云 南 大 学
数学分析习作课(1)读书报告
题 目: Stolz定理及其推论和应用、推广
学 院: 数学与统计学院
专 业: 数学与应用数学
姓名、学号:
任课教师: 杨汉春
时 间:
摘 要:对于某些类型的极限计算问题,应用大学微分教科书中介绍的方法计算,将显得比较繁琐。通过对Stolz定理的讨论。将给出三个直接的推论并引述其推广的定理,由此得到几种较为简单的计算方法,从而解决一些较为复杂题型的极限计算问题。
关键词:极限;Stolz定理;推论;应用;推广
一、定理介绍
Stolz公式:
设数列{}单调递增趋于+,(可以为无穷)?,
则 ? 。
证明:
(I)先设A<+由?式,>0,存在N>0,当n>N时有<<,
特别取n=N+1,N+2,......
()()<<()(),
()()<<()(),
... ... ... ...
()()<<﹙)(),
将这些式子统统相加得
()()< <()(),
∴ << ,
此即|-|<. ?
而0≦||=||
≤||||·||
由于以及?式,
∴||,
.
∴.
﹙II﹚再当时,由?有
④ ∴. ⑤
下证递增趋于由④知,>0,当>时,有
>. ⑥
∵>0∴>0,即单调递增.
由⑥式有
>
>,
从而有 ··· ··· ··· ···
>,
将这些式子统统加起来有
>.
∴> ⑦
显然当时,.
由⑤式及上面(I)的结论有
∴.
(III)当时,只要令,则由上面(II)可证
证毕
二、定理推论:
推论1:(算术平均收敛公式)若.
证明:
㈠下面介绍不使用Stolz定理的普通证法:
由>><,则有 ≤
<
<<
取M=max(),则,
又为定值,则,
于是对上述>0,>时,有
<
取>时,有<
即有
㈡现用Stolz公式证明
证毕
小结:①明显使用Stolz公式使得该推论的证明简洁很多,所以在做题过程中如果能看出其中隐含的Stolz公式的形式,并能构造出类似的形式就能大大缩短解题过程和时间。②这推论逆过来是不成立的,即若存在。例:
但。
推论2:(几何平均收敛公式)设>0(),且,则.
证明:
㈠一般证法:
当时,
由夹逼定理
当 得
<
∴.
㈡利用推论一证明:
∵,∴.
再由推论一知
证毕
推论3:(比值)若>0,,且.
证明:
令.
由几何平均收敛公式知
此即.
三、一般应用
例1、
设
证明:,并求.
证:
∵<,∴单调递减.
因为,所以0﹤﹤1,
即有下界,从而(存在).由
,
两边取极限有
,∴,
此即.
再求,考虑
①
∵
②
∵
③
由②③两式
∴. ④
将④代入①得
∴.
例2、
用证明:
证:
令>0.
∴,
,
>,则当>时,有
< ∴.
注 :如果本体不限方法,还可有另外的证法
证:
令∴再由几何平均收敛公式
显然方法2更加简。
例3、
已知数列满足条件,证明:.
证:
用施笃兹公式
=.
=
∴
小结:乍看这题无从下手,但是如若根据的形式想到stolz公式的话,对条件进行简单的变形后就迎刃而解.可能这种变形很难考虑到,并将其实现,所以这就需要我们平时多做这方面的习题掌握一些变形的规律.
例4、
证明:
证明:
例5、
计算
解:
因,这里
由推论3得
总结:以上是Stolz定理应用于计算数列极限,因数列可以看为整标函数,
即,故将定理推广到实数集研究,事实上也是可以的。
现用定理2叙述之.
定理2 设⑴在区间内有定义,﹥,而且在上有界⑵函数在单调增加,并且;⑶(A为有限数或),则
同理,Stolz定理还可以推广到区间、单调减少,区间为、单调减少,区间为、单调减少,区间为、单调增加等形式。
现用定理2来证明一题。
例6:
证明Cauchy定理:若函数定义于区间内,﹥,,在这里假定右端的极限存在(有限数或)
证:
令显然在
由于
故依定理2,
即
小结:此方法较之使用“”证明,要显得简易得多。
参考文献
[1] 数学分析内容、方法与技巧(上),孙清华 孙昊等编著,华中科技大学出版社,2005.
[2]数学分析题解精粹第二版,钱吉林等编著 忠邦考试教育研究所 策划,湖北长江出版集团,2009.
[3]数学分析习题集题解, 费定晖,山东科技出版社,1980.
