（2014?福建二模）汤姆孙测定电子比荷的实验装置如图甲所示．从阴极K发出的电子束经加速后，以相同速度沿水平中轴线射入极板D₁、D₂区域，射出后打在光屏上形成光点．在极板D₁、D₂区域内，若不加电场和磁场，电子将打在P₁点；若只加偏转电压U，电子将打在P₂点；若同时加上偏转电压U和一个方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出），电子又将打在P₁点．已知极板长度为L，极板间距为d．忽略电子的重力及电子间的相互作用．

（1）求电子射入极板D₁、D₂区域时的速度大小；

（2）打在P₂点的电子，相当于从D₁、D₂中轴线的中点O′射出，如图乙中的O′P₂所示，已知∠P₂O′P₁=θ试推导出电子比荷的表达式；

（3）若两极板间只加题中所述的匀强磁场，电子在极板间的轨迹为一段圆弧，射出后打在P₃点．测得圆弧半径为2L、P₃与P₁间距也为2L，求图乙中P₁与P₂点的间距a．

解：（1）电子在极板D₁、D₂间电场力与洛伦兹力的作用下沿中心轴线运动，即受力平衡，设电子的进入极板间时的速度为v．

由平衡条件有：

evB=eE   ①

两极板间电场强度：

    ②

解得：

    ③

（2）由几何关系得电子射出电场时竖直方向的侧移量：

y=  ④

根据牛顿第二定律，有：

   ⑤

根据分位移公式，有：

L=vt   ⑥

y=   ⑦

又

联立各式得到：

=     ⑧

（3）如图所示，极板D₁、D₂间仅有匀强磁场时，电子做匀速圆周运动，射出磁场后做匀速直线运动，已知r=2L，由几何关系得到：α=30°   ⑨

射出磁场后水平方向的距离：

x==3L  （10）

解得：

a=（）tanθ=

答：（1）电子射入极板D₁、D₂区域时的速度大小为；

（2）电子比荷的表达式为为=；

（3）图乙中P₁与P₂点的间距a为．

（2014?海淀区模拟）汤姆孙测定电子比荷（电子的电荷量与质量之比）的实验装置如图所示．真空玻璃管内，阴极K发出的电子经加速后，穿过小孔A、C沿中心轴线OP₁进入到两块水平正对放置的极板D₁、D₂间的区域，射出后到达右端的荧光屏上形成光点．若极板D₁、D₂间无电压，电子将打在荧光屏上的中心P₁点；若在极板间施加偏转电压U，则电子将打P₂点，P₂与P₁点的竖直间距为b，水平间距可忽略不计．若再在极板间施加一个方向垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场（图中未画出），则电子在荧光屏上产生的光点又回到P₁点．已知极板的长度为L₁，极板间的距离为d，极板右端到荧光屏间的距离为L₂．忽略电子的重力及电子间的相互作用．

（1）求电子进入极板D₁、D₂间区域时速度的大小；

（2）推导出电子的比荷的表达式；

（3）若去掉极板D₁、D₂间的电压，只保留匀强磁场B，电子通过极板间的磁场区域的轨迹为一个半径为r的圆弧，阴极射线射出极板后落在荧光屏上的P₃点．不计P₃与P₁点的水平间距，求P₃与P₁点的竖直间距y．

