二次函数
一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
(因此:二次函数应满足两个条件:①二次项的系数不等于0,②x最高项的指数是2)
2. 二次函数的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.
⑵ 是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式:的性质:
①,a 的绝对值决定开口的大小
(a 的绝对值越大,抛物线的开口越小,a 的绝对值越小,抛物线的开口越大)
②a 的符号决定开口的方向
(a>0,开口向上,a<0开口向下)
2. 的性质:
上加下减。(c>0,将向上移动,c<0将的图像向下移动=
3. 的性质:左加右减。
4. 的性质:
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
⑵保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:
2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成
(或)
⑵沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或)
四、二次函数与的比较
从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中.
五、二次函数图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.
六、二次函数的性质
1. 当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.
当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有最小值.
2. 当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值.
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:(,,为常数,);
2. 顶点式(又称为对称式):(,,为常数,);
3. 两根式(又称为两点式):(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数中,作为二次项系数,显然.
⑴ 当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;
⑵ 当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.
2. 一次项系数:在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.
⑴ 在的前提下,
当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.
⑵ 在的前提下,结论刚好与上述相反,即
当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.
总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.
的符号的判定:对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”
3. 常数项
⑴ 当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
⑵ 当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;
⑶ 当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.
总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.
总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式(三点式);
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式(对称式);
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式(两点);
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
九、二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况):
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数:
① 当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程的两根.这两点间的距离(即. 二次函数与轴两个交点的距离)
② 当时,图象与轴只有一个交点;
③ 当时,图象与轴没有交点.
当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有;
当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有.
2.抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,;
十、函数的应用
二次函数应用
注:在实际应用中凡是需要求最大,最小(或极值)问题一般都要考虑用二次函数的最大值或最小值
二次函数考查重点与常见题型
1.考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:
已知以为自变量的二次函数的图像经过原点, 则的值是
2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如:
如图,如果函数的图像在第一、二、三象限内,那么函数的图像大致是( )
3.考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如:
已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为,求这条抛物线的解析式。
4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:
已知抛物线(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是-
(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。
【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号
例1 (1)二次函数的图像如图1,则点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,则下列结论:①a、b同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(1) (2)
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x1,0),且11<2,与y轴的正半轴的交点在点(O,2)的下方.下列结论:①aO;③4a+cO,其中正确结论的个数为( )
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 个
例3.已知:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为( )A(2,-3) B.(2,1) C(2 , 3) D.(3,2)
例4、如图(单位:m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动,直到AB与CD重合.设x秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym2.
(1)写出y与x的关系式;
(2)当x=2,3.5时,y分别是多少?
(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间?求抛物线顶点坐标、对称轴.
例5、已知抛物线y=x2+x-.
(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.
(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.
例6、 “已知函数的图象经过点A(c,-2),
求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
(1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;若不能,请说明理由。
(2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。
[解答] (1)根据的图象经过点A(c,-2),图象的对称轴是x=3,得
解得
所以所求二次函数解析式为图象如图所示。
(2)在解析式中令y=0,得,解得
所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3+”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是
令x=3代入解析式,得
所以抛物线的顶点坐标为
所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。
用二次函数解决最值问题
例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图),其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积.
例2 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:
若日销售量y是销售价x的一次函数.
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?
【解析】(1)设此一次函数表达式为y=kx+b.则 解得k=-1,b=40,即一次函数表达式为y=-x+40.
(2)设每件产品的销售价应定为x元,所获销售利润为w元
w=(x-10)(40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225.
产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元.
二次函数对应练习试题
一、选择题
1. 二次函数的顶点坐标是( )
A.(2,-11) B.(-2,7) C.(2,11) D. (2,-3)
2. 把抛物线向上平移1个单位,得到的抛物线是( )
A. B. C. D.
3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )
4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当和时,函数值相等;③④当时, 的值只能取0.其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个
5.已知二次函数的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是( )
A.(-1.3) B.(-2.3 ) C.(-0.3 ) D.(-3.3)
6. 已知二次函数的图象如图所示,则点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
7.方程的正根的个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个. 3 个
8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A. B. C. 或 D. 或
二、填空题
9.二次函数的对称轴是,则_______。
10.已知抛物线y=-2(x+3)²+5,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是_______.
11.一个函数具有下列性质:①图象过点(-1,2),②当<0时,函数值随自变量的增大而增大;满足上述两条性质的函数的解析式是 (只写一个即可)。
12.抛物线的顶点为C,已知直线过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。
13. 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。
14.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是 (π取3.14).
三、解答题:
15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,).
(1)求这个二次函数的解析式;=(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大?
16.某种爆竹点燃后,其上升高度h(米)和时间t(秒)符合关系式 (02计算.这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升,(1)这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米?(2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由.
17.如图,抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与轴的另一个交点为C,抛物线顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式;(2)点P为抛物线上的一个动点,求使:5 :4的点P的坐标。
18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7. 5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x(元),该经销店的月利润为y(元).
(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;
(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);
(3)该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元?
(4)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由.
练习试题答案
一,选择题、
1.A 2.C 3.A 4.B 5.D 6.B 7.C 8.C
二、填空题、
9. 10.<-3 11.如等(答案不唯一) 12.1 13.-8 7 14.15
三、解答题
15.(1)设抛物线的解析式为,由题意可得
解得 所以
(2)或-5 (2)
16.(1)由已知得,,解得当时不合题意,舍去。所以当爆竹点燃后1秒离地15米.(2)由题意得,=,可知顶点的横坐标,又抛物线开口向下,所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内,爆竹在上升.
17.(1)直线与坐标轴的交点A(3,0),B(0,-3).则解得
所以此抛物线解析式为.(2)抛物线的顶点D(1,-4),与轴的另一个交点C(-1,0).设P,则.化简得
当>0时,得 ∴P(4,5)或P(-2,5)
当<0时,即,此方程无解.综上所述,满足条件的点的坐标为(4,5)或(-2,5).
18.(1)=60(吨).(2),化简得: .(3).
红星经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨210元.
(4)我认为,小静说的不对. 理由:方法一:当月利润最大时,x为210元,而对于月销售额来说,
当x为160元时,月销售额W最大.∴当x为210元时,月销售额W不是最大.∴小静说的不对.
方法二:当月利润最大时,x为210元,此时,月销售额为17325元; 而当x为200元时,月销售额为18000元.∵17325<18000, ∴当月利润最大时,月销售额W不是最大.∴小静说的不对.
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