弹簧振子（实验报告）

实验目的：

1) 测定弹簧的刚度系数。

2) 研究弹簧振子的振动特性，验证周期公式。

3) 学习处理实验数据。

实验原理： 1）在一定弹性限度内，弹簧的弹力与其形变成正比。

F = k x

（F代表振子受到的回复力，k代表劲度系数，x代表振子与平衡点之间的距离）

因此可以用在弹簧上悬挂重物的办法测劲度系数 2）由牛顿第二定律得，若振子的质量为m，在弹性力作用下振子的运动方程为：

通过常微分方程解得

这说明

所以T?2?M

K

而弹簧质量对周期有影响，对于质量为Mo的弹簧，其周期为T

可以通过用用秒表测50次完整振动的时间来计算一个周期T。进而验证周期公式

实验仪器：六根弹簧、游标高度尺、电子天平、秒表、砝码。

实验步骤：用电子天平分别测量六个砝码mmmmmm123456m7, 悬挂砝码的装置质量m0, 六根弹簧的质量。(注解：后面说两个砝码就

是前两个，六个就是前六个，增加砝码按照1234567的顺序加）

（1个砝码代表第一个砝码加上托盘的质量）

弹簧质量：

1.测弹簧刚度系数：将橙色弹簧竖直悬挂，并依次增加砝码的个数（由两个砝码开始增加，一直到六个砝码），用游标高度尺分别测量在不同砝码的重力的作用下砝码底端的位置，之后换弹簧红、黄、蓝、细重复上述步骤（粗的由于质量与平均值相差最大，故不用） 2.选用橙色弹簧测周期：a）先将m1，m2挂在橙色弹簧上，竖直托起砝码适当高度或静止释放，然后用秒表测量弹簧振子的周期。（测量方法：从砝码某一次通过平衡位置开始计时并计数0，之后砝码每通过一次平衡位置记一次数，直到记到100，按下秒表，读出时间。1

周期就是这个时间的50）接着再重复计时两次，b）加砝码，每次加一个，一直加到六个砝码，每次加砝码都测三次周期。c）将砝码个数保持到六个，换其他弹簧测振动周期，每根弹簧也测三次，并记录数据。

实验结果：

A测量弹簧刚度系数：

数据记录：

数据处理：

底座高度单位是厘米，砝码质量单位是克 各弹簧趋势线公式及回归系数： 橙：y= -0.1515x+35.761

R^2=1.0000 红：y= -0.0924x+39.831

R^2=0.9999 黄: y=-0.1029x+40.667 R^2=1.0000 蓝: y=-0.1502x+36.742 R^2=1.0000

细: y=-0.0706x+39.583

R^2=1.0000

结果：弹簧的刚度系数及线性回归系数是

刚度系数单位是N/m。

B.1研究弹簧振子的振动特性，验证周期公式： 观察可知弹簧振子做简谐运动，选择橙色弹簧测周期

砝码

周期的对数 -0.5293 -0.4292 -0.3523 -0.2863 -0.2294

质量的对数 -2.843 -2.666 -2.516 -2.385 -2.270

第一次 第二次 第三次 平均值 周期 0.589 0.651 0.703 0.751 0.795

2 29.52 29.64 29.3 29.4867 3 32.28 32.8 32.56 32.5467 4 35.24 35.19 35 35.1433 5 37.56 37.6 37.47 37.5433 6 39.78 39.81 39.68 39.7567 (质量=振子质量+弹簧质量的三分之一)

对同一弹簧，测不同振子质量时的周期，验证T----M间的关系 需要验证的公式为：

线性拟合

：

R2=0.9992

说明拟合得很好，周期公式得以验证！ 不确定度为?0.102

B.2保持砝码为前六个，换弹簧测量周期： 数据记录：

(质量=振子质量+弹簧质量的三分之一)

线性拟合：

R^2=0.9591

说明线性拟合得很好，周期公式得以验证。

不确定度为?0.066

总结与反思：本实验主要是测量一些关于弹簧振子的物理量。通过该实验，我明白了不确定度的实际意义，增长了实验技巧。我觉得虽然该实验误差较大，但在测量时还是要做好，不能用误差大来掩盖我们在测量、读数和实验方法上的错误！！！

