关于利用阿贝成像原理进行空间滤波和光学信息处理的进

一步分析与讨论

姚连生 指导教师：王慕冰

摘要：论文描述了在阿贝成像原理与空间滤波实验中看到的一些有趣的光学实验现象和对空间频谱、空间滤波等傅立叶光学概念的理解，简要论述了阿贝相干光成像原理，即用傅立叶变换解释显微镜成像的机理，以及对利用阿贝的两次成像原理进行空间滤波和在光学信息处理（θ调制）中的应用进行了进一步的分析研究与讨论。在报告结尾，对一些光学问题有了比较明确的认识和回答。

关键字：阿贝成像原理 空间频谱 空间滤波 傅立叶光学变换 相干光

一、实验目的

1．了解透镜孔径对成像的影响和两种简单的空间滤波。

2．掌握在相干光条件下调节多透镜系统的共轴。

3．验证和演示阿贝成像原理，加深对傅里叶光学中空间频谱和空间滤波概念的理解。

4．初步了解简单的空间滤波在光信息处理中的实际应用。

二、实验原理

1、 傅立叶变换在光学成像系统中的应用。

在信息光学中、常用傅立叶变换来表达和处理光的成像过程。

设一个xy平面上的光场的振幅分布为g(x,y)，可以将这样一个空间分布展开为一系列基元函数exp[iz?(fxx?fyy)]的 线性叠加。即

?

g(x,y)?

????G(fxfy)exp[2?(fxx?fyy)]dfxdfy (1)

fx，fy为x,y方向的空间频率，量纲为L?1；G(fxfy)是相应于空间频率为fx，fy的基元函数的权重，也称为光场的空间频率，G(fxfy)可由下式求得：

?

G(x,y)?

????g(x,y)exp[?2i?(fx?fxyy)]dxdy (2)

g(x,y)和G(fxfy)实际上是对同一光场的两种本质上等效的描述。

当g(x,y)是一个空间的周期性函数时，其空间频率就是不连续的。例如空间频率为f0的一维光栅，其光振幅分布展开成级数：

g(x)?

n????G?nexp[i2?nf0x]

相应的空间频率为f=0，f0，f0。

2、 阿贝成像原理

傅立叶变换在光学成像中的重要性，首先在显微镜的研究中显示出来。E.阿贝在1873年提出了显微镜的成像原理，并进行了相应的实验研究。阿贝认为，在相干光照明下，显微镜的成像可分为两个步骤，第一个步骤是通过物的 衍射光在物镜后焦面上形成一个初级衍射（频谱图）图。第二个步骤则为物镜后焦面上的初级衍射图向前发出球面波，干涉叠加为位于目镜焦面上的像，这个像可以通过目镜观察到。

成像的这两步骤本质上就是两次傅立叶变换，如果物的振幅分布是g(x,y)，可以证明在

x'

物镜后面焦面x，y上的光强分布正好是g(x,y)的傅立叶变换G(fxfy)。（只要令fx?，?F''

y'

fy?，?为波长，F为物镜焦距）。所以第一步骤起的作用就是把一个光场的空间分布?F

变成为：空间频率分布；而第二步骤则是又一次傅氏变换将G(fxfy)又还原到空间分布。

下图显示了成像的这两个步骤，为了方便起见，我们假设物是一个一维光栅，平行光照在光栅上，经衍射分解成为向不同方向的很多束平行光（每一束平行光相应于一定的空间频率）。经过物镜分别聚集在后焦面上形成点阵，然后代表不同空间频率的光束又从新在像平面上复合而成像。

图1 阿贝成像原理

但一般说来，像和物不可能完全一样，这是由于透镜的孔径是有限的，总有一部分衍射角度较大的高次成分（高频信息）不能进入到物镜而被丢弃了，所以像的信息总是比物的信息要少一些，高频信息主要是反映物的细节的，如果高频信息受到了孔径的阻挡而不能到达像平面，则无论显微镜有多大的放大倍数，也不可能在像平面上分辨出这些细节，这是显微镜分辨率受到限制的根本原因，特别当物的结构是非常精细（例如很密的光栅），或物镜孔径非常小时，有可能只有0级衍射（空间频率为0）能通过，则在像平面上就完全不能形成图像。