数学文化读书报告
11041531 张鹏鹏 电子信息工程
这学期选了李承家和王国卯老师的数学文化课,让我对数学有了新的认识。以前我认为数学是枯燥无味的,因为每天面对的是做不完的作业,而其中数学作业尤为繁重,数学是一座压在我头上12年的山!然而通过这学期的学习我才发现数学并不枯燥,数学其实很有趣,数学是一门美丽的学科。
我认为数学的美包括两个方面:(一)数学知识体系的发展美。如数系的发展。对数的发明。笛卡尔坐标系的引入。微积分的发展等。(二)众多天才数学家留下的许多有趣的故事,体现了人类的智慧,人们为其折服和心悦。
数学知识体系的发展是一个漫长的过程,不是一蹴而就的。经过了无数人的努力才有了我们今天所看到的宏伟的数学体系。就数域而言,经过数次扩充,形成了有理数,无理数,复数,四元数,超复数域。
没有什么比数学家的轶事更能激起我的兴趣了。听听他们的趣事真的可以说得上是一件享受了。他们的趣事为数学的发展添上了有趣多彩的一笔,没有他们,数学的美就会大打折扣。
在16周的学习过程中,最让我难以忘记的还是李承家老师所讲的有关分形几何学的那节课。尽管没完全听懂,但是总算是大开眼界了!李承家老师所给我们展示的分形的图片,可谓是多彩绚丽,我被这些美丽图片深深地迷住了。我知道了分形是以非整数维形式充填空间的形态特征。分形可以说是来自于一种思维上的理论存在。1973年,曼德勃罗在法兰西学院讲课时,首次提出了分维和分形几何的设想。分形一词,是曼德勃罗创造出来的,其原意具有不规则、支离破碎等意义,分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的,因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何从整体上看,分形几何图形是处处不规则的。例如,海岸线和山川形状,从远距离观察,其形状是极不规则的。不同尺度上,图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状,从近距离观察,其局部形状又和整体形态相似,它们从整体到局部,都是自相似的。当然,也有一些分形几何图形,它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随机现象的,还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。
我还对费马大定理有了更加深入的了解。费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时,曾在第11卷第8命题旁写道:“将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。关于此,我确信已发现了一种美妙的证法 ,可惜这里空白的地方太小,写不下。”毕竟费马没有写下证明,而他的其它猜想对数学贡献良多,由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容,推动了数论的发展。费马大定理真可谓是一只会下金蛋的鸡!费马大定理经过了数百年才为英国数学家维尔斯所证明。让我敬佩的是无数数学家为费马大定理的证明花费了毕生精力,他们在这条路上没有放弃过,尽管没有成功,但是我觉得他们都是最棒的!
欧拉,柯西,莱布尼兹,拉普拉斯,阿贝尔,伽罗瓦,希尔伯特……对于我来说不再仅仅是一个个名字,每当我在高数书上看到他们的名字时,我都会联想起他们的生活和他们在数学上的建树。
数学文化让数学有了自己独特的印记。这不同于文学,我觉得这是说不清道不明的,是不能用文字来描述的。正是由于这种独特的印记让数学富有了简洁美,和谐美,奇异、突变美,对称美,创新美,哲学美,应用美。接下来谈谈数学的美。
莫德尔也说过:“在数学里美的各个属性中,首先要推崇的大概是简单性了。”爱因期坦也说过:“美,本质上终究是简单性。”他还认为,只有借助数学,才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因期坦的这种美学理论,在数学界,也被多数人所认同。朴素,简单,是其外在形式。只有既朴实清秀,又底蕴深厚,才称得上至美。这或许是数学简洁美的最好佐证了。
数学中的对称美有:(一)数和式的对称美,象二项式定理,杨辉三角。(二)图形的对称美。如毕达哥拉斯学派认为,一切空间图形中,最美的是球形;一切平面图形中,最美的是圆形。圆是中心对称圆形――圆心是它的对称中心,圆也是轴对称图形――任何一条直径都是它的对称轴。(三)数学思想和方法的对称美。如分析法与综合法,直接法与反证法,逻辑思维与逆向思维等。
在高等数学中,对称的例子也是经常遇到。
而数学在不断的创新中得到发展的。数学中还有许多问题,如采用新的思路、新的方法。可使人耳目一新,从中得到美的赏受。例如立体几何中向量法的使用使传统的立体几何更充满生机。经典定理、题型的引伸、拓展。
哲学美:人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同,它们的轨道可能是椭圆、双曲线或抛物线,这几种曲线的定义如下:
到定点距离与它到定直线的距离之比是常数e的点的轨迹,
当e<1时,形成的是椭圆.
当e>1时,形成的是双曲线.
当e=1时,形成的是抛物线.
常数e由0.999变为1、变为1.001,相差很小,形成的却是形状、性质完全不同的曲线。而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线。
这也体现了哲学中的量变到质变。数学中也蕴含哲学这不是很美吗?
数学理论不管离现实多远,最后总能找到它的实际用途,体现其为人类服务的价值取向。数学不但是其它自然科学的一门工具性学科,同时它还广泛应用于现实生活。这便是数学的应用美了。
数学之美,还可以从更多的角度去审视,数学美的表现形式是多种多样的,从数学内容看,有概念之美、公式之美、体系之美等;从数学的方法及思维看,有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等;从狭义美学意义上看,有对称之美、和谐之美、奇异之美等。上面只是就某些侧面谈一些看法。而每一侧面的美都不是孤立的,她们是相辅相成、密不可分的。如和谐美中包含统一美,统一美中也包含和谐美。
数学的美,她需要人们用心、用智慧深层次地去挖掘,更好地体会她的美学价值和她丰富、深隧的内涵和思想,及其对人类思维的深刻影响。如果在学习过程中,我们能与数学家们一起探索、发现,从中获得成功的喜悦和美的享受,那么我们就会不断深入其中,欣赏和创造美。
16周的学习让我懂得了许多,我觉得自己的数学涵养有了很大的进步。尽管我所知道的也只不过是仅是冰山一角。但是与原来相比,我觉得自己的眼界得到了很大的开阔。这也不负选这门课的目的了。
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