解：（1）电子在极板D₁、D₂间电场力与洛伦兹力的作用下沿中心轴线运动，即受力平衡，设电子的进入极板间时的速度为v．

由平衡条件有 evB=eE

两极板间电场强度

解得

（2）极板间仅有偏转电场时，电子以速度v进入后，水平方向做匀速运动，在电场内的运动时间

电子在竖直方向做匀加速运动，设其加速度为a．

由牛顿第二定律有 F=ma

解得加速度

电子射出极板时竖直方向的偏转距离

电子射出极板时竖直方向的分速度为 v_y=at₁=

电子离开极板间电场后做匀速直线运动，经时间t₂到达荧光屏，t₂=

电子在t₂时间在竖直方向运动的距离 y₂=v_yt₂=

这样，电子在竖直方向上的总偏移距离 b=y₁+y₂

解得电子比荷

（3）极板D₁、D₂间仅有匀强磁场时，电子做匀速圆周运动，射出磁场后电子做匀速直线运动，如答图所示．

则

穿出磁场后在竖直方向上移动的距离

则

解得

答：（1）电子进入极板D₁、D₂间区域时速度的大小为；（2）电子的比荷的表达式为；（3）P₃与P₁点的竖直间距y为r﹣+．

（2014秋?海淀区期末）汤姆孙用来测定电子的比荷（电子的电荷量与质量之比）的实验装置如图所示，真空管内的阴极K发出的电子经加速电压加速后，穿过A′中心的小孔沿中心线O₁O的方向进入到两块水平正对放置的平行极板P和P′间的区域，极板间距为d．当P和P′极板间不加偏转电压时，电子束打在荧光屏的中心O点处，形成了一个亮点；当P和P′极板间加上偏转电压U后，亮点偏离到O′点；此时，在P和P′间的区域，再加上一个方向垂直于纸面向里的匀强磁场，调节磁场的强弱，当磁感应强度的大小为B时，亮点重新回到O点．不计电子的初速度、所受重力和电子间的相互作用．

（1）求电子经加速电场加速后的速度大小；

（2）若加速电压值为U₀，求电子的比荷；

（3）若不知道加速电压值，但已知P和P′极板水平方向的长度为L₁，它们的右端到荧光屏中心O点的水平距离为L₂，O′与O点的竖直距离为h，（O′与O点水平距离可忽略不计），求电子的比荷．

解：（1）设电子经过加速电场加速后速度大小为v．

电子在电场、磁场共存的P和P'区域内做匀速直线运动，因此有：

解得：v=

（2）对于电子经过加速电场过程，根据动能定理有

解得：=

（3）设电子在P和P'区域内只有偏转电场时，运动的加速度为a，时间为t，离开偏转电场时的侧移量为y，偏转的角度为θ．根据运动学公式有：

根据牛顿第二定律有：a=

电子在P和P′区域内运动时间：t=

联立解得：=

由于tanθ===，

所以y=

联立解得：=

答：（1）电子经加速电场加速后的速度大小；

（2）电子的比荷；

（3）若不知道加速电压值，但已知P和P′极板水平方向的长度为L₁，它们的右端到荧光屏中心O点的水平距离为L₂，O′与O点的竖直距离为h，则电子的比荷．

（2014北京海淀区期末反馈）汤姆逊当年用来测定电子比荷（电荷量e与质量m之比）的实验装置如图所示，真空玻璃管内C、D为平行板电容器的两极，圆形阴影区域内可由管外电磁铁产生一垂直纸面的匀强磁场，圆形区域的圆心位于C、D中心线的中点，直径与C、D的长度相等。已知极板C、D的长度为L₁，C、D间的距离为d，极板右端到荧光屏的距离为L₂。由K发出的电子，经A与K之间的高电压加速后，形成一束很细的电子流，电子流沿C、D中心线进入板间区域。若C、D间无电压，则电子将打在荧光屏上的O点；若在C、D间加上电压U，则电子将打在荧光屏上的P点，P点到O点的距离为h；若再在圆形区域内加一方向垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，则电子又打在荧光屏上的O点。不计重力影响。

