关于量子力学教学的一些体会

田光善

（北京大学，北京 100871）

感谢会议组织者给我这个机会介绍一下我们在量子力学教学中的一点体会。众所周知，量子力学在目前的物理研究中起着最基本、基础与支柱的作用，狄拉克曾经说过一句话来评论薛定谔方程。狄拉克说，薛定谔方程概括了100%的化学以及85%的物理学，我估计他心里想，剩下的15%由狄拉克方程来处理。所以这个课程是目前本科生教学的极为重要的组成部分。我本人是20xx年秋季开始为北京大学物理学院三年级本科生讲授这门课程的，到今天已经讲授了四次，包括这学期我正在讲授这门课。我也为外校（北航）的同学讲过三次，课程所覆盖的内容大致是这样：量子力学的诞生、一维势场中的粒子运动、力学量的算符表示、表象变换、力学量随时间的演化和对称性、中心立场中粒子运动的一般性质、带电粒子在电磁场中运动的薛定谔方程、自旋自由度的引入、定态微扰论、量子跳迁和散射理论初步、力学量本征值的代数解法等等。

这门课程的负责人是程檀生教授，主持人是李重生教授。20xx年，这门课程被评为国家精品课，而我本人也由于这门课程，在20xx年被北京大学学生会评为北京大学第12届“十佳教师”。不仅是这门课程，我同时在讲授本科生一年级的力学和研究生的高等量子力学课程，一共上了三门课。当然，在讲课过程中，如同任何一个教师一样，免不了谈一下自己的一些感受和想法，引起了一些同事的注意，特别是赵光达院士，他鼓励我在这次会议期间做一次交流，下面就谈一些不太成熟的想法，有错误之处，还请大家批评指正。

首先我想讲一下与教学对象有关的问题。因为我同时讲力学，你会发现，本科一年级的力学课程和本科三年级的量子力学课程的教学对象是不同的。你会发现重点也有所不同。一年级学生会比较迷惑，他们对以后是否搞物理还没有定下来，有些同学甚至说我想试试，如果我以后考得好，我就做物理，如果考不好的话我就去做别的。所以你给在大学一年级的学生讲课的时候，如何引起学生们对物理学的兴趣是主要的问题。但是到了三年级情况就有所不同，三年级来修课的同学，尤其是提前来修课的同学基本上就已经定了以后将从事物理学，所以在这个时候引起他的兴趣不是主要问题，主要的问题反倒是如何让他们尽快地了解物 1

理学研究的实际情况。

打一个比方，如果我们参观一所宏伟的建筑，比如说参观梵蒂冈圣彼得大教堂，导游会给你讲，你看我们的壁画多么漂亮，建筑多么宏伟，教堂穹顶多么的大等等。他会讲一些给你留下深刻印象的事情，但是对于当年怎么造这个建筑，他几乎是不会提的。但是假如游客中有一位建筑师的话，他可能感兴趣的是当年怎么建的教堂，可能对当年搭脚手架的材料很感兴趣。他可能会提这样的问题，在当时没有起重机的情况下，怎么把那个穹顶运到教堂的顶部去。这样的事情导游一般是不会给你介绍的，可能当时用的是很土的办法，我们能想象出来的比如把教堂主体先用土埋起来，然后把屋顶顺着土的斜坡拉上去，安装好了以后再把土运走，可能完全是非常土的办法。但是如果游客里有建筑师的话，可能他感兴趣的恰恰是在这里。回到量子力学的教学上，我们对于以后，尤其是大三以后将物理学研究作为职业的学生来说，要讲给他当年这些先哲们——创建量子力学的先辈们是如何把量子力学从无到有一步步建立起来的。就如同一家好的建筑师事务所一样，他希望自己的接班人是一些经常下到工地，不怕弄脏自己手脚的实干家，我们也希望从课堂里走出来的也是一些脚踏实地，尊重实验事实，不迷信已经建立起来的理论，敢于创新而又不惧怕做耗时的实验或冗长的理论计算的年轻人。所以这个时候我们应该想办法。我当时接到这门课时觉得，第一，在这门课里我要把基本物理概念讲清楚；第二，也应该能够使得同学们多少对于当年整个量子力学建立的过程有一个大致的了解，所以我决定尝试着从科学史的角度来加以叙述，尽可能还原量子力学早期的发展过程，让学生们自己去体会量子力学的基本概念是如何建立起来的，并逐步得到澄清的。在这方面有一本书，第一作者是Mehra，后面的作者我估计是他的助手，这本书一共写了五卷，写的是量子力学的早期发展史。

