云  南  大  学

数学分析习作课（2）读书报告

题    目：            隐函数的偏导数                             

学    院：            数学与统计学院                              

专    业：                 数学与应用数学                 

姓名、学号：       章豪        20121910030                    

任课教师：            黄辉                                

时    间：             20##-06-05-星期三                                     

摘  要：上学期接触了隐函数的求导方法，这学期接触了偏导数，虽然对隐函数的存在定理、函数相关也有介绍，但是没有对它的偏导数的求法没有做具体相关介绍，现在就对隐函数的偏导数的求法进行一些讨论和总结。

关键词：隐函数、偏导数（一阶，二阶）、微分。

一、隐函数的一阶偏导数的求法

㈠由一个方程确定的一个隐函数，其一阶偏导数的求法。

    设由方程确定一个隐函数，则

              

    设由方程确定一个二元隐函数，求这函数的偏导数有如下几种方法。

   法一  直接求导法

把，看作独立变量，是、的函数。在方程两边分别，求导，得到含、的两个方程，然后解出所求的导数。

例1  函数是由方程确定的隐函数，其中是可微函数，，，是常数，且，求，并指出曲面是什么曲面？

解   为求方程所确定的二元隐函数的两个偏导数、，在该方程两边分别对、求偏导，得到

             ，

             ，

解之分别得到，。

则          。

即  ，亦即

           ，

其中为曲面方程所表示的空间曲面上的任一点处的法向量。上式表明，该法向量与一个常向量垂直，这说明曲面上任一点的切平面和平行，故曲面是一个其母线平行于的柱面。

  

   法二  结合使用多元复合函数求导法则与函数四则运算求导法则求之。

例2  设 ①，若是由方程 ②所确定的隐函数，求。

解   在①式两边对求导，注意是，的函数，有    ③

再在②式两边对求导，得到

        ，即    ④

将④式代入③式即得

         ，

故              。

法三   公式法

  设由方程确定隐函数，且，则

         ，   ①

注意：利用上两式求隐函数的偏导数时，要注意三点。一是先要将所给等式化成方程

的形式；二是求时，视，为常数；求时，视,为常数；求时，视，为常数；三是①式中左端的负号不要漏掉。

所确定的隐函数在方程中出现二次时，可用①式求其偏导数。

例3   确定函数，求，。

解    先将原方程改写成的形式：

           .

在上面的方程中隐函数出现二次，可用①式求其偏导数，将

           （视，为常量）；

           （视，为常量）=；

           （视，为常量），

代入①式得到

           ；。

例4   设，，都是由所确定的具有连续偏导数的函数，证明

                  

证     因是由所确定的隐函数，有

           ，

则，同理可得

           ，

故有      

注意：由上例看出偏导数记号是一个整体记号，不能理解为分子和分母的商，这一点也是与一元函数的导数（可看成分子与分母上的微分的商）不相同的地方！

   法四  利用全微分形式不变性求之。

在两边求全微分得，从而得到

           ,

又，于是有，

这就是说，由求出函数的全微分的表示式，其中，前面的系数即为所求的偏导数，。

总结：对于那些变量之间关系比较复杂的函数，常利用全微分法求出其所有偏导数。这是因为利用全微分法，在逐步作微分运算的过程中，不论变量之间的关系如何错综复杂，可以不必对它们进行辨认和区分，而一律作为自变量处理，从而给求解函数的偏导数带来很大方便。又由于微分运算所得结果对自变量的微元，，...来说都是线性的，稍作整理即可同时求出所有一阶偏导数，而且也不易出错。因此需同时求隐函数的各个偏导数或证明隐函数的各个偏导数都出现的等式常用全微分法求之或证之。

例5   已知，试证.

证明1   题意知由确定是，的函数。又在待证的等式中需同时求出的两个偏导数，可用全微分形式不变性求之，然后证其满足待证的关系。

            ，，

            ，

            ，

故          ，.

因而        .

证明2   注意到隐函数在所给等式两端同时出现，也可用， 证之。为此令，，则

            ，，

            ，

故              ，.

因而            .

㈡由方程组确定的隐函数，其一阶偏导数的求法

   求法一  解方程组法

求解这类隐函数的偏导数，首先要根据题设条件，搞清楚有几个隐函数，是几元的隐函数，以及哪些变量是因变量、自变量。把这些关系搞清楚后，在有关方程两边分别对自变量求导，通过解联立方程组求出所求的偏导数。

例6  求出方程组所确定的隐函数的偏导数，，，.

解  由所求偏导数表明，为因变量。这里两个方程一共包含四个变量，只能确定两个隐函数，，故

           ，.

在原方程组的两个方程两边分别对求偏导数，得到

          

用克莱姆法则解上述方程组得到

          

         

   同法可求得

               ,

注意： 一般地，由个元方程构成的方程组（隐函数组）

        

中所含方程个数就是所含隐函数的个数，方程组中所出现的变量的个数减去方程的个数就是自变量的个数。因而在一定条件下此方程组可确定个元的单值函数：

              

将隐函数组各方程分别对自变量求偏导数，再解所得的线性方程（组），即可求得隐函数的偏导数。

   求法二  全微分法

由方程组确定的隐函数，各变量之间的关系比较复杂，难以区分变量的性质，也可以利用全微分形式不变性先求全微分，再按题意求出所有的偏导数。其运算比较简便，且一次同时可求得所有一阶偏导数。

例7  求由方程组所确定的隐函数导数，.

解   对所给的方程组求全微分得到

          

由题意知、是因变量，为自变量。把因变量的微分放在等式左端，自变量的微分放在等式右端，上式变式为

          

解得          

即            

同法可求得     ，即

   

   求法三   显化法

如能由给定的方程组解出函数的显式，则可对此显式直接求出所求的偏导数。

例8   设 ①， ②， ③，求，.

解    用显化法求之，为此先求用、表示的式子

由①②得到，取对数有

②/①得到     ，即

因而              

上式两边对求导得到

              

              

二、隐函数的二阶偏导数的求法

    一般用两种方法求之。一是直接对原方程接连两次求偏导；二是先求出一阶偏导数的表达式，再对其求一次偏导。但在求指定点处的二阶偏导数的值时，常采用前一种方法，即对原方程两次求导，不需解出一阶偏导数的表达式，只求出其在处的值，代入含二阶导数的式子，即可求出二阶偏导数在处的值。这样计算较简便。

例9  求下列方程所确定的隐函数的指定阶导数：

⑴，；⑵，.

解   ⑴将视为，的隐函数，在所给方程两边对求偏导数得到

                ①，解之得  ②

在上述方程①的两边再对求导，得到

                ③

将②式代入③式，并解出得到

             

⑵在所给方程两端对求导得到

              ，解之得到. ④

注意到是的函数，在④式两边对求偏导数得到

                ⑤

为求，在所给方程两端对求导得到

              ，解之得到

将其代入⑤式得到

              .

例10   设是由方程确定的隐函数，求

解   在原方程两边对，求偏导，分别得到

              ，①

                ②

在①式两边对求偏导，得到

             

将，代入原方程得到。将，，代入①式、②式分别有

              ，.

将一阶偏导数之值及代入③式得到.

     

     

参考文献

[1] 数学分析内容、方法与技巧（下），孙清华 孙昊等编著，华中科技大学出版社，2005.

[2]数学分析题解精粹第二版，钱吉林等编著 忠邦考试教育研究所 策划，湖北长江出版集团，2009.

[3]高等数学解题方法技巧归纳（下）， 毛纲源，华中科技大学出版社，2002.