数学必修2知识点小结

第一章   空间几何体

1.1柱、锥、台、球的结构特征

1、棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母表示，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

2、棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

注意理解正三棱椎，正四面体、直棱柱的结构特征

3、棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形  ②侧面是梯形    ③侧棱交于原棱锥的顶点

4、圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转所成的面所围成的旋转体

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

5、圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

6、圆台的定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

7、球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

1.2空间几何体的三视图和直观图

1、定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、

俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

　　俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

2、画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

③平行于z轴的平行的线段仍然与z平行且长度不变

4、平面图形面积与其直观图面积的关系：

5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

根据三视图画空间几何体的直观图，注意先画俯视图。

1.3 空间几何体的表面积与体积

（一 ）空间几何体的表面积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）

             

    

圆柱的表面积                                圆锥的表面积

圆台的表面积         球的表面积

（二）空间几何体的体积

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

柱体的体积                 

锥体的体积             

台体的体积         球体的体积

专项练习：

1、已知一个几何体的三视图（单位：cm）如右图所示，则该几何体的侧面积为      _____cm

2、一组合体三视图如右，正视图中正方形边长为2，俯视图为正三角形及内切圆，则该组合体体积为（   ）

A.  2   B.    C.  2+  D.

3、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是      

4、如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.。

5、直角三角形三边长分别是、、，绕三边旋转一周分别形成三个几何体. 想象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图，求出它们的表面积和体积.

6、棱长都是1的三棱锥的表面积为             ，体积为          。

7、(1)等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是___；

   (2)一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为_________厘米.

8、正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁ 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB₁D₁的体积为_____________．

9、如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(    )．

A．2＋                  B．                  C．                  D．

 

第二篇：数学必修2第三章知识点小结及典型习题

第三章 直线与方程

1、直线倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

3、直线的斜率:⑴一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,常用小写字母k表示,也就是 k = tanα。

①当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;

②当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

????当???0,90?时，k?0，k随着α的增大而增大； 当???90,180?时，k?0，k随

?着α的增大而增大； 当??90时，k不存在。

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k?⑵过两点Py2?y1(x1?x2) x2?x1

注意下面四点：

(1)当x1?x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

1、P2的顺序无关； (2)k与P

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率，再求倾斜角。

※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等，那么这三点共线；反之，三点共线，任意两点连线的斜率不一定相等。解决此类问题要先考虑斜率是否存在。

4、直线方程（注意各种直线方程之间的转化）

①直线的点斜式方程：y?y0?k(x?x0)，k为直线的斜率，且过点?x0,y0?，适用条件是不垂直x轴。

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y?y0。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x=x0。

②斜截式：y?kx?b， k为直线的斜率，直线在y轴上的截距为b ③两点式：y?y1x?x1（x1?x2,y1?y2）直线两点?x1,y1?，?x2,y2? ?y2?y1x2?x1

④截矩式：xy??1，其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与xab

轴、y轴的截距分别为a,b。

⑤一般式：Ax?By?C?0（A，B不全为0）

注意：①在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。

②各式的适用范围 ③特殊的方程如：

平行于x轴的直线：y?b（b为常数）；平行于y轴的直线：x?a（a为常数）；

5、直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（1）平行直线系

平行于已知直线A0x?B0y?C0?0（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：A0x?B0y?C?0（C为常数），所以平行于已知直线A0x?B0y?C0?0的直线方程可设：A0x?B0y?C?0,C?C0

垂直于已知直线A0x?B0y?C0?0（A0,B0是不全为0的常数）的直线方程可设：B0x?A0y?C?0（C为常数）

（2）过定点的直线系

①斜率为k的直线系：y?

②过两条直线l1:y0?k?x?x0?，直线过定点?x0,y0?； A1x?B1y?C1?0，l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为 ?A1x?B1y?C1????A2x?B2y?C2??0（?为参数），其中直线l2不在直线系中。

6、两直线平行与垂直

（1）当l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2时，

l1//l2?k1?k2,b1?b2；l1?l2?k1k2??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（2）当l1:A1x?B1y?C1?0，l2:A2x?B2y?C2?0时，

l1//l2?A1B2?A2B1?0且B1C2?B2C1?0；l1?l2?A1A2?B1B2?0 例：设直线l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)，

当(1) l1/ /l2 (2) l1⊥l2时，分别求出m的值

7、两条直线的交点

当l1:A1x?B1y?C1?0 l2:A2x?B2y?C2?0相交时，

A1x?B1y?C1?0交点坐标是方程组?的一组解。 ??A2x?B2y?C2?0

方程组无解?l1//l2；方程组有无数解?l1与l2重合。

x1?x2，28. 中点坐标公式：已知两点P1 (x1，y1)、P2(x2，y2)，则线段的中点M坐标为(

y1?y2)例：已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB的垂直平分线的方程。 2

9、两点间距离公式：设A(x)Bxy1,y1，（2,）2是平面直角坐标系中的两个点，

则|AB|?

10、点到直线距离公式：一点P?x0,y0?到直线l:Ax?By?C?0的距离为d?Ax0?By0?C

A?B22

11、两平行直线距离公式（1）两平行直线距离转化为点到直线的距离进行求解，即：先在任一直线上任取一点，再利用点到直线的距离进行求解。

（2）两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，则l1与l2的距离为d?

12巩固练习：

1、图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )．

A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2

C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2

2、设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6(m∈R，m≠－1)，根据下列条件分别求m的值：①l在x轴上的截距是－3；②斜率为1．

3．已知△ABC的三顶点是A(－1，－1)，B(3，1)，C(1，6)．直线l

平行于AB，交AC，BC分别于E，F，△CEF的面积是△CAB面积的

4、一直线被两直线l1：4x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0截得的线段

的中点恰好是坐标原点，求该直线方程．

5、直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．

6、已知点A(－2，1)，B(1，－2)，直线y＝2上一点P，使|AP|＝|BP|，则P点坐标为 ．

7、若三点A(－2，3)，B(3，－2)，C(1，m)共线，则m的值为 2(第3题) C1?C2A?B22 1．求直线l的方程． 4

8、与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程

是 。

9、直线l1：x＋a2y＋6＝0和直线l2 : (a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是

( )．

A．3B．－3C．1D．－1

10、如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )．

A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限

11、直线l：(2m+1)x+(m+1)y—7m—4=0所经过的定点为 (m∈R)