读书报告
院系:数学与统计学院
班级:09级本一班
学号:****
姓名:***
读书时间:20xx.03-20xx
我的《数学分析》观
数科一斑
大一开学以后,我们就接触了《数学分析》,经过了一学年的学习,对它也有了初步的了解,实话实说,我的这些了解也只是皮毛而已,俗话说的好:“仰之弥高,钻之弥深。”又说:“温故而知新,可以为师矣》”下面就对我的《数学分析.做一个系统性的总结。
《数学分析》是数学专业课中最重要的基础课之一,对学生数学思想的形成,后继课程的学习都有着重要的意义。该课程的特点是: 学习时间的跨度很大,内容极为丰富。我们学时为四个学期。课程的目的是通过四个学期学习和系统的数学训练,使我们逐步提高数学修养,特别是分析的修养,积累从事进一步学习所需要的数学知识,掌握数学的基本思想方法,最终使我们的数学思维能力得到根本的提高。我们已经学习数学分析一年了,我对它也有了一些了解,开始学习感觉非常的难。学习成绩不太理想。但是老师说,学习数学分析需要长期的坚持和积累,我们在探索中得以提高。
《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。学好数学分析是学好其他后继数学课程如微分几何,微分方程,复变函数,实变函数与泛函分析,计算方法,概率论与数理统计等课的必备的基础。数学分析的学习,可以按照它各部分內容的特点,把基本理論的学习与基本训练的过程紧密地結合起来,以便很好地掌握。
我学了一年的数学分析,现在感觉就是一定要把概念弄清,千万不要背,要理解,每一个题做完了都要看看琢磨一下。当你做到这点后就是不断去做练习了,但是请记住,不能去看答案,实在做不出来的可以先不做。总之请尽量不要看答案。我们刚上大一,我们就要尽量的忘记高中时学习数学的方法,忘记高中的数学知识, 因为初等数学是离散的与具体的,数学分析是连续的与抽象的,所以请不要把你以前学高中数学的方法放在数分上,我们要把它当作一门新学科来学习。
数学分析说白了就是证明的多,我们老师说多看题,看看别人的思路。相信自己,只要用心,就能学好。从前面推一下,推到感觉和问题不同后,从后面推回前面,一般很容易就可以推到相同点!数分跟其它课都不同,一开始学习时,我还怀疑自己不是学习数学的材料,感觉《数学分析》比高中的数学学习起来更加的困难。后来我还是坚持继续看数分,现在虽然还不算学有所成,但是已经可以自己做一些题,还可以自己证明一些简单的推论或者定理了。
作为数学系最重要的基础课之一,数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位,数学的许多新思想,新应用都源于这坚实的基础。数学分析出于对微积分在理论体系上的严格化和精确化,从而确立了在整个自然科学中的基础地位,并运用于自然科学的各个领域。同时,数学研究的主体是经过抽象后的对象,数学的思考方式有鲜明的特色,包括抽象化,逻辑推理,最优分析,符号运算等。这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现,数学分析课程正是其中最重要的一个环节。
数学分析课程有一个特点是重要、枯燥。重要是显而易见的,数学分析作为专业基础课程,对其它后继课程的学习至关重要;同时它又是枯燥乏味的,这似乎是一对矛盾,要处理这对矛盾,就要解决一个数学分析学习当中的技巧性问题和心理问题。当然不可能人人都能把数学分析学好,由于各人的性向不同,有的人倾向于人文学科,有的人倾向于逻辑思维,有的人倾向于空间思维,有的人则倾向于动手能力….各人的倾向性不一样,擅长的方 面也各不相同,对数学分析能达到的程度也不一样。
一. 数学分析中关于概念的问题
概念的形成需要一个过程。与人生哲理等概念不同,数学分析概念具有叠加性,也就是说新概念是在旧概念叠加的基础上来认识的。概念是数学分析中的一个根本问题,不是靠背,而是在不断地运用中逐渐形成的,须经过比较、实践、摸索、总结、归纳等过程,最后建立一个完整的概念。这个过程甚至可以说是痛苦的,漫长的 一个阶 段。
概念具有长期性。每个概念都有一个失败— 认识 —再失败的过程,伴随着你对这个概念的错误理解,在挫折中不断加深的。
概念是随着一个人知识的增加而不断深入的。学数学分析对一个人建立完整的思维方式很重要,随着对不同数学分析概念的深入理解,人们处理问题的方式可以越来越趋于严谨。
