成绩评定表

课程设计任务书

           

 

 摘  要

 

 

本文研究的是傅里叶变换的对称性和时移特性，傅里叶变换的性质有：对称性、线性（叠加性）、奇偶虚实性、尺度变换特性、时移特性、频移特性、微分特性、积分特性、卷积特性（时域和频域）；从信号与系统的角度出发,给出了激励信号的具体模型；应用Matlab软件进行仿真，将研究的信号转化成具体的函数形式，在Matlab得到最终变换结果。使用傅里叶变换的方法、卷积的求解方法以及函数的微分等方法研究题目。

关键词: 傅里叶变换;对称性;时移特性;Matlab

              目  录

1、Matlab介绍..................................................................................................... 1

2.利用Matlab实现信号的频域分析—傅里叶变换的对称性与时移特性设计     5

2.1.傅里叶变换的定义及其相关性质.............................................................. 5

2.2.傅里叶变换的对称性验证编程设计及实现........................................... 7

2.3.傅里叶变换的时移特性验证编程设计及实现........................................ 8

3.总结...................................................................................................................... 13

4.参考文献............................................................................................................ 13

1 、 Matlab介绍

MATLAB作为一种功能强大的工程软件，其重要功能包括数值处理、程序设计、可视化显示、图形用户界面和与外部软件的融合应用等方面。

MATLAB软件由美国Math Works公司于1984年推出，经过不断的发展和完善，如今己成为覆盖多个学科的国际公认的最优秀的数值计算仿真软件。MATLAB具备强大的数值计算能力，许多复杂的计算问题只需短短几行代码就可在MATLAB中实现。作为一个跨平台的软件，MATLAB已推出Unix、Windows、Linux和Mac等十多种操作系统下的版本，大大方便了在不同操作系统平台下的研究工作。

MATLAB软件具有很强的开放性和适应性。在保持内核不变的情况下，MATLAB可以针对不同的应用学科推出相应的工具箱(toolbox)，目前己经推出了图象处理工具箱、信号处理工具箱、小波工具箱、神经网络工具箱以及通信工具箱等多个学科的专用工具箱，极大地方便了不同学科的研究工作。国内已有越来越多的科研和技术人员认识到    MATLAB的强大作用，并在不同的领域内使用MATLAB来快速实现科研构想和提高工作效率。

MATLAB提供了20类图像处理函数,涵盖了图像处理的包括近期研究成果在内的几乎所有的技术方法,是学习和研究图像处理的人员难得的宝贵资料和加工工具箱。这些函数按其功能可分为:图像显示;图像文件I/O;图像算术运算;几何变换;图像登记;像素值与统计;图像分析;图像增强;线性滤波;线性二元滤波设计;图像去模糊;图像变换;邻域与块处理;灰度与二值图像的形态学运算;结构元素创建与处理;基于边缘的处理;色彩映射表操作;色彩空间变换;图像类型与类型转换。

2、利用Matlab实现信号的频域分析—傅里叶变换的对称性时移特性的设计

2.1  傅里叶变换的定义及其相关性质

<1>   用周期信号的傅里叶级数通过极限的方法导出的非周期信号频谱称为傅里叶变换。

   傅里叶正变换为:

  

   傅里叶逆变换为:

                  

式中是的频谱函数，它一般是复函数，可以写作

。其中是的模，它表示信号中各频率分量的相对大小。是的相位函数，它表示信号中各频率分量之间的相位关系。

<2>  傅立叶变换的频移性质

若，则

结论：将信号乘以因子，对应于将频谱函数沿轴右移；将信号乘以因子，对应于将频谱函数沿轴右移。

<3> 傅立叶变换的尺度变换性质

若，则对于任意实常数，则有

结论：信号时域波形的压缩，对应其频谱图形的扩展；而时域波形的扩展对应其频谱图形的压缩，且两域内展缩的倍数一致。

<4> 傅立叶变换的对称特性

若，则

<5> 傅立叶变换的时域卷积特性

若  

则

上式表明：如果函数的频谱为，函数的频谱为，且，那么

 

