云  南  大  学

                数学分析习作课（3）读书报告

  

题    目：    由函数列的一致收敛性与极限函数的分析性质推广到函数项级数的一致收敛性与和函数的分析性质

学    院：             数学与统计学院                                      

专    业：             信息与计算科学                                 

姓名、学号：         苏 春 余      20091050099                            

任课教师：                黄 辉                                

时    间：           二零一零年十二月五日                                    

摘  要

函数项级数定义在实数集X上的函数，对于一个给定的函数项级数我们可以得到一部分和序列，它是定义在X上的函数序列；反之，给定一个定义在X上的函数序列，总可以作出一个函数项级数，使得这一级数的部分和序列正好是，在此情况下，我们对函数项级数的一致收敛性与和函数的分析性质的研究转化为对函数序列的一致收敛性与和函数的分析性质研究。

关键词： 函数项级数     一致收敛性     和函数                  分析性质     函数序列

一、    基本概念与定义

1.1函数列的概念：如果每一个函数在区间I都有定义，则称      

是定义在区间I上的一个函数列，记为。对于每一个，若在处收敛，且收敛数列的极限记为，则是定义在I上的一个函数。我们称是函数列在I上的极限函数，或者说，函数列在I上收敛与。

1.2  一致收敛的概念：设与都是在区间I有定义的函数

如果，存在一个自然数,使得，恒有

                         .

 则称函数列在区间I一致收敛与。

      注意：上述定义中的自然数N只与有关，而与x在I中的位置无关.

二、    函数列的极限函数的分析性质

2.1  函数列一致收敛的柯西准则：函数列在区间I上一致收敛的充分必要条件是对任意的，总存在自然数N,使得，有

                            .

       证：（必要性）  设函数列在区间I上一致收敛于.即对 

                                    .              (1)

      于是，，由(1)式就有

                 

                             

                              .

       (充分性)   若

                            .                      (2)

       有数列收敛的柯西准则，在I的任意点都收敛.记极限函数为.现固定(2)中的n,让，于是，当n>N 时，对，有

                                 .

      由1.1的定义知，函数列在区间I一致收敛于 .

      注：与函数列一致收敛的柯西准则的等价叙述为：函数列在区间I上一致收敛于充分必要条件是

                           .

      这种方法在判定函数列是否一致收敛更常用，下面具一个例子说明。

例1.证明：函数列

1）   在区间[0,1]不一致收敛；

2）   在区间一致收敛；

证：有        

1） 

从而        

即函数列在区间[0，1]不一致收敛.

2)    

            ，

于是               ，

即函数列在区间一致收敛.

2.2 定理：若每个函数在区间[a,b]连续且函数列在区间[a,b]一致收敛与极限函数，则在[a,b]连续.

       证： 只须证在区间[a,b]的任意一点处是连续的.显然， 

                   (3)

         因为函数列在区间[a,b]一致收敛与极限函数，即            (4)

         特别地，                          (5)

               任意取定一个，因为，故对上述给定的

                               (6)

       根据(3)、(4)、(5)、(6)式，有

          ,

       故在[a,b]连续.

2.3 定理： 若每个函数在区间[a,b]可积，且函数列在区间[a,b]一致收敛与极限函数，则在[a,b]可积，并且

                   

      即       

      证：由函数列在区间[a,b]一致收敛与极限函数，可得

                         .

           又因为与可积，则当时有

              ，

          若将积分上限b换为x，则当时上式仍成立.这样便证明了上述定理.

2.4 定理：若函数列在区间[a,b]收敛函数，每个函数在区间[a,b]有连续导数，并且函数列在区间[a,b]一致收敛于，则

                      .

     即            .

      证：由于在区间[a,b]一致收敛于，根据2.2定理知，在区间[a,b] 连续，从而可积，又根据2.3定理，对于，有

          

两边求导即得         

即就是              .

三、    推广到函数项级数

3.1  定义：设是函数项级数的部分和函数列，若在区间I一致收敛于函数，则称函数项级数在I一致收敛于，或称函数项级数在I一致收敛.

3.2  函数项级数一致收敛的柯西准则：函数项级数在I一致收敛的充要条件是对于有                    ，

或者           .

注：证明方法类似于函数列一致收敛的柯西准则的证明方法，它的另一种表述为，函数项级数在I一致收敛的充要条件是对于         有

                  .

例2.证明：等比级数于

 .

证：显然，      

                               ，  .