我们稍微介绍一下这本书，这本书的主要作者在19xx年拿到了一笔钱到海森堡所在的慕尼黑大学做博士后，当时海森堡给他的题目是做一些量子场论的东西，可是他做了两个月以后，觉得他的兴趣不在这里，所以他就跟海森堡谈，说我的兴趣并不是做场论的东西，我倒更想了解一下你们当年是如何建立起量子力学的。这正好跟海森堡不谋而合，海森堡也正想找一个人做这方面的事情，所以海森堡就同意了。当时欧洲核子中心（CERN），刚建立，他说我想办法再从CERN搞一些 2

钱支持你，一共是两年，让他来做这件事情。海森堡认识很多的朋友，就给他写了推荐信。这个人在自己的这本书的引文部分说他就跟他们面谈，面谈的时候当然都录了音，一共大概录了400多盘录音带。他的这五卷书就是根据400多盘录音带综合而成的。我当时读这本书的时候只不过是作为一种业余爱好，因为我对历史上的事情有些爱好。到我20xx年第一次教量子力学的时候，我才觉得这本书也许可以拿来作为辅助教材，当然我不是让学生来读，是我来读，然后写进我的讲义，这也许非常有用。举一个例子，在讲义里我们是这样来回顾玻尔是如何建立氢原子能级公式的：在一般的教科书里，介绍这一部分内容之前，当然首先要介绍一下普朗克怎么来理解黑体辐射公式以及爱因斯坦在19xx年提出用普朗克的假设来解决光电效应。这些事情在一般的标准教科书里都已经讲得很详细了，但是对于玻尔当时是如何处理由于卢瑟福模型引起的原子的稳定性问题，一般是仅仅提一下玻尔提出了两条假设以及对应原理，然后就不再给出推导细节了。但是这本书把对应原理、如何用对应原理以及两跳假设推出氢原子能级公式放在第二卷。考虑到对应原理在量子力学建立过程中所起的重要作用，所以我认为还是还原它原来的面貌可能对学生更有启发。所以在我的讲义里大致是这样说的： 我在讲玻尔如何创立他的量子论的时候，半开玩笑地跟学生说，19xx年发生了三件大事。第一件大事是卢瑟福提出了原子核模型，为了解释他看到的大角度的阿尔法粒子散射，提出了他的原子核模型。但是这样一来紧接着带来一个问题，因为在原子核模型里，假设电子是围着原子核转的，按照经典的电动力学，如果一个带电粒子做加速运动的话，就会不断地往外辐射电磁波，从而不断地损失能量，最后会落到原子核里去，产生了原子稳定性问题。同时，卢瑟福在做报告的时候，也受到了同行们的质疑，提出了这样的问题。第二件大事是19xx年玻尔毕业了，拿到他的博士学位了，他的博士论文是关于金属中的电子运动问题。第三件大事是玻尔在19xx年订婚了。同学们觉得这件事情很可笑，怎么连订婚都定为第三件大事。我在讲义里给了一个解释，你会看见这三件大事促成了玻尔提出了他的理论。

整个过程是怎么样的呢？玻尔在19xx年拿到博士学位，论文是关于电子在金属中的运动。当时大家认为有关电子方面的专家当然是J·J·汤姆孙，是汤姆孙发现了电子，汤姆孙当时在卡文迪许实验室做主任。一开始，玻尔去剑桥，就把 3