3、 光学空间滤波

上面我们看到在显微镜中物镜的孔径实际上起了一个高频滤波的作用，这就启示我们，如果在焦平面上人为的插上一些滤波器（吸收板或移相板）以改变焦平面上光振幅和位相就可以根据需要改变像平面上的频谱，这就叫做空间滤波。最简单的滤波器就是把一些特殊形式的光阑插到焦平面上，使一个或几个频率分量能通过，而挡住其他频率分量，从而使像平面上的图像只包括一种或几种频率分量，对这些现象的观察能使我们对空间傅立叶变换和空间滤波有更明晰的概念。

阿贝成像原理和空间滤波预示了在频谱平面上设置滤波器可以改变图像的结构，这是无法用几何光学来解释的。前述相衬显微镜即是空间滤波的一个成功例子。除了下面实验中的低通滤波、方向滤波及θ调制等较简单的滤波特例外，还可以进行特征识别、图像合成、模糊图像复原等较复杂的光学信息处理．因此透镜的傅里叶变换功能的涵义比其成像功能更深刻、更广泛。

三、实验内容及现象解释：

1．阿贝成像原理实验

（1）如实验光路图在物平面上放上一维光栅，并用激光器发出的细锐光束垂直照在光栅上，频谱面上出现一排清晰的衍射光点，如图 2-a所示。在频谱面上放上可调狭缝及各种滤波器，使通过的衍射点如下图所示，分别记录成像特点及条纹间距，并做简要解释。

图2

（2）将物面上的一维光栅换成二维正交光栅，调节光栅，使像上条纹分别处于垂直和水平的位置。这时在透镜后焦面上观察到二维的分立光点阵，这就是正交光栅的夫琅和费衍射(即正交光栅的傅里叶频谱)，而在像平面上则看到正交光栅的放大像(如图3(a))。

(3) 如在F面上设小孔光阑，只让一个光点通过，则输出面上仅有一片光亮而无条纹(如图3(b))。换句话说，零级相应于直流分量，也可理解为δ函数的傅里叶变换为1。

(4) 换用方向滤波器作空间滤波器放在F面上，狭缝处于竖直方位时，S屏上竖条纹全被滤去，只剩横条纹；当然横条纹也可看作几个竖直方向上点源发出光波的干涉条纹(如图3(c,d))。把狭缝转到水平方向观察S屏上条纹取向。

(5) 再将方向滤波器转45°角(如图3(e))。

图3

2．空间滤波实验：

（1）布置好光路，以扩展后的平行激光束照明物体，以透镜将此物成像于较远处的屏上，物使用带有网格的网格字（中央透光的“光”字和细网格的叠加），则在屏上出现清晰的放大像，能看清字及其网格结构（图4）。由于网格为周期性的空间函数，它们的频谱是有规律排列的分立的点阵，而字迹是一个非周期性的低频信号，它的频谱就是连续的。

图4

(2) 将一个可变圆孔光阑放在第二焦平面上，逐步缩小光阑，直到除了光轴上一个光点以外，其它分立光点均被挡住，此时像上不再有网格，但字迹仍然保留下来。

(3) 把小圆孔移到中央以外的亮点上，在屏上仍能看到不带网格的“光”字，只是较暗淡一些，这说明当物为“光”与网格的乘积时，其傅里叶谱是“光”的谱与网格的谱的卷积，因此每个亮点周围都是“光”的谱，再作傅里叶变换就还原成“光”字，演示了傅里叶变换的乘积定理。