要建立一个数学分析的概念网。数学分析是一个个概念的点阵,所有的相关的、从属的概念要在头脑中形成一个网络。学概念要把不能纳入其中的或相关概念认识清楚。总概念中各相关概念是怎样发展的要有一个清晰的脉络。
从不同的层面上来理解一个数学概念。有比较才有认识,对于一个数学分析概念要擅于从正面、侧面、上面、下面等各个层面上来认识它。对于相似的、类似的概念或概念的内部关系认识不清,不利于理解概念,这说明数学分析末学深入。
二. 运算能力
符号化、模式化是数学分析的一大特点,对这点我们应该有深刻的认识。
1. 模式化。数学分析的一些定理、原理、公理都有一定的模式,“因为……所以…”即最简单的一种模式,对各种数学模式的理解认识也是对人的逻辑思维能力的训练。
符号化。数学分析的符号与表达性符号不同,文学艺术中的表达性符号是需要我们仔细体会其中的含义的;而数学分析 中的符号是一种替代性符号,它无需我们想其含义,作用就在于推导,它只是一个替身,帮助我们进行数学思维,所以我们不可以在它的含义上耗费太多的精力。数学就是符号游戏,我们对符号必须精通,才能进行迅速变形。
三. 做题技巧
从做题方式来分,平时作业可分为硬作业和软作业两种:硬作业是指每天需要认认真真做的作业,这类作业要按正规的步骤一丝不苟地做,旨在训练自己的笔头功夫和书写能力;软作业是指每日需抽出一定的时间来浏览若干习题,这类题主要是用来锻炼自己的思维能力的,具体做法是无需动笔,眼睛看着习题,大脑中迅速掠过 这道题的思路、做法,整个过程有点类似空对空。所以在平日做题中两种方式要搭配使用,认真做的题和浏览的题要相济并用。
做题要有节奏,难易结合。做题要讲质量,不能把精力都放在做偏、难、怪的题型上,若平时将重心放在难题上,基础知识难免会偏失,所以平时适度地做一些中等难度的题即可,关键是要学好基础知识,循序渐进。
做题要留下体会,留下痕迹,学习分为三个过程:模仿、品味、迁移。模仿是初始阶段经常作用的一种方式,以老师或教科书为参照,按部就班地做。经过一次次地模仿,我们自己对这些记忆中的题型在大脑中进一步地加工、体会,形成自己对这类题的成型的理解。经过前两个阶段的积累,最后达到将原知识体系与现有知识的 相互融合,就实现了对新、旧知识的最新体会。
四. 数学分析学习方法
常见的数学方法有如下几种:
化归法。将复杂化问题化为若干个简单的问题的一种思想。
注意经常对知识进行归纳、整理、总结,促进学过的知识更加般。系统化、条理化,解题时就能比较顺利地将内在关系理顺。
函数及其导数是两个不同的的函数;而导数只是反映函数在一点的局部特征;如果要了解函数在其定义域上的整体性态,就需要在导数及函数间建立起联系,微分中值定理就是这种作用。微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。拉格朗日中值定理,建立了函数值与导数值之间的定量联系,因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态;中值定理的主要作用在于理论分析和证明;同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。中值定理的应用主要是以中值定理为基础,应用导数判断函数上升,下降,取极值,凹形,凸形和拐点等项的重要性态。从而能把握住函数图象的各种几何特征。在极值问题上也有重要的实际应用。
微分中值定理是一系列中值定理总称,是研究函数的有力工具。它包括:
(1)拉格朗日定理
内容:
如果函数 f(x) 满足:
1)在闭区间[a,b]上连续;
2)在开区间(a,b)内可导。
那么:在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。
[中值定理]分为: 微分中值定理和积分中值定理:f(x)在a到b上的积分等于a-b分之一倍的(f(a)-f(b))ξ
(2)罗尔定理
内容:
如果函数f(x)满足,在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导;在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得f(ξ)=0。
补充
如果函数f(x)满足:在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导;在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得 f'(ξ)=0.