（1）求电子打在荧光屏O点时速度的大小。

（2）推导出电子比荷的表达式。 

（3）利用这个装置，还可以采取什么方法测量电子的比荷？

答案（1） 

（2）  

（3）说出任何一种合理方法均可，例如

a．测量出A与K之间的电压U′；再在两极板间加上电压U，电子将打在荧光屏上的P点；测出O P的长度便能计算电子的比荷；

b．测量出A与K之间的电压U′；只在圆形区域内加一方向垂直于纸面的磁感应强度为B的匀强磁场，电子将打在荧光屏上的P′点；测出OP′的长度便能计算电子的比荷；

c．在两极板间加上电压U，在圆形区域内加一方向垂直于纸面的磁感应强度为B的匀强磁场，使电子打在荧光屏上的O点；再撤去两极板间加上电压，电子将打在荧光屏上的P′点；测出OP′的长度便能计算电子的比荷；

d．只在两极板间加上电压U，电子将打在荧光屏上的P点；只在圆形区域内加一方向垂直于纸面的磁感应强度为B的匀强磁场，电子将打在荧光屏上的P′点；测出OP、OP′的长度便能计算电子的比荷。

（2014北京海淀区期末反馈-奇点改编）汤姆逊当年用来测定电子比荷（电荷量e与质量m之比）的实验装置如图所示，真空玻璃管内C、D为平行板电容器的两极，圆形阴影区域内可由管外电磁铁产生一垂直纸面的匀强磁场，圆形区域的圆心位于C、D中心线的中点，直径与C、D的长度相等。已知极板C、D的长度为L₁，C、D间的距离为d，极板右端到荧光屏的距离为L₂。由K发出的电子，经A与K之间的高电压加速后，形成一束很细的电子流，电子流沿C、D中心线进入板间区域。若C、D间无电压，则电子将打在荧光屏上的O点；若在C、D间加上电压U，则电子将打在荧光屏上的P点，P点到O点的距离为h；若再在圆形区域内加一方向垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，则电子又打在荧光屏上的O点。不计重力影响。

（1）求电子打在荧光屏O点时速度的大小。

（2）推导出电子比荷的表达式。 

（3）利用这个装置，甲、乙两位同学分别提出了如下新方案来测量电子的比荷：

①甲同学方案：测量出A与K之间的电压U′；只在两极板间加上电压U，电子将打在荧光屏上的P点；测出O P的长度h便能计算电子的比荷；

②乙同学方案：测量出A与K之间的电压U′；只在圆形区域内加一方向垂直于纸面的磁感应强度为B的匀强磁场，电子将打在荧光屏上的P′点；测出OP′的长度h便能计算电子的比荷；

  甲、乙两位同学的方案可行否？若不行，请用计算过程说明理由；若行，请推导电子比荷的表达式。

答案（1） 

（2）     

（2015?郑州一模）一种测定电子比荷的实验装置如图所示．真空玻璃管内，阴极K发出的电子经A、K之间的高压加速后，形成一细束电子流，沿平行板电容器中心轴线进入两极板C、D间的区域．已知极板的长度为l，C、D间的距离为d（d＜l），极板区的中心点M到荧光屏中点O的距离为s．若两极板C、D间无电压，电子将打在荧光屏上的O点；若在两极板间加上电压U，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上P点，P点到O点距离为Y；若去掉电场，在两板间加上方向垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，则电子将打在C板上的Q点，Q点离C板左侧边缘的距离为d．电子重力忽略不计，试求电子的比荷．

解：设电子刚进入平行板电容器极板间区域时的速度为v₀，因为速度方向平行于电容器的极板，通过长度为l的极板区域所需的时间：t₁= …（1）

当两极板之间加上电压时，设两极板间的场强为E，作用于电子的静电力的大小为qE方向垂直于极板由C指向D，电子的加速度：a=…（2）

而   E=…（3）

因电子在垂直于极板方向的初速度为0，因而在时间t₁内垂直于极板方向的位移

   y₁=at…（4）

电子离开极板区域时，沿垂直于极板方向的末速度：v_y=at₁…（5）

设电子离开极板区域后，电子到达荧光屏上P点所需时间为t₂：

t₂= …（6）

在t₂时间内，电子作匀速直线运动，在垂直于极板方向的位移：y₂=v_yt₂…（7）

P点离开O点的距离等于电子在垂直于极板方向的总位移y=y₁+y₂…（8）

由以上各式得电子的荷质比为：= …（9）

加上磁场B后，荧光屏上的光点重新回到O点，表示在电子通过平行板电容器的过程中电子所受电场力与磁场力相等，即：qE=qv₀B…（l0）

结合（3），即可得电子射入平行板电容器的速度：

   v₀= …（11）

代入（9）式得：=y…（12）

代入有关数据求得：==1.6×10¹¹ C/kg

答：电子的荷质比为1.6×10¹¹ C/kg．

 