3．θ调制产生假彩色

(1) 类似于通信技术中把信号与载波相乘以调制振幅与位相，便于发送；光学信息处理中把图像(信号)与空间载频(光栅)相乘，也起到调制作用，便于进行处理。

本实验中所用的物是由方向不同的一维光栅组合而成的。用激光束照射不同部位，就可在其后看到不同取向的衍射光线，三组光栅取向各相差60°。

(2) 按图5布置光路， 观察F面频谱的特点：第一，由于输入图像由三个取向不同的

光栅构成，每组光栅对应一个衍射方向，衍射光线所在平面垂直于光栅的取向．如把该方向频谱全部挡去，则输出面上相应区域光强就转为零。第二，由于照明光是白光，根据光栅方程，每组频谱零频的各色光衍射角均为0，各色光的零级叠加在一起就呈白色；而在其余土1，±2，?级上，波长长的色光衍射角大，因此各级均呈现从紫(在内)到红(在外)的连续的光谱色。

图5用θ调制产生假彩色光路图

(3) 用白纸做滤波器，再次仔细调整共轴，使白光亮点恰好射在滤波器中央F透光处，而六条光谱带呈现在白纸片上，在图像对应的光谱带上选取相应的颜色，用小针扎孔，使得该色光得以通过。使孔1与孔1’通过绿光，输出平面上叶子部分就呈绿色，同理让孔2与孔2’通过红光，孔3与孔3’通过蓝光，相应就在输出像中出现红色的花朵与蓝色的背景。

四、部分问题的理解：

根据本实验结果，如何理解显微镜、望远镜的分辨本领？为什么说一定孔径的物镜智能具有有限的分辨本领？如增大放大倍数能否提高仪器的分辨本领？

可见光由于其波动性会发生衍射，因而光束不能无限聚焦，一些频率信息必定会受到孔径限制。根据阿贝原理，可见光能聚焦的最小直径是光波波长的三分之一，也就是200纳米。显微镜，望远镜的分辨率受到物镜孔径的限制，孔径越大，分辨率越高，但是孔径不能无限的大。如果孔径小，放大倍数再高也不能提高分辨率。

五、实验收获：

通过阿贝成像原理与空间滤波的理论学习和实际操作，对光在频谱方面的应用有了初步的了解，阿贝成像原理在实际光通信中有很重要的指导意义，光信息处理有很重要的应用前

景。把抽象的数学概念变成了物理现实，用频谱语言来描述光的信息，给光学的研究应用开辟了新途径。通过这次学习与实践，为将来研究光学信息处理奠定了基础。

参考文献：

（1） 李朝荣 徐平 唐芳 王慕冰 物理基础实验 北京航空航天大学出版社

（2） 赵凯华 钟锡华 光学 下册 北京大学出版社

（3） 陈怀琳 阿贝成像原理与空间滤波 普通物理实验指导（光学） 北京大学出版社

（4） 严燕来 叶庆好 大学物理拓展与应用 高等教育出版社

 

第二篇：空间频率滤波实验报告

空间频率滤波

空间频率滤波是在光学系统的空间频谱面上放置适当的滤波器，去掉（或有选择地通过）某些空间频率或改变它们的振幅和位相，使物体的图像按照人们的希望得到改善。它是信息光学中最基本、最典型的基础实验，是相干光学信息处理中的一种最简单的情况。

一、实验目的

1.         了解傅里叶光学基本理论的物理意义，加深对光学空间频率、空间频谱和空间频率滤波等概念的理解；

2.        验证阿贝成像原理，理解成像过程的物理实质——“分频”与“合成”过程，了解透镜孔径对显微镜分辨率的影响；

二、实验原理

1.         傅里叶光学变换

设有一个空间二维函数，其二维傅里叶变换为

                  (1)

式中分别为x,y方向的空间频率，而则为的傅里叶逆变换，即

                  (2)

式（2）表示，任意一个空间函数可表示为无穷多个基元函数的线性迭加，是相应于空间频率为的基元函数的权重，称为的空间频谱。

用光学的方法可以很方便地实现二维图像的傅里叶变换，获得它的空间频谱。由透镜的傅里叶变换性质知，只要在傅里变换透镜的前焦面上放置一透率为的图像，并以相干平行光束垂直照明之，则在透镜后焦面上的光场分布就是 的傅里叶变换 ，即空间频谱。其中为光波波长，为透镜的焦距，（）为后焦面（即频谱面）上任意一点的位置坐标。

