20##-20##学年第二学期学生读书报告作业内容及要求

一、内容要求：可以从下列五个方面择一，也可以参考《数学之美》中的选题

1、学习数学的心得和感想；

    2、就某数学方法和数学思想谈体会；

    3、文科专业或生活中应用数学的案例；

    4、对数学某知识点的进一步思考；

5、对数学之美的感悟和对数学文化的理解（不提倡泛谈数学之美的文章）

二、格式要求：

1、稿件要求有题目、作者情况（姓名、学院、专业、学号）、摘要、关键词、正文、参考文献共6个部分。

2、稿件一律以word2003或word2007电子版形式提交。

3、稿件中的数学公式及变量务必用word中的公式编辑器书写。

4、稿件详细的格式要求请参见后面附件模版。

5、每个学生都要认真填写“学生关于“大学文科数学”课程读书报告作业

的说明表”（见附件）。每个同学把课程读书报告作业的说明表作为你读书报告的第一页。

三、评分要求：

    1、报告评分标准：

  观察点：内容好——论点鲜明、论据充分、个人见解、材料丰富，较有新意；

          写作好——脉络清晰、用词准确、语言流畅、无错别字、标点正确；

          其他好——2500字以上、基本符合“格式”要求。

  五个等级  A（90—100分）  B（80—89分）  C（70—79分） 

 D（60—69分）  E（59分以下）

     等级A：论题集中，内容好，个人见解有新意，脉络清晰。

     等级B：有个人见解及相关论据，内容和表述较好。

     等级C：有较好的内容，但写得一般。

     等级D：内容一般，表述较差。

     等级E：言之无物，写得很差。

     引用别人的材料应该注明出处，摘录的材料与需要说明的观点相呼应。

    2、作弊评判：

a、凡是雷同的论文全部为“0分”

        b、全部抄袭的论文为“0分”

          （包括全部抄袭网络和任何报刊杂志上发表的文章）

 四、其他要求：

    1、读书报告字数要求为2000～3000字；

2、如何选题及如何能写出好的读书报告，请参阅1-8期《数学之美》，特别是其中的“编辑点评”。

    3、不退原稿；

    4、读书报告成绩占学期总成绩的10%；

    5、交稿截至日期为5月10日；

    6、交稿时交一份打印好的纸质论文和电子版的论文，电子版请发到任课教师的信箱（daiyingnankai@126.com），电子邮件主题请注明“读书报告”，附件的“文件名”统一要求用投稿人自己的“学号、姓名、专业、手机号码、文章题目”。              

    7、较好的读书报告将推荐给《数学之美》编辑部nksxzm@nankai.edu.cn

附件：

 

 

对“无穷大旅馆”的一点探讨

——兼谈实无限与潜无限

贾慧哲

（化学学院 化学专业 0710747）

摘  要：借助对有无穷多个房间的旅馆提出一系列问题并对这些问题加以解答，使用简单易懂的构造性证明的方法，简要介绍了可数无穷与连续统无穷的一些性质，最后引出“最大的无穷大不存在”这一结论。

关键词：无穷大；一一对应关系；自然数集合；实数集合；复数集合；基数

 

1  问题的提出

在现实中的旅馆，其房间数都是有限的。如果有一个有无穷多个房间的旅馆，这旅馆会挂出怎样的招牌呢？比如说，“本旅馆永远有房间”这句话，在只入住有限个客人时，是成立的，那么在客人的数量有无穷多个的时候，是否还能成立呢？

为了下面的讨论方便起见，先在这里简要地介绍一下比较两个无穷集合中元素个数多少的方法：两个无穷集合[Microsoft1] 和，如果对于每一个,都有一个与之对应，反之亦然（即建立一一对应关系），那么我们认为和中的元素“一样多”。用专业的语言来讲，这两个集合是对等的，具有相同的基数。

凭借上面的方法，我们将开始对“无穷大旅馆”进行一系列的探讨，让旅馆中房间的数目一步步地增多起来，进而一步步得出各种惊人的结论。[i]

2  自然数旅馆

设想有一个旅馆（方便起见我们称之为“自然数旅馆”），其房间按自然数编号且有无穷多，即房间编号为1,2,3,…。假设每个房间都住有一人，然后我们提出如下一系列问题：

………

表面上看起来，由于每个房间都住有人，旅馆应该挂出“客满”的牌子了，但实际上我们可以进行这样的安排：在又来了个客人的时候，可以让1号房间的客人搬到+1号房间，让2号房间的客人搬到+2号房间……写成表格的形式就是（见表1）：

