实验十一用电流场模拟静电场

在工程技术中，经常会遇到一些不易被测试条件不足的物理量，这时，往往采用模拟法来进行测量。如对飞行器的性能进行测试，利用运动的相对性原理，把飞行器固定在风洞内进行鼓风，根据模拟飞行器的飞行来测试其有关性能。

模拟法是科学研究的一种方法。它不直接研究物理现象或过程的本身，而用与这些现象或过程相似的模型和煦来进行研究。例如用振动台模拟地震对工程结构物强度的影响，用电流场模拟水坝渗流，用光测弹性法模拟工程构件内应力分布等。以上的模拟称为物理模拟，它们在模拟过程中保持物理现象或过程的本质不变，本实验介绍另一种模拟，称为数学模拟，它是指两个不同本质的物理现象或过程可以用类似的数学方程来描述的模拟。

模拟法本本质上是用一种易于实现，便于测量的物理状态或过程，来模拟不易实现、不便测量的状态或过程，只要这两种状态或过程有一一对应的两组物理量，并且它们所满足的数学形式基本相同。静电场传递一些带电体对另一些带电体的作用，它是物质存在的一种形式。一般说来，静电测量要比直流电测量复杂。尽管稳恒电流场与静电场是本质上不同的物理现象。但是在一定条件下导电介质中稳恒电流场与静电场的描述具有类似的数学方程，因而可以用稳恒电流场来模拟静电场。

在科学实验中，我们常常需要了解各种电极或带电体周围的静电场。但在多数情况下很难求出电场分布的解析，大都要采用实验的方法来确定静电场的分布。本实验仪就是采用模拟法来描绘静电场，即用稳恒电流场模拟描绘静电场。

仿制所要研究的电极，用模拟实验方法研究静电场分布，在电子管、示波管、显像管和电子显微镜等电子束器件的设计和研究中具有实用意义。

一、实验目的

1、了解模拟法描绘静电场的理论依据。

2、学会用模拟法研究静电场、在导电纸上描绘静电场分布的方法。

3、描绘几种静电场的等位线、根据等位线画出电力线。

4、加深对静电场、稳恒电流场的了解。

二、实验原理

模拟法描绘静电场的理论依据是：带电体在其周围空间所产生的电场，可用电场强度E和电位U的空间分布来描述。为了形象地表示电场的分布情况，常采用等位面和电力线来描绘电场。电力线线是按空间各点电场强度的方向顺次连成的曲线，等位面是电场中电位相等的各点所构成的曲面。电力线和等位面相互正交，有了等位面的图形就可以画出电力线，反之亦然。我们所说的测量静电场，指的是测绘出静电场中等位面和电力线的分布图形。它是了解电场中一些物理现象或控制带电粒子在电磁场中无能无力所必须解决的问题，对科研和生产都是十分有用的。

但是，直接对静电场进行测量是相当困难的。首先，静电场不会有电流存在，这样一来磁电式电表就失去了效用；其次是仪器和测量探针引入静电场时，必将在静电场的作用下出现感应电荷，而感应电荷产生的电场与原电场叠加，必使原电场发生畸变，得到的结果必然严重失真。所以，直接测量是不可行的。只有采取间接的方法伪造另一个场，使它与原静电场相似，当用探针对这种模拟场进行测量时它不受干扰，就可间接测量被模拟的静电场。

用模拟法描绘静电场的方法之一是用电流场代替静电场。本实验仪采用稳恒电流场模拟描绘静电场。由电磁学理论可知电解质（或水液）中稳恒电流场与电介质（或真空）中静电场具有相似性。

当空间中不存大自由电荷时，各向同性介质中静电场满足下列微分方程及边界条件

(11-1)

式中为电位移失量，为电场强度失量；下标中n表示法向，t表示切向，1、2代表边界两边的介质。和的关系为

(11-2)

式中为介质介电系数，为真空介质电系数，为介质的相对介电系数。

在静电场的无源区域中，电场强度矢量满足

(11-3)

各向同性导电介质中稳恒电流场满足下列微分方程及边界条件

(11-4)

