拉伸法和动力学法测量弹性模量
实验报告
双33A组
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20070102 - -
实验日期:20xx年12月17日
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第一部分 拉伸法测弹性模量
1.1 实验目的
(1) 学习用拉伸法测量弹性模量的方法;
(2) 掌握螺旋测微计和读数显微镜的使用;
(3) 学习用逐差法处理数据。
1.2 实验原理
1.2.1 弹性模量及其测量方法
本实验讨论最简单的形变——拉伸形变,即棒状物体(或金属丝)仅受轴向外力作用而发生伸长的形变(称拉伸形变)。设有一长度为?,截面积为?的均匀金属丝,沿长度方向受一外力?后金属丝伸长??。单位横截面积上的垂直作用力?/?成为正应力,金属丝的相对伸长??/?称为线应变。实验结果指出,在弹性形变范围内,正应力与线应变成正比,即
???=?该规律称为胡克定律。式中比例系数
?=?/?称为材料的弹性模量。它表征材料本身的性质,?越大的材料,要使他发生一定的相对形变所需的单位横截面积上的作用力也越大。一些常用材料的?值见表1。 ?的单位为Pa(1Pa=1N/m2;1GPa=109Pa)。
表1 一些常用材料的弹性模量
本实验测量的是钢丝的弹性模量,如果测得钢丝的直径为?,则可以进一步把?写成:
?=4?? 测量钢丝的弹性模量的方法是将钢丝悬挂于支架上,上端固定,下端加砝码对钢丝施力?,测出钢丝相应的伸长量??,即可求出?。钢丝长度?用钢尺测量,钢丝直径?用螺旋测微计测量,力?由砝码的重力?=??求出。实验的主要问题是测准??。??一般很小,约10?1mm数量级,在本实验中用读数显微镜测量(也可利用光杠杆法或其他方法测量)。为了使测量的??更准确些,采用测量多个??的方法以减少测量的随机误差,即在钢丝下端每加一个砝码测一次伸长位置,逐个累加砝码,逐次记录伸长位置。通过数据处理求出??。
1.2.2 逐差法处理数据
如果用上述方法测量10次得到相应的伸长位置?1,?2,…,?10,如何处理数据,算出钢丝的伸长
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量??呢?
我们可以由相邻伸长位置的差值求出9个??,然后取平均,则
??=
?2??1 + ?3??2 +?+ ?10??9 从上式可以看出中间各??都消去了,只剩下?10??1 9,用这样的方法处理数据,中间各次测量结果均未起作用。
为了发挥多次测量的优越性,可以改变一下数据处理的方法,把前后数据分成两组,?1,?2,?3,?4,?5一组,?6,?7,?8,?9,?10为另一组。讲两组中相应的数据想见得出5个??,??=5??,则
??= ?6??1 + ?7??2 + ?8??3 + ?9??4 + ?10??5 这种数据处理的方法称为逐差法,其优点是充分利用的所测数据,可以减小测量的随机误差,而且也可以减少测量仪器带来的误差。因此是实验中常用的一种数据处理的方法。
1.3 实验仪器
实验装置如图1所示。
图1 测量弹性模量的实验装置
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1.4 数据处理
1. 测钢丝长度?及其伸长量??
∴??=?=×1.305=0.2616mm
不确定度计算:
??= ??仪 + ?? 2
本实验读数显微镜测某一位置??的仪器误差为0.01mm,因此用它测量一段伸长量?=??+5???,则?的仪器误差为Δ?仪= Δ?
?+5仪
+ Δ? = ×0.01mm
?仪
2
所以Δ?= Δ?仪 + ?? 2= ×0.01 +0.02532=0.02898mm 又因为??=5?,所以Δ??=5??=5.7969×10?3mm ∴??±Δ??=(0.2616±0.0058)mm 2. 测钢丝直径?
测定螺旋测微计的零点?(单位为mm) 测量前-0.015,-0.020,-0.015,
1
1
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= 0.2225 mm,??= 1.528×10 mm 钢丝的平均直径?-3Δ?= Δ仪 + ?? 2= =4.2819×10?3mm
∴?±Δ?=(0.2225±0.0043)mm
由以上数据可求出:?=
3. 总不确定度的计算
2222??????= ln? ?? 2+ ln? ?? 2+ ln? ?? 2+ ln? ??? 2 4??4×0.2×9.8×0.999==1.9250×1011Pa=192.50GPa ??2??22??2???2
= + + + 25.7969×10?332×4.2819×10?32 + + = 0.5% + 22
=0.0447935
∴??=0.0447935?=0.0862×1011Pa
∴?±??=(192.50±8.62)GPa
第二部分 动力学法测弹性模量
2.1 实验目的
(1) 学习一种更实用,更准确的测量弹性模量的方法;
(2) 学习用实验方法研究与修正系统误差。
2.2 实验原理
如图2所示,一根细长棒(长度比横向尺寸大很多)的横振动(又称弯曲振动)满足动力学方程:
z
y x ?2????4? +?=0 棒的轴线沿?方向,式中?为棒上距左端?处截面的?方向位移,?为该棒的弹性模量,?为材料密度,?为棒的
图 2 细长棒的弯曲振动
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横截面积,?为某一截面的惯性矩 ?=
该方程的通解为 2z??dS 。 S
? ?,? = ?1ch??+?2sh??+?3cos??+?4sin?? ?cos(??+?)