2.2  傅里叶变换的对称性验证编程设计及实现

傅里叶变换的对称性：

若，则

上式表明：如果函数的频谱为，那么时间函数的频谱函数是。

举例证明：（1）利用matlab画出信号及其幅度谱；

      （2）利用matlab画出信号及其幅度谱；

           并由实验结果验证傅立叶变换的对称特性。

分析：，设，可知；由傅立叶变换的对称特性知:

     ，

由门函数是偶函数以及傅立叶逆变换的线性性质，得：

说明：在matlab中sinc(t)= ，

所以。

对称性验证编码如下：

N=3001;t=linspace(-15,15,N);

f=pi*[heaviside(t+1)-heaviside(t-1)];

dt=30/(N-1); M=500; 

w=linspace(-5*pi,5*pi,M);

F=f*exp(-j*t'*w)*dt;

subplot(2,2,1),plot(t,f);

axis([-2,2,-1,4]);

xlabel('t');ylabel('f(t)');

subplot(2,2,2), plot(w,real(F)); 

axis([-20,20,-3,7]);

xlabel('w');ylabel('F(w)=F[f(t)]'); 

f1=sinc(t/pi); 

F1=f1*exp(-j*t'*w)*dt;

subplot(2,2,3),plot(t,f1);

xlabel('t');ylabel('f1(t)=F(t)/2*pi'); subplot(2,2,4),plot(w,real(F1));

axis([-2,2,-1,4]);

xlabel('w');

ylabel('F1(w)=F[f1(t)]=f(w)');

程序运行结果如下：

                               图  1

2.3   傅里叶变换的时移特性验证编程设计及实现

傅立叶变换的时移性质：

若，则

结论: 延时（或超前）后，其对应的幅度谱保持不变，但相位谱中一切频率分量的相位均滞后（或超前）。

举例证明： （1）用matlab画及频谱（幅度谱及相位谱)

程序代码如下：

N=256;t=linspace(-2,2,N);

f=1/2*exp(-2*t).*heaviside(t);

dt=4/(N-1);  M=401;

w=linspace(-2*pi,2*pi,M);      

F=f*exp(-j*t'*w)*dt;      

F1=abs(F);P1=angle(F);    

subplot(3,1,1);

plot(t,f);grid on

xlabel('t');ylabel('f(t)');

title('f(t)')

subplot(3,1,2);

plot(w,F1);grid on

xlabel('w');ylabel('abs(F(w))');

subplot(3,1,3);

plot(w,P1);grid on

xlabel('w');ylabel('angle(F(w))')

（2） 用matlab画及频谱（幅度谱及相位谱）。

程序代码如下：

N=256;

t=linspace(-2,2,N);

f=1/2*exp(-2*t).*heaviside(t);          f1=1/2*exp(-2*(t-0.5)).*heaviside(t-0.5);  f(t-0.3)

dt=4/(N-1);  M=401;

w=linspace(-2*pi,2*pi,M);

F=f*exp(-j*t'*w)*dt;             

F1=f1*exp(-j*t'*w)*dt;         

subplot(3,1,1);

plot(t,f,t,f1,'r'),grid on

xlabel('t');ylabel('f'),

title('f(t),f(t-0.5)')

subplot(3,1,2);

plot(w,abs(F),w,abs(F1),'r'),grid on

xlabel('w');

ylabel(' f(t)和f(t-0.5)幅度谱');

subplot(3,1,3);

plot(w,angle(F),w,angle(F1),'r'),grid on

xlabel('w');

ylabel(' f(t)和f(t-0.5)相位谱')

程序运行结果如下所示：

                   及其频谱 图  2

                               图  3

3.  总结             

通过本次综合实践让我们在学习“信号与系统”课程的同时，掌握MATLAB的应用，对MATLAB 语言在中的推广应用起到促进作用。从而将便多的时间留于对信号与系统的基本分析方法和应用的理解与思考学会应用 MATLAB的数值计算功能，将学生从繁琐的数学运算中解脱出来，从而将便多的时间留于对信号与系统的基本分析方法和应用的理解与思考。让我们将课程中的重点、难点及部分课后练习用 MATLAB 进行形象、直观的可视化计算机模拟与仿真实现，从而加深对信号与系统基本原理、方法及应用的理解，以培养学生主动获取知识和独立解决问题的能力，为学习后继专业课打下坚实的基础。

 

 

4.  参考文献

  [1]郑君里.应启行.杨为理.信号与系统引论[M].北京:高等教育出版社,2009.