式中为电流密度矢量。和的关系为

(11-5)

式中为各向同性导电介质的电导率。

在电流场的无源区域中，电流密度矢量满足

(11-6)

由（11- 3）式和（11-6）式可看出静电场强度矢量和电流场中电流密度矢量所遵守的物理规律具有相同的数学形式，所以这两种场具有相似性。在相似的场源分布和相似的边界条件下，它们的解得表达式具有相同的数学模型。

模拟法测定静电场的理论依据是因为静电场与稳恒电流场这两种所遵守的物理规律具有完全相同的数学形式。表11-1所示为静电和稳恒电流场所遵循的物理规律。比较两组方程可知，与成一一对应关系，因此我们就可以用相应地在导电介质中分布的电流场模拟相应电解质中的静电场，当静电场中的导体与稳恒电流场中的电极形状相似并且边界条件相同时，静电场在介质中的电位分布于稳恒电流场在介质中的电位分布完全相同，所以可以用稳恒电流场来模拟静电场，这是本实验的模拟依据。

表11-1 静电场与稳恒电流场数学方程

电流场中有许多电位彼此相等的点，测出这些电位相等的点，描绘成面就是等位面，这些面也是静电场中的等位面。当等位面变成等位线，根据电力线和等位线正交的关系，即可画出电力线。这些电力线上每一点的切线方向就是该电力线的方向，这就可以用等位线和电力线形象地表示静电场的分布。

1. 同轴带电圆柱面电场的模拟。

现在用同轴带电圆柱面具体说明稳恒电流场和静电场的相似性。

（1）

静电场。设同轴圆柱面是“无限长”的，内、外半径分别为

和

。电荷线的密度为

和

，圆柱面间介质的介电系数为

，如图11-1所示。根据高斯定理，同轴圆柱面间的电流场强度

为

(11-7)

式中为圆柱面间任一点距轴心的距离。图11-1 同轴带电圆柱面静电场

若取外圆柱面的电位为0，则内圆柱面的电位就是两圆柱面间的电位差

(11-8)

在两圆柱面间任一点的电位是

V(r)= (11-9)

比较上两式，可得

V(r)= (11-10)

(2)电流场。为了计算电流场的电位差，先计算两圆柱面间的电阻，然后计算电流，最后计算两点间的电位差。设导电介质厚度为,电阻率为，则任意半径到圆柱面间电阻为

dR= (11-11)

将（11-11）式积分得到半径为到半径为圆柱面间电阻为

(11-12)

同理，可得半径为到半径为圆柱面电阻为

(11-13)

则从内圆柱到外圆柱面间的电流为

(11-14)

半径为的圆柱面电位为

(11-15)

将(11-12)、(11-13)式代入（11-15）式，得

(11-16)

比较（11-10）式和（11-16）式，可知静电场与电流场的电位分布是相同的。

以上是外界条件相同的静电场与电流场的电位分布相同的一个实例。电极形状复杂的静电场用解析法计算是很困难的，甚至是不可能的，这时用电流场模拟静电场将显示出更大的优越性。

现在要设计一个稳恒电流场来模拟同轴带电圆柱面电场，其要求为：（1）设计的电极与带电圆柱面电极相似，尺寸可以按比例并具有相同的边界条件，（2）导电介质的电阻率比电极要大得多，并且各向同性且均匀分布。当两个电极间施加电压时，其中间形成一稳恒电流场。

设径向电流为，则电流密度为，这里导电介质厚度取。根据欧姆定律的微分形式可得，显然电流场的形式与静电场相同，都是与成反比。因此，两极间电位差与式（11-8）相同，电位分布与式（11-10）相同。在本实验中，由（11-10）式可得等位线分布公式

(11-17)

2.两平行线电荷场的模拟。

若有两平行线带电导线，其截面直径为，两导线的间距为，当时，在离导线较远处电场和线电荷的电场近乎相同。

设有两个无限长线电荷A和B，它们的电荷密度分别为+ 和—，P点离A的垂直距离为，离B的垂直距离为，我们来计算点的点位。

先求A在点产生的电位。对于无限长线电荷，它在空间某点产生的电场强度方向是垂直于该电荷的，由高斯定理可得，A在点产生的电场强度

(11-18)