第二篇：电子比荷的测定

电子比荷的测定

张雪皎（06008308）

（东南大学 电子科学与工程学院，南京  210096）

摘  要：          由物理课程实验进行延伸，先对磁聚焦法测定电子比荷产生的较大误差进行讨论，再提出采用不同的方法测定电子比荷。

关键词：      电子比荷；磁聚焦

The Measurement of the Electron’s Charge-mass Ratio

Zhang Xuejiao

( Department of Electronic Science and Engeineering, Southeast Universty, Nanjing  210096)

Abstract:  We discuss the error of the measure of the electron’s charge-mass ratio by magnetic focusing method and then try to use different ways to measure the electron’s charge-mass ratio.

key words:   Electron’s charge-mass ratio; magnetic focusing

电子的比荷又称荷质比，即电子电荷与其质量之比ｅ/ｍ，是Ｊ．Ｊ．汤姆孙于１８９７年在英国剑桥卡文迪许实验室测得的。之后，于１９１１年密立根用油滴法测得了电子的电荷。这样，由电子的荷质比可进而推算出电子的质量。这两项杰出的成就，不仅证实了电子的客观存在，而且进一步说明原子是具有内在结构的。因此电子比荷的测定，在近代物理学的发展史上占有重要地位。此外，在实验方法上为人们探讨微观世界的奥秘提供了一条新的途径：即通过对大量粒子宏观行为的研究确定单个粒子的微观数量关系。因此，汤姆孙的工作对实验物理学的发展，也具有开创性的意义。

 作者简介：张雪皎，1990年，女，大学生，peiningxin@hotmail.com

磁聚焦法（等电位法）

在本次物理实验课程中，电子比荷的测定我们采用了磁聚焦法，由下式计算

由这个式子，可以看出荷质比与多个量有关。

首先分析由螺距h引起的误差．采用第一次聚焦时，是利用h≈L，而实际上由于管内磁场的非均匀性，空间杂散电场的存在，h是不可能精确确定的；此外，由于电子之间相互排斥力的作用，造成电子束扩张，使得实际聚焦时B值已经有了一定的偏差；再有，实验中采用的螺线管是有限长的，磁场的分布具有不均匀性，从理论分析可知，螺线管端部的B值仅仅只是中心位置B值1/2的还弱。

事实上，由于聚焦电压U无法调节为零，因此，在加磁场之前，电聚焦系统己经对电子束进行聚焦了。加上磁场后，系统变为双聚焦系统，使得实验结果出现了较大的误差。

偏转法

1.1          实验原理

1）电子束的纵向磁场聚

纵向磁场是指与示波管轴线平行的磁场。将示波管插入一通电长直螺线管的中部，可以认为示波管近似处于均匀纵向磁场之中，如图21-1（a）所示。

图21-1　电子束的纵向磁场聚焦

　　设电子束中某电子在磁场B中运动时，其速度v与磁感应强度B成α角。今将v分解为与B平行的速度v_z和与B垂直的径向速度v_r。其中v_z保持不变，即电子沿ｚ轴作匀速运动。v_r使电子在洛仑兹力的作用下绕ｚ轴作圆周运动。合成运动轨迹是螺旋线，如图21-1（b）、（c）所示。螺线的回转半径