基科22 崔文亮 2012012217 同组者：顾安

实验时间 20xx年10月17号

 

第二篇：弹簧振子振动周期的讨论

弹簧振子周期公式的探究

梅丹兵（21610115）

（东南大学交通学院，南京市，210000）

摘  要：          基于本学期在“弹簧振子周期”实验中出现的实验数据和理论数据相差较大的缘故，本文探究了在“弹簧振子周期”实验中弹簧质量对系统周期的影响，并利用数学知识推导出了一个符合实验数据的合理公式。

关键词：      振动周期；弹簧振子；有效质量；非线性改变

A discussion on the cycle of vibration of springs

Mei Danbing

(Transportation Institute of SEU ,  Nanjing   210000)

Abstract:            Based on the reason that the big difference between the experimental data and the theoretical data in the experiment about “the cycle of vibration of springs “,the article explored the influence of the quality of springs on the vibration cycle ,and made full use of the mathematical knowledge to derive a rational formula in line with experimental data.

key words:       Vibration cycle ; springs ;effective quality ; Non-linear change

引言

在本学期的“简谐振动”一章中我们学习了弹簧振子周期公式，并做了相关的物理实验。根据课本上简谐运动的周期公式可推导出弹簧振子的振动周期公式为                      （1）

    其中M为振子质量，K为弹簧劲度系数。

而我们发现由（1）式计算出得的理论值与实验测得的测量值之间的偏差达到了2.58%，其中固然有测量误差和阻力误差，但不可排除的是（1）式中的M仅指振子的质量，而没有考虑弹簧的质量。由于本实验中弹簧劲度系数K与振子质量M都很小，这时弹簧自身的质量已不能忽略。那么如何考虑弹簧质量对系统周期的影响呢？假如弹簧的质量为m，可以肯定，因为弹簧虽参与振动，但其上各点的振动情况是不一样的。通过查阅相关文献我们得知此时系统的振动周期为

             （2）

于是在原实验基础上，我们测量了弹簧的质量m，并再次将相关数据代入（2）式，计算得出的理论值与实际测量值之间还是有近1.93%的偏差，这一结果的得出不得不引起我对（2）式的质疑。带着疑惑我再次详细的查看了相关文献中（2）式的推导过程，发现了可能造成偏差的主要原因——线弹性变化。通过咨询老师和查阅相关资料，发现弹簧的变化严格意义上不是均匀的，所以（2）式的推导过程严格意义上是不精确的。但我们有理由相信，通过物理模型和相关数学知识，会得到比（2）式更为精确的公式。

梅丹兵，男，1991年11月2日生于湖北黄冈，现就读于东南大学交通学院，主修岩土工程。 E-amil :meidanbing@yahoo.com.cn

弹簧振子系统周期公式的理论推导

首先来探讨当弹簧末端不加任何物体时其振动周期的表达式。

设有一总长度为L，质量为m，劲度系数为k的弹簧一端固定，另一端自由（如图1所示），其振动的固有周期到底为多少呢？

此处我们通过物理学驻波模型来解决此问题。

设另有一根总长度很长的弹簧，其质量均匀分布，且弹簧单位长度的质量为，劲度系数为（查阅相关文献知影响弹簧劲度系数K的因素很多，此处可以通过改变不同的因素来达到目的）。让这根弹簧两端以相同的振幅和频率沿弹簧方向振动起来，稳定后必然在弹簧上形成驻波。调节波源频率，使长弹簧的波长恰好为4L，则相邻波腹与波节的距离恰好为L。由于驻波的波节振幅为零，与图1弹簧的固定点O一样；驻波的波腹振幅最大，与自由点P一样，可得图1弹簧的振动与长弹簧波节到相邻波腹振动情况完全一样（因周期只与M和K有关，弹簧长度的不同不影响结果）。

