新人教版九年级上二次函数知识点总结与练习[1]

来源:m.fanwen118.com时间:2021.9.17

新人教版九年级上册二次函数知识点总结(经典) 知识点一:二次函数的定义

1.二次函数的定义:

b,c是常数,a?0)的函数,叫做二次函数. 一般地,形如y?ax2?bx?c(a,

其中a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.

知识点二:二次函数的图象与性质

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2. 二次函数y?a?x?

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h??

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k的图象与性质

(1)二次函数基本形式y?ax2的图象与性质:a的绝对值越大,抛物线的开口越小 2

(2)y?ax2?c的图象与性质:上加下减

1

(3)y?a?x?h?的图象与性质:左加右减

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2

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2

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(4)二次函数y?a?x?h??k的图象与性质

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2

3. 二次函数y?ax2?bx?c的图像与性质

?b4ac?b2?b (1)当a?0时,抛物线开口向上,对称轴为x??,顶点坐标为???. 2a4a2a??

当x??bbb时,y随x的增大而减小;当x??时,y随x的增大而增大;当x??时,2a2a2a

4ac?b2

. y有最小值4a

?b4ac?b2?b (2)当a?0时,抛物线开口向下,对称轴为x??,顶点坐标为???. 2a4a2a??

当x??bbb时,y随x的增大而增大;当x??时,y随x的增大而减小;当x??时,2a2a2a

4ac?b2

. y有最大值4a

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3

4. 二次函数常见方法指导

(1)二次函数y?ax2?bx?c图象的画法

①画精确图 五点绘图法(列表-描点-连线)

利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.

②画草图 抓住以下几点:开口方向,对称轴,与y轴的交点,顶点.

(2)二次函数图象的平移

平移步骤:

① 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k,确定其顶点坐标?h,k?;

② 可以由抛物线ax经过适当的平移得到具体平移方法如下:

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22

向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位【或左(h<0)】

平移规律:概括成八个字“左加右减,上加下减”.

(3)用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式:

②顶点式:

③交点式:

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.已知图象上三点或三对、的值,通常选择一般式. .已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式. .已知图象与轴的交点坐标、,通常选择交点式.

(4)求抛物线的顶点、对称轴的方法 b4ac?b2b?4ac?b2?2(?)①公式法:y?ax?bx?c?a?x?,∴顶点是,对称轴??2a4a2a4a??

是直线x??2b. 2a

2②配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式,得到顶点为

(h,k),对称轴是直线x?h.

4

③运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.

(5)抛物线y?ax2?bx?c中,a,b,c的作用

①a决定开口方向及开口大小,这与y?ax2中的a完全一样.

②b和a共同决定抛物线对称轴的位置

由于抛物线y?ax2?bx?c的对称轴是直线x??

如果b?0时,对称轴为y轴; b,故 2a

b?0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧; a

b如果?0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧. a如果

③c的大小决定抛物线y?ax?bx?c与y轴交点的位置

2当x?0时,y?c,所以抛物线y?ax?bx?c与y轴有且只有一个交点(0,c),故 2

如果c?0,抛物线经过原点;

如果c?0,与y轴交于正半轴;

如果c?0,与y轴交于负半轴.

知识点三:二次函数与一元二次方程的关系

5.函数y?ax2?bx?c,当y?0时,得到一元二次方程ax2?bx?c?0,那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标,因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点,这时

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点,这时

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点,这时,则方程有两个不相等实根; ,则方程有两个相等实根;,则方程没有实根.

通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系:

5

6.拓展:关于直线与抛物线的交点知识

(1)y轴与抛物线y?ax?bx?c得交点为(0,c).

2(2)与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax?bx?c有且只有一个交点2

(h,ah2?bh?c).

(3)抛物线与x轴的交点

二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元

二次方程ax?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:

①有两个交点???0?抛物线与x轴相交;

②有一个交点(顶点在x轴上)???0?抛物线与x轴相切;

③没有交点???0?抛物线与x轴相离.

(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐

标相等,设纵坐标为k,则横坐标是ax?bx?c?k的两个实数根.

2 (5)一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的222

交点,由方程组??y?kx?n

?y?ax?bx?c2的解的数目来确定:

①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点;

6

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②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点;

③方程组无解时?l与G没有交点.

