结果中只保留一位有误差的数字(4)，必须将后两位有误差的数字“3”和“6”舍去，所以最后结果为“94”，两位有效数字。

2、乘除运算时有效数字的保留规则

根据有效数字运算的总原则，作乘除法运算时，其运算结果的有效数字位数应与参与运算的各运算数中有效数字位数最少的相同。

例如，124×23.65÷82=36.753，由于参与运算的三个运算数中，除数“82”的有效数字的位数最少为两位，所以运算结果也只保留两位有效数字，即结果为“36”。

3、其它数学运算时有效数字的保留规则

作乘方、开方和取对数等运算时，有效数字的位数保持不变。

必须注意，上述各种运算后有效数字保留的原则，是在没有考虑计算标准误差前提下确立的。如果要计算标准误差，运算的中间结果和最后结果应当适当多取一位至两位。最后应由标准误差来确定测量结果的有效数字的位数，即测量结果有效数字的最末位必须与标准误差所在的那一位对齐。(见测量误差决定测量结果的有效数字的位数)

4、测量误差的有效位

对于测量结果标准误差和相对误差的有效数字，规定采取只进不舍的规则。且标准误差只保留一位有效数字；相对误差则一般保留两位有效数字。例如标准误差计算结果为0.0024675g/cm³，结果应表示为σ=0.003g/cm³。相对误差E=0.0314%，结果应表示为E=0.032%

例6 求圆柱体的密度，并确定结果的有效数字的位数。其中圆柱体的直径，高度和质量以及对应的标准误差分别为：

，，。