下面从驻波行程条件来求解周期T

由于固体中纵波的波速为

                   （3）            

其中E为弹簧弹性模量，ρ为密度，对于长度为L的上述弹簧，通过查阅资料得其等效密度和弹性模量分别为：

其中S为弹簧横截面积。

将其代入（3）式得：

                  （4）

欲使弹簧波波长为4L，则图1弹簧的固有周期为：

      （5）

由此可知的结论是错误的。（2）式之所以会出错，是因为其在考虑振动速度时，直接认为速度是线性变化的。但事实上当弹簧的质量不能忽略时，其形变量是不均匀的，离固定点O越近的地方由于受到的弹力越大，形变量也就越大（示意图如图2所示）。那么“一质量为的弹簧与一质量为的振子组成的‘弹簧振子’振动周期”为多少呢？

设某时刻物体M离开其平衡位置的位移为，速度为，加速度为；而距O点为l的一小段弹簧离开其平衡位置的位移为，速度为，加速度为。由于所有质点的振动情况都同相，则可以得出：。又由于每一段弹簧离开平衡位置的位移都等于它左侧所有小段的伸长量之和，则距O点为l的一小段弹簧的伸长量为，劲度系数为，则其弹力为，质量为。其与相邻小段弹簧的弹力差，即其所受合力

化简可得：

由于M物体振动时的与反向，即为负值，则根据常微分方程的理论，上面微分方程的解可写作。其中A为与M离开平衡位置的位移有关的变量，由于O点附近的质元离其平衡位置的位移趋向于零，可得。

即：             （6）            

则每一小段弹簧的形变量为

相应的小段弹簧弹力为

                  

（7）

对于连接M物体的那小段弹簧，，代入（7）式得

   （8）

下面分三种情况对（8）式进行导论             

Ⅰ. 当时，即没有物体M时：

由（8）式得：

解得      （9）                

于是：              （10）               

得到与（5）式相同的结论。

Ⅱ. 当时，即弹簧质量忽略时，

则每一小段弹簧的形变量都相等，即弹簧的形变是均匀的，此时的弹簧振子即我们平时看到的弹簧质量可忽略的理想弹簧振子，其振动周期为

得到与（1）式相同的结论。

Ⅲ. 当时，由（8）式得：         （11）

由（6）式得：     （12）            

设，将之与（12）式一起代入（11）式得：

从而得到：

           （13）                      

上式中M、m、k为定值，为我们所求弹簧振子的圆频率。显然只有当为特殊值时，该超越方程才有精确解，否则只能是近似解。

例如：

当，即时，

   （14）                                            

化简得：     

从而得到    

此即理想弹簧振子的圆频率。

当，即时，

即可得与（10）式一样的结论。

当，

还有等等…

结果分析

在推导出（13）式之后，我重新将各数据代入到公式中，计算得出的近似理论值与测量值的偏差缩小到了1.52%.虽然较之前只减小了不到0.4%，但这样的数据还是更为合理。

结论

本文的论述过程是建立在弹簧的非线性形变基础和微积分公式之上，因此推理过程有些复杂，但，思路较为清晰、缜密，不失为一种好的论证过程。同时由推导过程知，在振子质量M和劲度系数K不变的前提下，弹簧质量m越大，采用（13）式与采用（2）式计算得出的理论值之间的偏差越大。因此，我们在处理弹簧振子周期问题时，当弹簧的质量与振子的质量相比基本可以忽略时，计算系统振动周期，可以近似的采用公式；但当弹簧的质量不可忽略且对实验的要求较高时，采用公式   所求出的结果更为精确。

参考文献：

[1]       马文蔚等，物理学.第五版，高等教育出版社，2006，3（5）：1-6，64-69

[2]       钱锋，潘人培. 大学物理实验.修订版 ，高等教育出版，2005,11. 73-76

[3]       徐滔滔，《大学物理实验》期刊，1998年6月，第11卷，第2期：《关于弹簧振子振动周期的讨论》

[4]       杨桂通，弹性力学简明教程，清华大学出版社，2006,9:48-51

[5]       陈学志，罗莹，《中国现代教育装备》，20##年08期：《探究弹簧劲度系数的影响因素》