式中为真空介电系数。

设有离A和B很远的地方有一点，与A的垂直距离为，与B的垂直距离为。假定点的电位为0，那么由于A的存在，在点产生的电位为

(11-19)

同理，线电荷在点产生的电位为

(11-20)

我们知道，对于一线电荷来说，或0是不可以的，因为此时积分将发散而失去意义。但是，对于两平行的等值异号线电荷，其总电荷等于0.在带电导线可视为无限长的情况下，仍可把距线电荷无限远处的电位假定为0，由（11-19）、（11-20）式可得点电位为

(11-21)

当点移至无限远处时，上式第二项变为0。因此，如果规定与线电荷相距为无限远处各点电位为0，则所有离A合B为有限距离和处电位为有限值，即

(11-22)

对于等势面，因为都是常量，所以有

常数（11-23）

3.电场描绘方法。

在用模拟描绘静电场的实际过程中，由于电场强度之歌物理量较难测量，测定电位（标量）不测定场强（矢量）容易实现，所以我们先测定等电位线，染个根据等电位线与电力线的正交关系，就可以描绘出电力线分布图。

三、实验装置

本实验用ZD-IV型静电场描绘实验仪来测量电流场中各点的电位。采用独特的双层式水槽结构，利用自来水即可进行实验。描绘仪由可调电源、高阻抗输入数字电压表、电极板、探针等组成，如图11-2所示。下面对各部分进行介绍。

（1）电极板：电极板是将不同形状的金属电极固定在有机玻璃板上制成的。电极板的一侧装有2个电压输入插座，可分别与电源的两极相连。

（2）探针：探针采用同心探针结构。

（3）描绘仪电源：描绘仪电源可提供连续可调的稳定电压并由数字表头显示其电压值。实验时将电源电压输出连接到电极板的电压输入端，探针连接到测试表头输入端。当电极加电压后，将探针在水槽内移动，测试电压表就会显示对应坐标点的电位值。测等电位线时，先设定一个电位值(如1V、2V…)，右手握住探针在水槽内平稳移动，用上面的探针将相同电位的点用复写纸记录，连接相应的等电位点就形成等位线。取不同的电位设定值，按以上操作步骤，则可得到不同电位值的等位线。根据等位线与电力线正交的原理，即可由等位线得到相应电力线的分布图。