式中
?4???= 称为频率公式,它对任意形状截面的试样,不同的边界条件下都是成立的。我们只要根据特定的边界条件定出常数?,代入特定界面的惯量矩?,就可以得到具体条件下的关系式。
对于用细线悬挂起来的棒,若悬线位于棒作横振动的节点若悬线位于棒作振动的节点?、?1点附近,并且棒的两端均处于自由状态,那么在两端面上,横向作用力?与弯矩均为零。横向作用力
???3??2??==???,弯矩?=???,则边界条件有4个,即 33d?d?=0, =0 ?=??=022d?d? =0, =0 ?=0?=?
?为棒长。将通解带入边界条件得
cos???ch??=1
用数值解法可求得满足上式的一系列根???,其值为???=0,4.730,7.853,10.966,14.137,?。 其中?0?=0的根对应于静止状态。因此将?1?=4.730记作第一个根,对应的振动频率称为基振频率,此时棒的振幅分布如图3(a)所示,?2?、?3?对应的振形依次为图3(b)、(c)。从图3(a)可以看出试样在作基频振动的时候,存在两个节点,根据计算,它们的位置分别距端面在0.224l和0.776l处。对应于n=2的振动,其振动频率约为基频的2.5~2.8倍,节点位置在0.132l,0.500l,0.868l处。
将第一个?=4.730
?图 3 两端自由的棒弯曲振动的前三阶振幅分布 的?值带入 ?= ???
??
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?=
解出弹性模量
?=1.997 8×10?34.7304???3?2??4?2?2×?=7.887 0×10? 2πd4
上式中?为棒的质量,?=???;?为圆棒的基振频率。对于直径为?的圆棒,惯量矩?=??zdS=,S
带入上式得
?3?2?=1.606 7? 这就是本实验用的计算公式。
实际测量时,由于不能满足???,此时上式应乘上一修正系数?1,即
?3?2?=1.606 7??1 ?1可根据?/?的不同数值和材料的泊松比查表得到。
2.3 实验装置
实验装置见图4。
图4 动力学法测弹性模量实验装置
2.4 实验任务
(1) 连接线路,阅读信号发生器及示波器的有关资料,学习调节和使用方法。
(2) 测量被测样品的长度、直径(在不同部位测6次取平均值)及质量。质量测量用数显电子天平。本实验用的样品为黄铜棒。
(3) 测样品的弯曲振动基振频率。
理论上样品作基频共振时,悬点应置于节点处,即悬点应置于距棒两端面分别为0.224l和0.776l处。但是在这种情况下,棒的振动无法被激发。欲激发棒的振动,悬点必须离开节点位置。这样又与理论条件不一致,势必产生系统误差。故实验上采用下述方法测棒的弯曲振动基频频率:在基频节点处正负30mm范围内同时改变两悬线位置,每隔5mm~10mm测一次共振频率。画出共振频率与悬线位置关系曲线
。由该图可准确求出悬线在节点位置
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的基频共振频率,其值约在几百赫兹量级。
2.5 数据记录及处理
1. 被测样品的长度、直径和质量
长度?= 20.922cm ,质量 49.37g
螺旋测微计零点位置?(单位为mm)
测量前 0.000 , 0.000 , 0.000 ,
?= 0.001633 mm Δ?= Δ仪 + ?? 2= =4.3205×10?3mm
∴?±Δ?=(5.977±0.004)mm
作出f-x曲线如图5。
由图线上读出:在x=0处,f=443.26Hz。
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由以上数据可求得
?3?2?=1.6067??1 0.209223×49.37×10?3
=1.6067××443.262×1.0046 =1.1683×1011Pa
=116.83GPa
下面计算?的不确定度??
2222??????2= ln? ?? 2+ ln? ?? 2+ ln? ?? + ln? ?? 2 其中,
ln?=ln1.6067+ln?1+3ln?+ln?+2ln??4ln?
故
4?ln?3?ln?1?ln?2?ln?=,=,=,=? 2??2??3??2??24??2
∴= + + + 0.0524×4.3205×10?33×0.00222×0.102
= + + + =0.00311
∴??=0.00311?=0.0036×1011Pa
∴?±??=(116.83±0.36)GPa
2
第三部分 实验总结
拉伸法和动力学法相比,操作比较简单,但是如果用拉伸法测铜棒的弹性模量就不太可行,因为铜棒的截面积比较大,要产生读数显微镜可辨的伸长量,需加的外力就要很大。而对于细钢丝的弹性模量,动力学法也是不合适的,因为钢丝太细了,质量也很小,在振动过程中受到其他扰动也比较大,随机误差较大,而且共振点不容易判断。
在我做过的几个涉及到振动的实验当中,共振点的判断都是比较困难的。我之前做过的理论力学实验“单自由度振动系统固有频率和阻尼比测定”当中,用传感器采集振动信息,并能在计算机中显示幅值和相位的即时值,但共振点仍然很难找,确切地说是“找不出来”,因为振动情况的随机波动太大了。本次实验中用的是示波器,随机误差相比会更大。
从相对不确定度来看,拉伸法的??/?=0.045,动力学法的??/?=0.003,远小于前者,说明了动力学法的系统误差更小。
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对于作f-x图线所使用的最小二乘法,我有一个疑问。这种方法的确是能“充分发挥所有数据用途”,但似乎只有当我们预先清楚地知道x-y图的性质(线性、抛物线etc.)时才能这么做。如果面对一个未知的x-y关系,需要通过实验得到的数据(或蕴藏在极复杂的隐函数z=F(x,y)中(*))来将其揭示出来,如果使用了最小二乘法,没有通过每一个数据点,那么数据点的那些“拐弯”、“凸起”等趋势不也就浪费了吗?而且还会造成错误。
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20xx年12月22日 (原始数据表格见附页)
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