几何上,罗尔定理的条件表示,曲线弧 (方程)是一条连续的曲线弧 ,除端点外处处有不垂直于 轴的切线,且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明,弧上至少有一点 ,曲线在该点切线是水平的.
(3)柯西中值定理
内容:
如果函数f(x)及F(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续;
(2)在开区间(a,b)内可导;
(3)对任一x(a,b),F'(x)!=0
那么在(a,b) 内至少有一点ξ,使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)
成立
(4)费马中值定理
内容:
设函数f(x)在ξ处取得极值 且f(x)在点ξ处可导 则f'(ξ)=0.
推论:若函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)在I内的点c处达到,且f(x)在点c处可导,则f'(c)=0.
这就是我对《数学分析》的读后感。
云 南 大 学
数学分析习作课(1)读书报告
题 目: 闭区间上连续函数的性质及应用
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时 间:
摘 要
闭区间上连续函数有5个重要性质,分别为有界性,最值性,零点存在定理,介值定理,一致连续的定义和康托尔定理。利用闭区间上连续函数的性质解题。
关键词:
闭区间上的连续函数 有界性 最值性 零点存在定理 介值定理 一致连续
闭区间上连续函数的性质:
性质1(有界性):闭区间上的连续函数,必在上有界。
注1:在上的有界性事一个整体性质,而在点连续即存在极限的有界性却是局部性质
注2:开区间或半开区间上的连续函数不一定有界,例如
性质2(具有最大(最小)值):闭区间上的连续函数在上必有最大值和最小值,亦即在内,至少有两点ξ1和ξ2,使得对内的一切x,有。这里和分别是在上的最小值和最大值
注:开区间上的连续函数一般可能取不到最大(或最小)值。如=x在取不到M
几何意义:在闭区间上的连续曲线上必至少有一点最高,也必至少有一点最低(图1)。但在开区间内连续的函数或闭区间内有间断点的函数,不一定具有这一性质(图2,图3)。
(1)(2)(3)
性质3(零点存在定理):若在连续,和异号,那么在内至少有一点,使。使函数值为零的自变量,我们称为函数的零点
几何意义:连续曲线弧的两个端点位于轴的不同侧,则曲弧线与轴至少有一个交点
注:若,则不能说明在内一定没有的根,如,,。
几何意义:在闭区间的连续曲线,且连续曲线的始点与终点分别在轴的两侧,则此连续曲线至少与轴有一个交点,如图:
性质4(介值定理):闭区间上的连续函数可以取其最小值和最大值之间的一切值。即设在上的最小值为m,最大值为M,对任何c,m<c<M,在内至少有一个,使得。
几何意义:连续曲线与水平直线(介于与之间,或介于的最小值与最大值之间)至少有一个交点(图4)
(4)
一致连续的定义:设函数在区间X(或开,或闭,或半开半闭)内满足对任意的>0,可找到只与有关而与X内的点无关的,使得对X内任意两点和,当时,总有,就称在X内一致连续。
康托尔定理:闭区间上的连续函数一定在上一致连续。
注1:连续是一个局部概念,一致连续是一个整体性的概念,显然,f(x)在X内一致连续必在X内连续,但反之不一定然。
注2:非一致连续的比较:
注意:
1)在最值性与有界性中,满足条件,结论一定成立,不满足条件,结论不一定成立.
2)在某区间上函数有最大值与最小值,且两者相等,则这样的函数为常函数.
3)零点定理中保证了的存在性,但没有指出在内的具体位置及个数多少.
4)零点定理与最值定理结合在一起解决方程根及函数零点问题.
性质的证明:
通过读了一篇论文,能通过一条基本定理,证明闭区间上连续函数的五大性质定理。
首先举出两个引理以备下而应用。
引理一:设在X0连续
(a) 如果>0,那么一定存在一个X0的领域,在这个领域上,>0(保号性)
(b) 如果>0,那么一定存在一个X0的领域,在这个领域上,>d.