  [2]罗永生.信号与线性系统分析[M].长沙:国防科技大学出版社,1996.

  [3]吴大正.信号与系统[M].北京:高等教育出版社,2000.

 

第二篇：《信号与系统仿真》课程设计报告书

信号与系统仿真 课程设计报告书 题目名称：信号的取样与恢复 姓 名：学 班 级

《信号与系统仿真》课程设计报告书

一、设计任务

设计图形窗口，实现信号的采样与信号重建，并验证不同采样频率使得采样效果

二、方案设计

f(t)=sin(?0t) +sin(3?0t)/3

方案一：使用普通图形界面显示信号的时域及频域波形；低通滤波器：可以使用理想数字低通滤波器；能够改变取样频率展示欠抽样及正常抽样时的抽取效果。

方案二：使用Simulink界面实现信号的处理，使用示波器观测信号的时域；使用频谱仪显示信号的频谱图。模拟低通滤波器：可选用巴特沃斯低通滤波器。

三、算法设计

连续信号是指自变量的取值范围是连续的，且对于一切自变量的取值，除了有若干个不连续点以外，信号都有确定的值与之对应。严格来说，MATLAB并不能处理连续信号，而是用等时间间隔点的样值来近似表示连续信号。当取样时间间隔足够小时，这些离散的样值就能较好地近似连续信号。

在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值来表示，并且可以用这些样本值把信号完全恢复过来。这样，抽样定理为连续时间信号与离散时间信号的相互转换提供了理论依据。通过观察采样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，在时域是否也能恢复原信号时，利用频域时域的对称关系，得到了信号。

(1)采样定理

模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。 时域采样定理从采样信号恢复原信号必需满足两个条件：

a、必须是带限信号，其频谱函数在

＞

各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。）

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《信号与系统仿真》课程设计报告书

b、 取样频率不能过低，必须

＞2 （或

＞2）。（对取样频率的要求，即取样频率要足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。）

如图1所示，给出了信号采样原理图

图1 信号采样原理图

由图1可见，fs(t)?f(t)??Ts(t)，其中，冲激采样信号?(t)Ts的表达式为： ?T(t)?sn?????(t?nT)s?

?2??s??s??(??n?s)Ts其傅立叶变换为n???，其中。设F(j?)，Fs(j?)分别为

f(t)，fs(t)的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得

?11Fs(j?)?F(j?)*?s??(??n?s)?2?Tsn??? n????F[j(??n?)]s?

若设f(t)是带限信号，带宽为?m， f(t)经过采样后的频谱Fs(j?)就是将F(j?)在频率轴上搬移至0,??s,??2s,?,??ns,?处（幅度为原频谱的s倍）。因此，当?s?2?m时，频谱不发生混叠；而当?s?2?m时，频谱发生混叠。

一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列?T(t)的幅值调制器，即理

*e想采样器的输出信号(t)，是连续输入信号e(t)调制在载波?T(t)上的结果，如图2所示。

图2 信号的采样

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《信号与系统仿真》课程设计报告书

用数学表达式描述上述调制过程，则有 理想单位脉冲序列?T(t)可以表示为

e(t)

e*(t)?e(t)?T(t)

?n?0

?T(t)???(t?nT)

其中?(t?nT)是出现在时刻t?nT，强度为1的单位脉冲。由于

的数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设

e(t)?0

*

?t?0

e(t)??e(n?T)?(t

*

n?0?