自己的论文给了汤姆孙，当然，玻尔告诉了汤姆孙，论文里发现你原来的电子理论有些问题，汤姆孙很热情地接待了他。汤姆孙的桌子上有两摞文件，玻尔的论文就放在一摞文件上了，隔了一个月玻尔再去见汤姆孙，发现这个文件的位置已经移到了中间，过了一个月再去，发现他的这个论文已经移到了这一摞的最底层了，这就说明汤姆孙这两个月根本连看都没看，因为他做实验室的主任确实很忙。幸运的是，这时候卢瑟福到剑桥来做报告，就讲他提出的原子核模型，玻尔很感兴趣，玻尔就问卢瑟福可不可以到他那里去。因为玻尔拿了一年的奖学金，到英国做一年的博士后，奖学金还剩下一部分，所以玻尔问卢瑟福可不可以到他那里去。卢瑟福答应得很痛快，因为卢瑟福现在就需要一个搞理论的年轻人帮他解决原子的稳定性问题。于是玻尔于19xx年4月到卢瑟福的组里工作，卢瑟福给他的任务就是解决原子核的稳定性问题，在四个月期间里，他取得了一个很重要的进展。

玻尔作了这样几条假设。第一，原子能够，而且只能够稳定地存在于分立的能量对应的一系列状态中，这些称为定态，这是玻尔引入的。因此，体系能量的任何改变，包括吸收和发射电磁波都必须在两个定态之间以跳迁的方式进行，这一点是与经典不一样的，因为按照经典图像电子不断地辐射电磁波，它的轨道是可以连续改变的。玻尔说不是这样的，只有一些分立的轨道，电子只能在这些分立的轨道之间跳迁。第二点，在两个定态间跳迁之前，电子要吸收或发射能量，它们的值是能量的变化，两个能级间能量的转变是通过电子发射或者吸收电磁波来完成的，频率是由普朗克公式来决定的。所以换句话说，玻尔的理论最核心的假设有两条：第一，原子具有能量不连续的定态；第二，原子在两个定态之间的跳迁，会导致由普朗克爱因斯坦量子化条件决定的电磁波的发射或吸收。然而仅仅根据这两条假设还不能将原子的分立能级确定下来，因此玻尔又引入了所谓的对应原理，玻尔提出，当某个定态的量子数非常大时，这个态所对应的物理量应该接近经典物理给出的数值。一般教科书往往把这句话提了一下，紧接着给一个公式，具体的推导就不讲了。但是我们看到这个推导并不很困难，所以我们决定把这个推导讲出来。

推导的办法大致可以这样，因为我们知道玻尔在旧的量子论里仍然假设电子是有一个轨道的，所以一开始先用经典的轨道图像。我们在学力学的时候，知道 4

天体如果绕着地球做椭圆运动，其能量是由T2除以两倍的半长轴来决定的，这就是所谓的开普勒第三定律，周期的平方与半长轴的立方成正比。由于三年级的大学生们在力学中都已经学过这些了，所以我认为这是应该跟他们讲明白的。这时可以得到电子绕轨道运行的周期，这些周期都是经典力学的内容，所以对他们来讲没有任何困难。

下面要推这些所谓分立轨道对于N的依赖关系。第一步，根据量纲分析，能量可以写成h?，这是普朗克关系，再乘以一个无量纲的数。现在的关键就是要确定出无量纲的数。玻尔利用了对应原理。首先，根据电子发射的频率，当N很大的时候，本应该等于E(n)?E(n?1)。但是当量子数很大的时候，我们可以近似地用E(n)的微商来代替，因为此时的?N是等于1的，现在就需要计算E?(n),从这个关系上说实际上等价于要计算f(n)。所有的推导都是非常基本的，最后的推导利用到对应原理，当粒子数很大的时候，量子方法算出来的能量改变或者是发射频率，应该等于经典电动力学给出来的结果。经典电动力学给出来的频率是很简单的，因为在经典电动力学中，如果电子绕圈运动，那么它所发出来的频率正好等于它绕圈的频率，这是经典电动力学给出的结果。