(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线y?ax2?bx?c与x轴两交点为

A?x1,0?,B?x2,0?,由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根,故

bcx1?x2??,x1?x2?aa

AB?x1?x2?x1?x22?x1?x22b2?4ac??b?4c?4x1x2???????aaa?a?2

知识点四:利用二次函数解决实际问题

7.利用二次函数解决实际问题,要建立数学模型,即把实际问题转化为二次函数问题,利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系,建立函数关系式,再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

利用二次函数解决实际问题的一般步骤是:

(1)建立适当的平面直角坐标系;

(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来;

(3)用待定系数法求出抛物线的关系式;

(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.

7


第二篇:初中函数知识点总结加练习4----二次函数[1] 2500字

初中函数知识点总结加练习4二次函数1

初中函数知识点总结加练习4二次函数1

初中函数知识点总结加练习4二次函数1

初中函数知识点总结加练习4二次函数1

二次函数 知识点总结

一、二次函数概念:

b,c是常数,a?0)的函数,叫做二次函数 这里1.二次函数的概念:一般地,形如y?ax2?bx?c(a,

c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a?0,而b,

2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征:

⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.

b,c是常数,a是二次项系数,b是 ,c是 .ax2是 。 ⑵ a,

二、二次函数的基本形式

二次函数的形状都由a决定,只要a相同,二次函数的图象形状就相同。 a 的绝对值越大,抛物线的开口越 。 1. 二次函数基本形式:y?ax2的性质:

2. y?ax2?c的性质:二次函数y?ax2?c的图象可以看作y?ax2向上或者向下平移|c|个单位长度得到。 上加下减。

2

3. y?a?x?h?的性质:

二次函数y?a?x?h?的图象可以看作y?ax2向或者向|h|个单位长度得到。左加右减。

2

2

4. y?a?x?h??k的性质:

初中函数知识点总结加练习4二次函数1

初中函数知识点总结加练习4二次函数1

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤:

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k,确定其顶点坐标?h,k?; ⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变,将其顶点平移到?h,k?处,具体平移方法如下:

2

向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位【或左(h<0)】

2. 平移规律

八个字“左加右减,上加下减”.

四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c的比较

从解析式上看,y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前

b?4ac?b2b4ac?b2?者,即y?a?x???,其中h??,.所以二次函数的顶点坐标是(h,k),用a,b,c k?2a4a2a4a??222

表示也就是( , )

五、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法

五点绘图法

画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.

六、二次函数y?ax2?bx?c的性质

1. 当a?0时,抛物线开口向上,对称轴为.

bbb时,y随x的增大而x??时,y随x的增大而;当x??时,y 2a2a2a

有最 值 .

2. 当a?0时,抛物线开口,对称轴为 当x??

bbb时,y随x的增大而x??时,y随x的增大而x??时, 2a2a2a

y有最. 当x??

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式:(a,b,c为常数,a?0);

2. 顶点式:a,h,k为常数,a?0);

注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只

有抛物线与x轴有交点,即b2?4ac?0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数y?ax2?bx?c中,a作为二次项系数,显然a?0.

⑴ 当a?0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越,反之a的值越小,开口越; ⑵ 当a?0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越,反之a的值越大,开口越.

总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小.

2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.

⑴ 在a?0的前提下,

当b?0时,?

当b?0时,?

当b?0时,?b?0,即抛物线的对称轴在y轴 2ab?0,即抛物线的对称轴就是 2ab?0,即抛物线对称轴在y轴的侧. 2a

⑵ 在a?0的前提下,结论刚好与上述相反,即

当b?0时,?

当b?0时,?

当b?0时,?b?0,即抛物线的对称轴在y轴侧; 2ab?0,即抛物线的对称轴就是 2ab?0,即抛物线对称轴在y轴的侧. 2a

总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.

ab的符号的判定:对称轴x??b在y轴左边则ab(填>,<或=),在y轴的右侧则ab02a

(填>,<或=),概括的说就是“左同右异”

总结:

3. 常数项c

⑴ 当c?0时,抛物线与y轴的交点在x轴方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当c?0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;

⑶ 当c?0时,抛物线与y轴的交点在x轴方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.

b,c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 总之,只要a,

二次函数解析式的确定:

根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:

1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用;

3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.

十、二次函数与一元二次方程:

1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):

一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况.

图象与x轴的交点个数:

① 当??b2?4ac?0时,图象与x轴交于两点

② 当??0时,图象与x轴只有一个交点;

③ 当??0时,图象与x轴没有交点.

; 1' 当a?0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有(填>,<或=)

2'当a?0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y 0(填>,<或=)

2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交,交点坐标为;

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