（21-1）

电子回转一周所需时间（周期）

（21-2）

故螺线的螺距

（２１—３）

上两式表明，回转周期Ｔ和螺距h与径向速度v_r无关。即对于示波管中从同一点出发的电子，虽然v_r各不相同（因而回转半径各不相同），但绕圆一周所用的时间是相同的。只要它们的v_z相同，经过一个螺距h后，又会会聚于一点。这就是纵向磁聚焦的理论依据。

２）电子比荷的测定方法

　　由式（21-3）可导出

（21-4）

由式（21-4）可知，要测定，需要确定纵向速度v_z、螺距h和磁感应强度B。

1.2          偏转法的实验方法

图21-2是测量线路，图21-3是测量线路电源的面板图。示波管置于螺线管中部（图中未画出），并用电缆与电源背面的插座接好。实验时只需用导线插头把面板所示电极的插孔与相应电压插孔联接起来，即可获得所需要的实验条件。

图21-2　示波管各电极的接线图

图21-3　实验电源

使第一阳极Ａ₁与Ｕ₁联接，第二阳极Ａ₂和一对Ｘ偏转板与Ｕ₂联接，利用聚焦旋钮调节Ｕ₁，电子束将实现电聚焦，在屏上形成一个亮点。这时给Ｙ轴偏转板加数十伏的交流电压，电子束将在荧光屏上扫出一段亮线。如果逐渐增大磁场电流Ｉ，亮线将一边旋转，一边缩短，最后缩成一个亮点，实现了磁聚焦。若继续增大电流Ｉ，还会实现２次、３次聚焦。此即偏转法测。

1.3          偏转法的理论解释

电子束被电聚焦后，所有的电子基本都以速度沿ｚ轴做匀速直线运动射向屏幕，径向速度基本为零。由于电子束很细，可近似认为从第二阳极Ａ₂射出的电子束的截面是一个“点”。当偏转板Ｙ加交流电压后，电子从Ｙ偏转板获得径向速度v_Y。相继从Ｙ偏转板同一点射出的电子径向速度不同，而且方向有正、有负（因为偏转电压是正弦交流电压）。当给电子束加某一纵向磁场Ｂ后，具有了径向速度的这些电子开始作螺旋运动。由于螺旋运动的周期与径向速度无关，所以这些电子具有相同的回转周期Ｔ和相同的螺距h。只是由于径向速度的大小不同，因而回转半径不同而已。这样当这些电子到达荧光屏时，它们绕各自的螺线轴心转过了相同的角度φ，从而落到屏上的同一条直线上；同时这条直线相对于ｙ轴转过了θ角。图21-4中画出了4个电子到达屏幕时的情形。可清楚看出，它们落在屏上的4个点Ｐ₁、Ｐ₂、Ｐ_１^′、Ｐ₂^′在同一条直线上，而这条直线相对ｙ轴转过了θ角，φ＝２θ。当Ｂ增加时，这条亮线继续旋转，且由式（21-1）可知，Ｂ的增加，将使回转半径减小。因而屏上的亮线随Ｂ的增加一边旋转，一边缩短。当φ＝２π时，恰好l=h，电子束就被纵向磁场聚焦成一个亮点。图21-5画出了θ由０变到π的过程中，亮线的变化情形。

图21-4　偏转法原理

图21-5　屏上的亮线随Ｂ的增加边旋转边缩短

纵向速度v_z的确定：v_z可由加速电压U₂确定。由能量关系，可得

（２１—５）

螺距h的确定：显然，欲使电子恰在屏上聚焦，Ｙ偏转板中心到屏的距离l必须等于螺距h，或者是h的整数倍。由式（21-3）可知，当v_z确定之后，h惟一地决定于磁感应强度B的大小。这样，若固定U₂（因而固定了v_z），改变B（即改变磁场电流I），当在屏上观察到聚焦点时，必然有