所以玻尔在这里直接写下了这个公式，推出这个公式之后，最后可以从这三条推出f(n)??1/2n?D，但是我在这里强调一点，在推导的时候，原则上它仅仅对n很大的时候才成立。玻尔现在假设它对n小的时候也成立，这是一个假设，这样推下去，最后就可以推出f(n)的表达式，也就推出了E(n)的表达式，相当于把这些东西推导完了以后，就得到了玻尔的氢原子能级公式。在这里我要强调一点，D是未定的常数，剩下的量都知道，?2不用说了，m是电子质量, k就是电荷的平方。

当时他把这个结果拿给卢瑟福看，说他证明了，在原子里所有的电子态是一些分立的态。由于n是可数的，所以它一定有一个最小的能量，n?1一定是最小的能量。卢瑟福不是很满意，这个道理很简单，卢瑟福是想让他从第一性原理出发推导出来，现在则是先做了几条假设，得出这么一个结果。当时的制度跟我们现在的制度不大一样，如果是现在，我们把文章写出来，投到杂志社，然后杂志 5

社帮你找审稿人。可是在那个时代是这样的，一个组里有一个教授，教授的权利很大，你把你的稿件先要给教授看，如果教授认为可以发表了，教授签字，直接寄到杂志社，杂志社就发表了。当时卢瑟福不给签字，但卢瑟福对他讲，你刚来四个月进展就这么大，我再给你找一笔钱，你再在这儿待一年吧，这是很自然的事情。

现在我们谈了两件大事了，第一件大事是卢瑟福提出了他的原子核模型，第二件大事是玻尔到了英国，当然是先在汤姆孙那里做，然后到卢瑟福这里做，取得了很大的进展。第三件大事是玻尔订了婚。从一般人的角度来说，订婚以后要忙的事情是怎么赶快回去完婚。玻尔跟我们凡人也一样，也不是说我放着漂亮的未婚妻在家里，在这里跟你讨论原子的稳定性问题。所以玻尔很自然地拒绝了，玻尔说他要回国。幸亏他回国了，实际上我们今天知道的原子的稳定性问题，是由于测不准原理引起的，可是测不准原理是19xx年甚至是19xx年薛定谔提出波动力学以后，海森伯才根据玻恩的概率解释提出的。所以即使玻尔再在那儿待一年，恐怕也无法解决这个问题。

幸运的是什么呢？当时卢瑟福不准备让他回国，说我再给你一笔钱你再继续做下去。玻尔说不行，我得回去。回去以后玻尔当时不知道如何回答卢瑟福的问题，幸运的是他回去结完婚以后，度完蜜月回来，就遇到了他的好友汉森。汉森是玻尔的大学同学，是个杰出的光谱学家。俩人是同时毕业，汉森去了德国的哥丁根大学做了一年博士后也刚刚回来。关于汉森别的事情我们都不知道，只知道他曾经做过哥本哈根大学的校长。

玻尔回来以后跟汉森两个人见面，难免要问老同学你最近做了什么，他就把在卢瑟福那里做的事情跟汉森讲了。汉森当时在光谱学里面遇到一个很重要的问题，就是如何解释光谱学。我们知道氢原子有一个巴耳末系，这个巴耳末系有一个明确的公式，待会我们会给出来。当时巴耳末系的发现是非常偶然的。在18世纪末和19世纪初，大家都知道，确定的元素会发出确定的光谱来，所以当时光谱实际上是确定某些元素的身份证。也就是说，这种化合物里有没有这种元素呢？只需要把这种化合物放在酒精灯上烧一烧，看光谱里面有没有它的特殊的谱线，就可确定有没有这种元素。但是为什么会有这些谱线，大家一直搞不清，而且这些谱线杂乱无章，根本没有规律可循。但是巴耳末给出了一个公式。 6