显然，后焦面上任意一点（）对应的空间频率为

  

2.         阿贝成像原理

傅里叶变换光学在光学成像中的重要性，首先在显微镜的研究中显示出来。阿贝在1873年提出了相干光照明下显微镜的成像原理。他认为在相干平等光照明下，显微镜的成像过程可以分成二步。第一步是通过物的衍射光在透镜的后焦面（即频谱面）上形成空间频谱，这是衍射所引起的“分频”作用；第二步是代表不同空间频率的各光束在像平面上相干迭加而

形成物体的像，这是干涉所引起的“合成”作用。图1表示这下一成像光路和过程。

成像的这二个过程，本质上就是两次傅里叶变换。第一个过程把物面光场的空间分布 变为频谱面上空间频率分布 ，第二个过程则是将频谱面上的空间频谱分布 作傅里

叶逆变换还原为空间分布（即将各频谱分量又复合为像）。因此，成像过程经历了从空间域到频率域，又从频率域到空间域的两次变换过程。如果两次变换完全是理想的，即信息没有任何损失，则像和物应完全相似（除了有放大或缩小外）。但一般说来像和物不可能完全相似，这是由于透镜的孔径是有限的，总有一部分衍射角度大的高次成分（高频信息）不有进入到物镜而被丢弃了，所以像的信息总是比物的信息要少一些，像和物不可能完全一样。因为高频信息主要反应物的细节，所以，当高频信息受到孔径的阻挡而不能到达像平面时，无论显微镜有多大放大倍数，也不可能在像平面上分辨这些细节，这是显微镜分辨率受到限制的根本原因。特别当物的结构非常精细（如很密的光栅）或物镜孔径非常小时，有可能只有0级衍射（空间频率为0）能通过，则在像平面上虽有光照，却完全不能形成图像。

3.         空间滤波

由以上讨论知，成像过程本质上是两次傅里叶变换。即从空间复振幅分布函数变为频谱函数，然后再由频谱函数变回到空间函数（忽略放大率）。显然，如果我们在频谱面（即透镜后焦面）上人为地放一些模板（吸收板或相移板）以减弱某些空间频率成份或改变某些频率成分的相位，便可使像面上的图像发生相应的变化，这样的图像处理称为空间滤波。频谱面上这种模板称为滤波器，最简单的滤波器是一些特殊形状的光阑，如图2所示。

                   

图2中(a)为高通滤波器，它是一个中心部分不透光的光屏，它能滤去低频成分而允许高频成分通过，可用于突出像的边沿部分或者实现像的衬度反转；(b)为低通滤波器，其作

用是滤掉高频成分，仅让靠近零频的低频成分通过。它可用来滤掉高频噪声，例如滤去网板照片中的网状结构；(c)为带通滤器，它可让某些需要的频谱分量通过，其余被滤掉，可用于消除噪音；(d)为方向滤波器，可用于去除某些方向的频谱或仅让某些方向的频谱通过，用于突出图像的某些特征。

三、实验光路

实验光路如图3所示。其中L₁，L₂组成的倒装望远系统将激光扩展成具有较大截面的平行光束，透镜L为成像透镜。

 