(c) 存在一个X0的领域,在这个领域上有界
(d) 对任一个>0,存在的X0一个领域,对这个领域中任意两点, ,有
引理一可以从连续的定义立即退出,证明从略
引理二如果c=SupA,那么在c的任一领域中存在,换言之,存在,
证明:由上确界的定义即得
1、有界性的证明:
如果在上无界,我们作集合(在讨论中,所出现的集合均是的子集,以下作如此约定,不再声明),则A非定(),有上界b.
令c=SupA,由引理一(C),存在一个C的领域V,在V上有界,在V中任取一点d>c,那么,因而在上有界,从而在V与的并上有界。
但由定理二,在V中存在点,因而在上无界,矛盾!证毕。
2、最值性的证明:
记,则A非空,(),有界。
设c=SupA,我们要证明f(c)就是的最大值。
1)当y<c时,由引理二,存在,,当n充分大时,,因此有,
2)如果有。
3)记B=,则B非空,有界。令d=infB,由引理二,存在,并且,因而f(d)=Lim,由1)d>c,因而,在中存在一点e,f(e)>f(d)。
另一方面,因而,矛盾!
同理可证f(x)在上有最小值,证毕。
由最值性亦可以推出有界性。
3、零点存在定理的证明
集合非空()有上界,因而存在c=SupA
我们证明f(c)=0
首先由引理二,存在,,因而由连续性
f(c)=
因此;如果f(c)<0,那么由引理一得保号性,易知存在一个C的领域,(如果c=a。则这个领域的右半部),在V上f(c)<0,因而V<A,这与c=SupA矛盾!
所以f(c)=0。证毕。
不难看出C是的最大零点。也可以考虑集合,那么,同样可以证明d=SupB 是的零点,并且是最小的零点。
4、介值定理可以仿照零点存在定理证明或者由零点定理推出
5、康托尔定理的证明
如果在区间上不一致连续,那么存在,对任意,都可以找到点,’,
(1)
而 (2)
我们取=,考虑(1)中相应的的全体所组成的集合A。
令c=SupA,由引理一(d),存在C点的一个领域,(c=a或b时取V的右半或左半),对于V中任意两点x,x’,有
(3)
取N>,由引理二,在V中有一个,并且当n>N,对于满足(1)的,由于
因此,从而由(3)
但与(2)矛盾!证毕。
证明:不妨设,
那么< <
作辅助函数
求导
那么
于是
在点a的右侧邻近存在一点 使得即
由于在上连续且可导,则在内至少存在一点取得极小值,由费尔马定理则有定理可证
连续函数介值定理推论1
如果函数f ( x)在开区间( a, b)内连续,且, , 那么对介于A 与B 之间的任何实数μ, 在开区间( a, b)内至少存在一点ξ,
使得f (ξ) =μ. F(x) x∈(a,b)
证由作辅助函数G(x)= A x=a
B x=b
于是G ( x)在闭区间[ a, b ]上连续,且满足介值定理的条件,故对上述实数μ,在开区间( a, b)内至少
存在一点ξ, 使得G (ξ) =μ,即f (ξ) =μ. 证毕.
连续函数介值定理推论2
如果函数f ( x)在开区间( - ∞, + ∞)内连续,且
A ≠B ,那么对介于A与B 之间的任何实数μ,在开区间( - ∞, + ∞)内至少存在一点ξ,使得f (ξ) =μ。
至此,我们应用有上(下)界的非空集合必有上(下)确界这一基本定理证明了闭区间上连续函数的五条重要性质。
例题:
1、 证明方程在 与 之间有实根.
证 设,因为在内连续,所以,在上也连续,而,
所以,据定理3(根的存在定理)知,至少有一个,使得,即方程在与之间至少有一个实根
2、证明:奇次多项式
至少存在一个实根,都是常数,且.
证: 已知多项式在R连续,将改写成
不妨设,则有,.
于是,存在,使与.根据零点定理,在内至少存在一点,使得,即奇次多项式至少存在一个实根.