巴耳末当时是怎么给出的呢？巴耳末本人并不是物理学家，甚至连数学家都不是，他是瑞士巴塞尔地区的一个中学的老师，是教数学的老师，他偶尔带过一些物理课，可是他对物理基本不懂，那么他怎么提出这个公式的呢？巴耳末有一个业余爱好，他对数字很感兴趣，比如说随便给个数180，他可以分成几个质数之和，或看可不可以写成两个质数的平方和，他喜欢这类问题，类似猜谜的问题。再比如说，埃及的金字塔有多少阶，埃及金字塔的阶数可以写成几个数的平方。他喜欢这类问题到了什么程度呢？他号称天下已经没有难题了，当然除了证明。但是就是这种简单的游戏，你跟他讲了问题以后，他说我已经没有什么事情凑不出来的。于是就有人把氢原子的光谱拿给他看，你可不可以给找出一个规律。当时大家觉得很难的事情，这是1885年的事情，没想到巴耳末在几个月之内就把公式凑出来了，最关键的一步就是底下这个以n平方的形式出现在分母上了。 但是巴耳末提出这个公式以后，在很长的一段时间内，物理学家不知道如何解释，而且大家公认是一个不得了的难题。汉森就跟他讲，你现在既然研究氢原子，那么能不能用你得到的结果来看看巴耳末的这个公式。一开始玻尔不肯干，玻尔认为我研究的问题是氢原子的稳定性问题，与你的光谱无关。因为大家当时印象里都认为光谱学是非常脏的一门学科。不要忘了是1885年提出的巴耳末系，现在谈的事情是19xx年的，已经隔了27年，大家都认为是一件很脏的事。一开始玻尔不肯做，但是汉森一直坚持，说这个体系是如此简单的一个体系，它各种性质之间、彼此之间不可能没有联系，说你一定要看。完了以后，据玻尔自己回忆，他看到了巴耳末公式以后，他就恍然大悟，如同打开了一扇天窗，这个道理很简单，你只需要让后边这个常量D等于0，然后再利用二者之差等于发出的频率，然后把普朗克常量代进去，得到的就是巴尔末系。这篇工作，他得到以后，就把结果给卢瑟福寄回去了，不要忘了，玻尔由于要赶来回来结婚，现在人已经在丹麦了。现在他把这个工作寄给卢瑟福。卢瑟福尽管是一个核物理学家，他毕竟是物理学家，他当然知道，氢原子光谱谱线问题是个老大难问题。所以他一看到玻尔把这件事情给出漂亮的公式，利用他给出的原来推导分立公式给出来了，卢瑟福二话不说就签了字，这篇文章就发表在哲学杂志的第一篇。当然玻尔后来将把他的想法写了另外两篇严格的论文，称作三部曲。