图3  实验光路图

四、实验内容

1.         光路调节，按图3布置光路,并按以下步骤调节光路：

(1) 调节激光束与导轨平行（调节时，可在导轨上放置一与导轨同轴的小孔光阑，当光阑在导轨上前后移动时，激光束始终能通过小孔即可）。

(2) 将L₁，L₂放入光路并使它们与激光束共轴。调节L₁与L₂之间的距离使之等于它们的焦距之和以获得截面较大的平行光。

(3) 将物和成像透镜L放入光路，调节L与物之间的距离使像面上得到一放大的实像。

2.         空间滤波

(1) 在谱面上不放置任何滤光片，观察后焦面上的频谱分布及像面上的像。

(2)在频谱面上放置不同的滤波器，观察像变化情况并将观察到的图像记录在表中，对图像的变化作出适当的解释。

3.         选作

将透明图案板作为物，观察后焦面上的频谱分布和像面上的像，然后在后焦面上放一高通滤波器挡住谱面中心，观察像面上的图像并解释之。

五、实验内容及结果

1. 空间滤波

表  空间滤波实验结果

2. 选作部分

将透明图案板作为物，观察后焦面上的频谱分布和像面上的像，然后在后焦面上放一高通滤波器挡住谱面中心，观察像面上的图像并解释之。

实验现象:想面上出现圆圈图像,高通滤波器是一个中心部分不透光的光屏,它能滤过低频成分而能允许高频成分通过,本实验中突出像的边沿部分,故观察到频率比中间高的圆圈.

五、实验结果分析

1. 在单透镜系统中加入简单滤波器进行滤波之后，观察到得实验现象各不相同，

（1）低通滤波器，它只允许位于频谱面中心及其附近的低通分量通过，去掉频谱面上离光轴较远的高频成份从而滤掉高频噪音，由于仅保留了离轴较近的低频成份，因而图像细结构消失，利用它可以消除图像上周期性的网格；

（2）高通滤波器，它阻挡低频分量而允许高频成份通过，可以实现图像的衬度反转或边缘增强，所以图像轮廓明显。若把高通滤波器的挡光屏变小，仅滤去零频成份，则可除去图像中的背景，提高图像质量，进行边缘增强；

（3）带通滤波器，它只允许特定空间的频谱通过，可以去除随机噪声，还可以对信号或缺陷进行检测，分离各种有用信息；

（4）方向滤波器，它仅通过（或阻挡）特定方向上的频谱分量，可以突出某些方向特征。

2.实验证明了阿贝成像理论的正确性：

像的结构直接依赖于频谱的结构，只要改变频谱的组分，便能够改变像的结构；像和物的相似程度完全取决于物体有多少频率成分能被系统传递到像面。

3.实验充分证明了傅里叶分析和综合的正确性：

（1）频谱面上的横向分布是物的纵向结构的信息；频谱面上的纵向分布是物的横向结构的信息；

（2）零频分量是直流分量，它只代表像的本底；

（3）阻挡零频分量，在一定条件下可使像的衬度发生反转；

（4）仅允许低频分量通过时，像的边缘锐度降低；仅允许高频分量通过时，像的边缘效应增强；

（5）采用选择型滤波器，可望完全改变像的性质

六、思考题

1.当光源换成白光光源时，仍用本实验所用的滤波器进行空间滤波，其结果如何？

答:会产生多个衍射斑，图像中间是白色的，而图像周边是彩色的。

七、实验总结

通过本次实验过程的实践和相关知识的学习，我们了解到了空间滤波的基本原理，以及方向滤波、高通滤波、低通滤波等滤波技术,对阿贝成像的物理现象有了更为直观的了解,对光在频谱方面的应用有了一个初步的了解，阿贝成像的理论在实际光通信等领域具有很强大的指导意义，我们可以通过频谱滤波器选择我们需要的信息部分，通过先分频再合成的方法传输信息。

根据实验老师的指导，我们认真预习，初步了解实验原理，查阅资料，并细心研究推导了有关实验公式，按老师的要求，做到心中有数，使实验有目的地，逐步地进行。做物理实验需要过人的毅力和耐心。本实验在调节图像时，我们遇到了不小的困难。我们发现，由于本实验光路很敏感以及对精度的高要求性，激光管以及光具座上的光学器件必须调水平，且光心在同一条直线上。经过不懈的调试，我们终于得到了傅里叶频谱，此后，我们按照书上的要求一步一步地进行了测量和记录，体会到了物理实验的逻辑性，感受到了实验与所学知识的结合。在今后的实验中，我们会吸取经验、总结不足、不断前进，努力使实验更加完美的。