表1  问题（1）的答案

这样，通过函数，我们重新建立了已经入住的客人和房间的一一对应关系，使得已经入住的每个人都有房间，而号的房间被空出来了，正好给新来的个人住。问题（1）顺利解决，“客满”的牌子是不用挂出去了。

………

我们可以考虑另外的方法，比较简单的一种是：把1号房间的客人移到2号房，2号房的客人移到4号房，3号房的客人移到6号房……写成表格的形式是（见表2）：

表2 问题（2）的“2倍”的解决方案

通过函数[Microsoft2] ，我们又重新建立了已入住的客人和房间的一一对应关系。这样奇数号的房间被空出来了。于是新来的1号客人住入1号房,2号客人住入3号房,…,号客人入住号房，新来的客人和奇数号房间也有一一对应关系，问题（2）顺利解决。

…………

但问题并不是没有解决的方法，这里介绍两种方法：

方法1：给这无穷多队客人（已经住在旅馆内的客人也包括在内）用一对自然数编号，如1队1号编为（1，1），1队2号为（1，2），2队1号为（2，1），……，队号则为（，）。然后这样排列（见图1）：

图1 问题（4）的方法1

按照图1中箭头指示的方向，让这一方向上遇到的第1、2、3……个客人依次入住1、2、3……号房间，问题得到解决。

方法2：把房间的编号按照这样的形式排列起来，形成类似杨辉三角的形状（见图2）：

………………

3  基数的概念

基数（Cardinal number）是反映集合中元素数目的一个数。康托尔对于基数的定义（英文原文）是这样的：

The power of cardinal number of M is what we call the general concept, which by the aid of our active capacity for thought arises from the set M when we make abstractions from the nature of its various elements M and order of their presentation.

……

4 实数旅馆

上面提到的那群清洁工对应的实际是实数的集合。

证明如下：给每个清洁工的编号前添上一个0，在这个0和编号之间加入一个小数点，就得到了一个介于0和1之间的纯二进小数，如：0.0100100110010……

……

回到上面提过的一个函数：

，                      （1）

这个函数可以把（0,1）间的实数和全体实数建立一一对应关系。所以可以让已经住满的实数旅馆内的所有客人作如下调整：让每个客人把自己的房间号（这是一个实数）代入函数，即的反函数，得到的值也是一个实数，这个值就是他应该去的房间号。由于的值域是（0,1），所以全体实数旅馆中的客人都可以住进编号从0到1的这些房间，而在区间（0,1）外的广大区域被空出来了，仿照刚才用反正切函数压缩的方法，只要再来一个长度为1的区间，就可以顺利解决问题（3）。

……

5  寻找更大

走出实数旅馆后，我们的思维也许会感觉有些疲惫，因为我们为了构造一个又一个更大的无穷大，构造的过程已经变得越来越抽象。但是我们还可以继续问下去：“还有更大的无穷大吗？”

……

6 结束语：潜无穷与实无穷之争

本文所探讨的内容其实隐含着一个前提，即“无穷”可以被当作一个“被综合完成的实体”来研究。

在19世纪下半叶之前，人们普遍认为，“无穷”这个概念只是代表一种潜在的无限增长的可能性，而不是一个可以拿来研究的实体。如果用前面列举的无穷大旅馆的例子来解释，就是：你尽可以为这个旅馆添上一个又一个房间（并且永远添加下去），但是想“建成”这样一家有无穷多房间的旅馆是绝对不可能的，更不要提入住无穷多个客人这种事情。

但是康托尔在19世纪70～80年代发表了《关于一切实代数数的一个性质》、《关于无穷线性点集》等一系列论文，他首次把无穷当作了一个“已经被综合完成的整体”，并研究其性质，进而得出了一系列结论（如因为任何一个集合的所有子集构成的集合，总是有更大的基数，所以“所有集合的集合”根本不存在等），在数学界引起了轩然大波。康托尔本人遭到来自数学界和哲学界众多权威的反对，自己最终也因研究结果得不到承认而陷入精神失常。

这场潜无穷与实无穷的争论至今还在继续，而且早已超出数学领域，把众多的哲学家也卷入其中——的确，“无穷究竟只是一种无限增长的可能性还是一个完成了的实体”这个问题确实太形而上了。

不过在今天，我们还是看到康托尔的观点逐渐得到了越来越多的人的认可；而且，不论这场争论的最终结果如何，康托尔的这种思索问题的方式，对于我们未尝不是一种有益的启迪。

参考文献：

[1]唐璐、付雪，数学爵士乐，湖南科学技术出版社20##年6月第1版.

[2]黄克宁，无穷与集合，（台湾）徐氏基金会出版部1968年11月5日初版.

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 [Microsoft1]所有变量请用公式编辑器书写。

 [Microsoft2]数学公式务必用公式编辑器书写。