由上述函数项级数一致收敛的柯西准则知于 .

3.3   定理(和的连续性) 若函数项级数在[a,b] 一致收敛于,且的每一项都连续，则也在[a,b] 上连续.

注：此定理指出，在一致收敛的条件下，无限项求和运算与求极限运算可以交换顺序，即

                 .

3.4   定理(逐项求积) 若函数项级数在[a,b] 一致收敛于,且的每一项都在[a,b]连续,则

                    .

3.5   定理(逐项求导) 若函数项级数在[a,b]收敛于, 的每一项都有连续的导数，且一致收敛于，则

=，亦即   

    

且一致收敛于  .

       上述三个定理的证明与2.2定理，2.3定理，2.4定理三个定理的证明类似。

例3.   设㏑ n=1,2,3…,证明：函数项级数在区间[0，1]一致收敛，并讨论其和函数在[0，1]的连续性、可积性与可微性.

证：对每一个，易见为[0，1]的递增函数.故有

㏑()，n=1,2,3…,

             又当㏑ ，所以

                 ㏑() ,  n=1,2,3…,

        而收敛，由M判别法知：在区间[0，1]一致收敛.

        由于每一个在[0，1]的连续，根据3.3定理和3.4定理可知，的和函数在在[0，1]的连续且可积.

         又因为，从而由M判别法知：在区间[0，1]一致收敛，根据定理3.5得在区间[0，1]可微 .

四、    小结

函数项级数的一致收敛性以及和函数的分析性质是我们学习函数项级数的重点也是学习过程的难点，对于如何更好的掌握这些知识，我想通过自己熟悉的知识来加以扩展，推广到不熟悉的知识，从而更好的理解与学习。与数项级数一样，给定一个函数项级数我们可以得到一部分和序列，通过部分和序列（即就是函数列）的一致收敛性与其极限函数的分析性质（指极限函数的连续性、可导性与可积性）来说明函数项级数的类似性质，无论是在证明还是理论的推导方面，函数列于函数项级数都有相同点，当在知道函数列的相关性质后，函数项级数的类似性质就可以用证明函数列性质的方法来证明，从而帮助我们学习这部分的内容。

参考文献

[1] 数学分析，上册/欧阳光中等编，—3版，—北京：高等教育出版社，2007.4（2009重印）.

[2] 数学分析，下册/欧阳光中等编，—3版，—北京：高等教育出版社，2007.4（2009重印）.

[3]数学分析，下册/朱培勇，黄家琳主编，—成都：四川大学出版社，2002.8

 

第二篇：数学分析习作(3)读书报告

云  南  大  学

数学分析习作课（3）读书报告

题    目：      有关函数傅里叶级数展开的计算方法                                 

                                             

学    院：          物理科学技术学院                                   

专    业：          数理基础科学                                    

姓名、学号：      刘发展  20111050063                                      

任课教师：            葛瑜老师                                    

时    间：         2012年12月25日星期二                                  

摘要

函数的傅里叶级数展开主要所求的是利用欧拉—傅里叶公式计算出的傅立叶系数，简化解题过程就是简化傅里叶系数的计算，计算的简化一般是利用函数的奇偶性。函数的傅里叶级数展开可用一般计算法、换元法、构造信函数法，亦可几种方法一块使用，利用何种方法要以题目而定。

函数的傅里叶级数展开

三角函数系

，其中每一函数都定义在区间上，任两个不同的函数的乘积在区间上的几分为零，而每一函数自身的平方的积分非零。

傅里叶系数（欧拉—傅立叶公式）

 

函数的傅里叶级数展开

例1、 在区间上展开函数和为傅里叶级数（一般计算法）

解  因为偶函数，从而，且

    

 

          因此    

因为奇函数，从而，且 

 

 

因此   

例2、   在上展开为傅里叶级数

 方法一  解  

            

                   

                  

                   

            因此        

方法二     先求在展开为傅里叶级数

          （可看成构造新函数法  ）

           

               

               

                  

            于是 

           因此 

例3    在展开为傅里叶级数 （换元法）

解 令则

因是偶函数，则

 

               

  

于是有 

因 则有

又因有  （根据下文引理）

引理  设函数在区间上具有奇偶性且以为最小正周期，在区间上展开函数为傅里叶级数，时有

     

且

则有

证明       已知  时有

      对

 （函数以为最小正周期）

因

          

       

            

      同理求得  

    于是有

          则

                        

         即 （引理证毕）