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图11-2 AD-IV型静电场描绘装置

三、实验内容与步骤

1、描绘两个带电系统静电场的等位线和电力线。

（1）取两个点电荷的电极板，接入电源。

（2）取两极间的电位差为9V，分别记录1V、3V、5V、7V、9V的等位线各点的坐标。每条等位线至少取10个等电位点。

（3）将电位相等的点连成光滑的曲线即成为一条等位线，共描绘5条等位线。

（4）根据电力线与等位线正交的关系画出相应的电力线分布图。

（5）将电极板改为点电荷与条形电极和条形与条形电极。重复步骤（2）、（3）、（4）。

2、描绘同轴带电圆形面电极间的等位线和电力线。

（1）取同轴带电圆形面电极板，接入电源。

（2）取电位差V,记录V=2V、4V、6V、8V的等电位线各点的坐标。每条等电位线至少取10个等电位点。

（3）分别描绘各等电位线和电力线。

（4）用（11-17）式理论公式计算各条等电位线的半径，与记录坐标相比较。自拟表格，并求相对误差。

习题

1. 用稳恒电流场模拟静电的理论依据是什么？

2. 电力线与等位线有何关系？电力线起于何处？止于何处？

3. 电压表内阻对测量的结果有何影响？

4. 本实验可否采用交流电流？

5. 等位线的疏密说明了什么？

6. 静电场的空间分布是三维的，为什么可以用二维平面的稳恒电流场来模拟？

7. 实验时电源电压取不同值，等位线的形状是否发生变化？电场强度和电位是否发生变化？

8. 本实验仪为什么采用高阻抗输入数字电压表，实验时如改万用表或电压表来描绘电位分布好不好，为什么？

9. 稳恒电流中导电中导电介质的电导率发生了变化，电流场中的电位和电场强度分布是否会发生变化？

第二篇：用电流场模拟静电场

用电流场模拟静电场

1．实验目的

（1）掌握用模拟法测绘静电场的物理方法；

（2）通过对不同形状电极形成的电流场的研究，加深对静电场的感性认识。

2．实验仪器

静电场描绘装置（电极架、同步探针），待测电极（仿同轴电缆电极和仿长直平行带电线电极）、变压器、滑线式变阻器、晶体管交流毫伏表

3．实验原理

稳恒电流场和静电场本来是两种性质不同的场，但由于这两种场都可用电势和电场来描述，且遵从的规律在形式上也相似，在实验中，只要满足一定的条件，就可用稳恒电流场来模拟静电场。

以模拟长同轴电缆内部的电场分布为例，如图所示。设“无限长”同轴电缆的内外金属圆柱面的半径分别是R₁、R₂,电荷线密度分别为+λ、-λ，柱面间的电容率为ε，取外柱面为零电势，由电磁学知识可知在两柱面间某一点r处（R₁≤r≤R₂）的电势为

(7-1)

若内外柱面间的电势差为V₀，则

(7-2)

则(7-1)式可写成

(7-3)

若在图的两金属柱面间加一恒定电压V₀，并同样设外柱面的电势为零，但将其中的电介质替换成导电媒质（本实验中为杂质水），则导电媒质中将维系一种电场，在这种电场的作用下，导电媒质中的载流子作定向运动形成稳恒电流场。设导电媒质的电阻率为ρ，圆柱导体的长度为h，在r处取一薄圆柱壳，径向厚度为dr，则该薄圆柱壳的径向电阻dR为

(7-4)

在半径r和R₂之间导体的径向电阻R(r)为

(7-5)

若R₁和R₂之间导体的总径向电阻为R₀，则

(7-6)

将(7-6)式代入(7-5)式，(7-5)式可化为

(7-7)

r处的电势即为r处与外金属柱面的电势差，并注意即

(7-8)

比较(7-3)式和(7-8)式，可知，静电场中的电势分布与稳恒电流场中的电势分布非常相似，若在实验中能精确地测出电流场中的电势分布，则该相同形状电极间的静电场的电势分布也随即可知。由式(7-8)可知，两柱面间的电势分布只与r有关，即其内部等位线形状是以电极轴心为中心的一组同心圆。在具体实验时，可通过等势点的测绘描出等势线并量出其半径r，代入式(7-8)就可以计算出该等势线处电势的理论值V_理，将其与实验值V进行比较，并计算出百分差。

测绘装置及电路

在本实验中，我们用静电场描迹仪来测量电流场中各点电位，采用杂质水作为导电媒质。但由于在直流电压下，杂质水容易极化，从而会改变径向电阻的分布，特别是会在电极附近产生较大的压降，引起测量误差增大。故在实验中我们将加在两电极之间的直流电压改用低频交流电压（用低压市电替代）。这样做还鉴于另一原因，即低频交流电场与直流电场具有相似性，只不过此时的U₀为交流电压的有效值。测绘电路如图7-3所示。

静电场描绘仪（包括水槽电极、同步探针等）如图7-4所示，采用双层式结构，上层放记录纸，下层装水槽电极。电极已直接固定在水槽中，并将电极引线接出至外接线柱上。民用自来水其实就是杂质水，可作为导电媒质。实验时，将自来水倒入水槽里（淹没电极即可），调节滑线变阻器，在电极之间加上10V交流电压（从晶体管交流毫伏表读出）就可进行实验。在水槽电极和记录纸上方各有一探针，通过弹簧片探针臂把两探针固定在同一手柄座上，两探针始终保持在同一铅垂线上。这样，移动手柄座时，可保证两探针的运动轨迹完全相同。当水槽内的探针找到待测点后，按下记录纸上方的探针，扎孔为记，将同电位的点连成光滑的曲线即为与该电位对应的等位线。