3、证明:若函数于区间上连续,且有有限的,则次函数在已知区间上是有界的。
证:记A= ,取,则存在X>a,使当x>X时,恒有,又因在上连续,因而有界,即存在常熟M1,使当,恒有,取M= ,则当,恒有
4、设函数在区间上连续并有界,证明:对于任何数T,可求得序列,使。
证:不妨设T>0,记,y1,取一叙列(n=1,2,···),
且当时,。易见,g(y)是上连续并且有界的函数,今按下法取,使,如果g(1)与g(2)异号,则由连续函数介值定理,存在,且,使得,这时取。若g(1)与g(2)同号,且g(1),g(2),g(3) ,g(4)···都是同号的,不妨设它们均大于0,那么我们可以证明,必存在一个自然数,使,因为,若对一切自然数n,,则由得定义,
···
则,这与在内有界矛盾,故存在自然数,使得,,取。然后,取自然数,通过考虑,···的符号;仿上,可取,,使,依次类推,我们就可得到一叙列适合要求。
5、若和为连续周期函数,当时,有定义且。证明。
证:先证明和的周期相同,设的周期为p,则,由于当时,即得以及=
(1)
我们再来证明的周期也是p,若不然,则至少存在一个x0,使。且设的周期为q,N为任意正整数,。,以及,此时恒有。但由(1)式,对充分大的x,必成立,这显然是矛盾的。
最后证明,若结论不成立,则至少存在一个,使。记
,则对任意,恒有,这与矛盾,于是,证必。
6、证明单调有界函数的一切不连续点皆为第一类的不连续点。
证:不妨设为单调增函数,取其定义域为A中的任意点,且设不是A的左端点,由于x<时显然有。可见在点不连续,则函数在该点只可能有跃度,即第一类间断点。
7、证明若具有下列诸性质:(1)在闭区间上有定义且单调;(2)取介于和之间所有的数作为其函数值,则此函数在上连续。
证:用反证法,不妨设单调函数为递增的且在间断,由第5个例题可知只能是第一类间断点,则及中至少有一个大于零,例如。于是,有函数的单调性知,无法取到和之间的数值。
这与题设函数的性质(2)矛盾,从而,在上连续。
8、证明:若函数在区间内连续,且x1,x2,···xn为此区间中的任意值,则在它们之间可找到一个数值,使得。
证:不妨设,于是在上取得最大值和最小值:
。
从而有
由连续函数的性质,总存在,使
9、设函数在区间上连续,且及。
证明:对于任意的数λ,此处有,则有叙列(n=1,2,···),使得
证:当λ=l或λ=L时结论都是显然的,因此设l<λ<L,由条件及,,,且,。
于是,存在自然数N,使当n>N时,恒有,。
再由得连续性知,在及之间存在,使 (n>N)。
这样选取的,由于,,故。
从而,
10、证明在内一致连续,而在连续但非一致连续。
证明:,对,由
得。取,于是,,,···
考虑,知在内连续
取,对,在内取
则(只须),使
有
故在内非一致连续。
11、在不一致连续
证明:取内点列
则,但
类似的,在不一致连续
取
12、证明:若函数在域有定义并且是连续的,而且存在,则在此域上是一致连续的。
证:任给,由于存在,故必存在X>a,使当x’>X,x’’>X时,恒有
由于在上连续,故一致连续,从而必有正数存在,使当x’ ,
x’’ ,时,恒有。
令,现设x’,x’’为满足,,的任何两点,由于,故x’与x’’或同时属于,或同时满足x’>X,x’’>X,因此,恒有
,故在上一致连续。证毕。
总结
利用闭区间上连续函数的性质的解题思路:
1、直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;
2、辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;
但是必须注意:1、闭区间;2、连续函数。这两点不满足上诉定理不一定成立。
参考文献
[1] 数学分析习题集解,吉米多维奇原著,费定晖等编著,山东大学出版社,2005.
[2] 论如何加强数学人才在求职中的优势,杨汉春,张 庆,高等理科教育, No.(2003):22-26.
[3] 关于闭区间上连续函数五大性质的一种证明法 金展平 周之虎 安徽建筑工业学学院学报(自然科学版) Vol.4.No.1(1996)
[4] 闭区间上连续函数的性质定理及微分中值定理的推论 方耀 王灵色 河北工业大学成人教育学院学报 Vol.20.No.3(Sep.2005)
[5] 数学分析 第三版 上册 复旦大学数学系 欧阳光中 朱学炎 金福临 陈传璋 著高等教育出版社
[6]
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