《平面向量》复习课(学案)
【复习要求】
1、理解和掌握平面向量有关的概念;
2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算;
3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用;
4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用;
【知识提要】
1、平面向量有关的概念:(1)向量;(2)向量模;(3)相等的向量;(4)负向量;(5)零向量;(6)单位向量;(7)平行向量;(8)垂直向量;(9)向量的夹角;(10)位置向量;(11)向量的坐标。
2、向量的运算:(1)加减法;(2)实数与向量的乘积;(3)向量的数量积。
3、几个重要的结论:设,。(1);(2);(3)∥存在,使得;(4)定比分点P的坐标由确定;(5)三角形中线向量公式:;(6)模的性质:。
【超级链接】
相关知识:(1)方向向量;(2)法向量;(3)复数的向量表示;(4)两直线的夹角;(5)相关的三角比公式;(6)正弦定理、余弦定理。
【热身训练】
1.下列命题中:①若,则;②若∥,则;③若与反向,则;④若与不平行,且存在实数p、q,使得,则。其中真命题的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2. 设P是△ABC所在平面上一点,若,则P是△ABC的( ) (A) 内心 (B) 外心 (C) 重心 (D) 垂心
3.已知,,且,则m= 。
4.非零向量、满足,则、+夹角大小是 。
5.已知,,绕点A逆时针旋转,得到,则C点的坐标为 。
【例题精讲】
例题1 填空(或选择)题:
(1)已知,,若,则 。
(2)△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c ,设向量,,若∥,则角C的大小为 。
(3)向量,且与方向相同,则的取值范围是 。
(4)已知集合,,则( )(A) (B) (C) (D)Æ
(5)已知向量,,对任意,恒有,则( )
(A) (B) (C) (D)
例题2 平面内有向量,,,点M为直线OP上的一个动 点。(1)当取最小值时,求的坐标;(2)在点M满足(1)的条件下,求
∠AMB的余弦值。
例题3 如图,点D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA的中点,求证:(1);(2);(3) 。
例题4 已知,,,动点满足。(1)求(其中O为原点);(2)是否存在点P,使PA成为∠F1PF2的平分线?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由。
例题5 中,,,BQ与CR交于点D,AD的延长线交BC于P。(1)用,表示和;(2)若=,求实数和的值。
【追踪练习】
1、在△ABC中,有下列四个命题:①若,则△ABC为等腰
三角形;②若,则△ABC为直角三角形;③若,则△ABC为锐角三角形;④若,则△ABC为等边三角形。其中真命题的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2、已知,,且,,则 。
3、非零向量、满足,则、+夹角大小是 。
4、中,,,,D是线段BC上的点,若,则= 。
5、平行四边形ABCD中,,,,O为原点,求:(1) 的坐标;(2)大小。
6、是否存在正整数k,使得向量,的夹角大小等于?若存在,求出正整数k;若不存在,请说明理由。
7、已知,,点A,∥()。且,求的坐标。
8、已知, ,与的夹角大小为600,,,当m为何值时,。
9、已知, ,与的夹角大小为,又,, 求。
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