l＝ph　p＝１，２，３，…，　即h＝l/p（21-6）

　　磁感应强度B的确定：B可由螺线管的磁场电流I计算求得。由于螺线管不是无限长，中间一段的磁场可由下式求出：

（21-7）

式中：μ₀＝４π×10^-7N/A²；n为螺线管单位长度的匝数，单位为m^-1；Ｉ是励磁电流，单位为Ａ；，L为螺线管的长度，D为螺线管的直径。

　　将式（21-5）、式（21-6）和式（21-7）代入式（21-4）式，得

阴极射线管测定电子比荷

2.1 阴极射线管简介

阴极射线管，俗称显像管，它是利用阴极电子枪发射电子，在阳极高压的作用下，射向荧光屏，使荧光粉发光，同时电子束在偏转磁场的作用下，作上下左右的移动来达到扫描的目的。

2.2 利用阴极射线管来测定电子比荷

真空管内的阴极K发出的电子(不计初速、重力和电子间的相互作用)经加速电压加速后，穿过A'中心的小孔沿中心轴O₁O的方向进入到两块水平正对放置的平行极板P和P'间的区域．当极板间不加偏转电压时，电子束打在荧光屏的中心O点处，形成了一个亮点；加上偏转电压U后，亮点偏离到O'点，(O'与O点的竖直间距为d，水平间距可忽略不计．此时，在P和P'间的区域，再加上一个方向垂直于纸面向里的匀强磁场．调节磁场的强弱，当磁感应强度的大小为B时，亮点重新回到O点．已知极板水平方向的长度为L₁，极板间距为b，极板右端到荧光屏的距离为L₂(如图所示)。

根据速度选择器的原理即可求得电子穿过AA^，时的速度。当P和P'间加上偏转电压U，电子以一定的初速度垂直进入匀强电场后，电子所受电场力（不考虑重力）与速度垂直，电子在极板间做“类平抛”运动，可分解水平方向上的的匀速直线运动和竖直方向向上的初速度为零的匀加速直线运动：

电子在极板间运动的时间为： 

电子在极板间运动的加速度为： 

电子穿过极板的过程中向上偏转的距离为：

电子离开极板后将做匀速直线运动：

电子离开极板时竖直向上的分速度为：v_⊥=a t₁=

电子离开极板后做匀速直线运动该段运动用时为t₂=

则t₂时间内电子竖直向上运动的距离为：d₂= v_⊥t₂=

这样电子向上的总偏转距离是d= d₁+d₂=

可得：＝

利用双电容法测定电子比荷

3.1双电容法的原理

测量电子荷质比的一种精确方法是双电容法．如图4所示，在真空管中由阴极K发射电子，其初速度可忽略，此电子被阳极A 与阴极K 间的电场加速后穿过屏障D 上的小孔，然后依次穿过电容器c 、屏障D 和

电容器C 射到荧光屏F上． 阳极A与阴极K 间的电压为 ，在电容器C 和C 上加有完全相同的交流电压U，交流电压的频率为f．选择频率f使电子打在荧光屏上的亮点不

发生偏移，由此可测得电子的荷质比e/m。

3.1双电容法的电子比荷表达式推导

设电子的质量为m，电荷量为q，电子经电场加速以后的速度为v₀，则据动能定理得

要使电子通过电容C₁、C₂后打在荧光屏上的亮点不发生偏转，则电子在电容器C₁、C₂中运动时，电容器C₁、C₂的电压刚好为0。

所以电子由C₁ 运动到C₂ 的时间为

而 ，所以

  (n=1，2，……)

文献:

[1]       测定带电粒子比荷的常用方法[J] 陈 宏

[2]       利用磁聚焦法测量电子比荷的误差分析[J] 王光辉，徐世昌，马仁，张铁军

[3]       《大学物理学》[M] 电磁学部分，杨仲耆等编，第五章

[4]       《电磁学》[M]上册，赵凯华、陈熙谋著，第四章

（以上资料为网上查询）

[5]       钱锋，潘人培. 大学物理实验[M]. 修订版，北京：高等教育出版社，2005