所以

e(t)又可表示为

nT)

（2） 信号重构

设信号f(t)被采样后形成的采样信号为fs(t)，信号的重构是指由fs(t)经过内插处理后，恢复出原来信号f(t)的过程,又称为信号恢复。

若设f(t)是带限信号，带宽为?m，经采样后的频谱为Fs(j?)。设采样频率?s?2?m，则由式（9）知Fs(j?)是以?s为周期的谱线。现选取一个频率特性

??Ts

H(j?)??

??0

??????

c

c

（其中截止频率?满足

c

????

m

c

?

s

2

）的理想低通滤波器

与Fs(j?)相乘，得到的频谱即为原信号的频谱F(j?)。 四、MATLAB实现

clc;

close all; clear;

%设计连续信号，绘制连续时间信号波形 w0=1*pi;

t=(1:100)/100; %横轴区间fs=100 x=sin(w0*t)+sin(3*w0*t)/3; figure(1); subplot(2,2,1) plot(x); xlabel('t'); ylabel('x(t)');

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《信号与系统仿真》课程设计报告书

title('连续时间信号波形');

grid;

%设计连续信号的频谱，绘制频谱图

N=256;

n=0:N-1; %长度

Xk=abs(fft(x,N));

subplot(2,2,2)

plot(n,Xk);

axis([0 N min(Xk) max(Xk)]); %定义坐标轴的显示范围 title('频谱图')

xlabel('k');

ylabel('|Xk|');

%设计采样信号，绘制采样信号波形图

t=(1:100)/100;

w0=1*pi;

T=4*t;

x=sin(w0*T)+sin(3*w0*T)/3;

subplot(2,2,3)

stem(x) ; %绘制x（n）图像

xlabel('n');

ylabel('x(n)');

title('采样信号波形图');

grid;

%设计采样信号的频谱，绘制采样频谱图

X=fft(x,256);w=(0:255)/256*100;

subplot(2,2,4);

plot(w,abs([X(1:256)]));

xlabel('Hz');

ylabel('频率响应幅度');

title('采样频谱波形图');

grid;

%设计低通滤波器（巴特沃斯低通滤波器），绘制低通滤波器波形图

[B,A]=butter(8,350/500);

[H,w]=freqz(B,A,256,500); figure(2);

subplot(1,1,1)

plot(w*500/(2*pi),abs(H));

xlabel('Hz');ylabel('频率响应幅度');

title('低通滤波器波形图');

grid;

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《信号与系统仿真》课程设计报告书

%设计欠抽样信号，绘制欠抽样信号图形

figure(3)

T=3*t; %T<2/3t时为欠抽样 x=sin(w0*T)+sin(3*w0*T)/3;

%subplot(1,1,1)

stem(x);axis([0,100,-1,1]); %x(n)的绘制 xlabel('n');ylabel('f(n)');

title('欠抽样信号波形图'); %图形命名

grid;

%恢复原信号，绘制恢复后的频谱波形图

y=filter(B,A,x);

figure(4);

subplot(2,1,1);plot(y);

xlabel('t');ylabel('x(t)');

title('连续信号波形');

grid;

Y=fft(y,256);w=(0:255)/256*256;

subplot(2,1,2);

plot(w,abs([Y(1:256)]));

xlabel('Hz');ylabel('频率响应幅度');

title('恢复后的频谱波形图');

grid;

五、结果分析

程序的运行结果；

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六、结论与体会

经过此次MATLAB课程设计我学到了很多知识和学习方法。仅凭我在信号与系统实验课上所学的那点知识显然是不够的。所以为了做好这次的课程设计，我查阅了很多资料，并上网搜索了许多与此有关的知识，这个过程中我也学会了好多，通过浏览MATLAB论坛，看到了好多有关学习MATLAB的方法。

在这次设计中，同样也学到了对信号的采样定理的应用，以及信号的重构，并通过观察MATLAB所生成的频谱图，进一步了解了有关信号的采样与重构，对信号的采样程度进行比较其误差，了解不同采样程度的重构信号和原信号所产生的差异。

同时，感谢老师的热心帮助下，使我的能够顺利的完成课程设计。同时，感谢各位同学的帮助，使我更好的完成课程设计。

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