现在我们把这个工作在课堂上给大家讲，因为用的数学并不多，只不过我们 7

在这里强调了用的是对应原理。所以通过这样的讲解，大家看出来，一个物理学家的伟大不在于他是否具有超群的智慧，而在于他能否在别人看不出路的地方闯出一条路，这个是关键的。又比如我们在介绍量子力学基本方程式的时候，总会有所困惑。我记得我当年上学的时候，老师基本上把这个作为既定的事实给出来的，并没有给出原来先辈们是如何推导公式的。教科书里通常都是说根据海森伯对于微观理论的新理解，任何力学量都应该写成矩阵的形式，同时，任意两个矩阵一般是不对易的，故需要计算它们的对易子，之后便直接给出基本方程的形式。事实上不错，在海森伯引入新理论之后，发现这些力学量不对易，但是他对此非常不适应，并感到极大的困惑。他实际上在他19xx年的文章里，做的是试图绕过这些困难，因此就把他那篇文章搞得非常难懂。很多人读了他的这篇文章并不真正理解，比如说弱电统一理论提出者诺贝尔获得者Weinberg，曾经写过这样的一段话，如果读者不知海森伯所云为何物的话，他和她不必沮丧，因为不止一人有同样的感觉。我曾经几次阅读这篇海森伯从这个小岛休假回来写的文章，并试图理解他的数学推导背后的动机，但都没有成功。尽管我自认为是理解量子力学的。可是Weinberg接着写道，理论物理学家的成名之作往往显示出两种不同的风格，一种是哲人式的睿智，另外一种是魔术师的魅力。一般而言前者的文章不难理解，Weinberg指的是爱因斯坦的文章不难理解，但是后者的工作则难以消化。从这种意义上来说，19xx年这篇文章纯粹是一种魔术。上面这些话是Weinberg写的。 在这之后，玻恩跟约当对于一维谐振子的这种特殊情况，推导出了量子力学的基本方程式，但仅对于这种特殊的情况。其方程的一般形式，实际上是狄拉克给出的。我们考虑到狄拉克推导过程是对于物理研究中类比法运用得最完美的诠释，因此在课中重构了这个过程。大致是这样的，首先狄拉克第一次收到这篇文章，当时他还是研究生，是他的导师否勒把海森伯的文章给他，让他来阅读，说你看一看两个星期以后在组里做个报告。两个星期以后，据狄拉克自己讲，他自己实际上也没读懂，所以两个星期以后，否勒问他你觉得怎么样？他说这是垃圾。否勒说既然是垃圾，你扔掉它就是了。但是又隔了一个星期以后，狄拉克突然意识到，说海森伯这篇文章里似乎想要掩盖什么，最后他判断出来，海森伯已经发现了这两个力学量是不对易的，在经典力学里，所有的力学量都是对易的，海森伯当时不知道如何处理，所以他千方百计想把这个问题绕过去。那么狄拉克自己 8

讲，你既然想绕过去，我的工作就是要把它明确地写出来，然后计算一下它等于什么。如果我得到一个结论，我再代回到你原来的那篇文章去，我想做的事情实际上是想证明海森堡是错的。因为只有把你的这个事情干掉，我才能有机会建立我自己的理论。所以狄拉克第一步就是要计算这个部分，你想掩盖的，我要把它拿出来进行计算。

根据他自己的回忆，如果把泊松括号写成对易子的话，你会发现对易子满足七个关系，这七个关系都是很容易证明的，比如说U与V的对易子等于V与U的对易子负号，以及U是线性的。还有一些关系，比如说两个相乘可以把它拆开。我们应该这么说，对易子的记号是由狄拉克引入，引入这个记号以后，他很快就发现这个记号满足这样七个关系。但是你有了这七个关系以后仍然得不出来这个对易子应该等于什么，只是说他满足的是一些代数恒等式。狄拉克说他自己有一个习惯，他当时是研究生，星期一到星期六他都在办公室里很勤奋地工作，但是星期天他要用一个背包装上吃的和水，到剑桥附近的农场去远足。他说他是在一次远足里想这件事情，一边走一边下意识地想，他突然觉得这七个式子他曾经在什么地方见到过，但是在什么地方见到过呢？他一时回忆不起来。到最后他想起来了，这个东西他是在自修的解析力学，即现在的分析力学里见到过。

在这里，我要顺便插一句，在狄拉克的时代分析力学在物理系是不教的，道理很简单，你通过分析力学得到的是牛顿力方程。既然你费了那么大劲，你得到的仍然是牛顿方程，何必呢？所以在那个时代，在19xx年以前，分析力学在教学大纲上没有的。狄拉克是自修的，所以他最后判断，他是在自修分析力学的时候见到过这七个式子，到底详情如何他不知道了。他说我回到宿舍以后，我第一件事就是在我所有的藏书里面找有关力学的书，结果一本没有找到，当天是星期天，他只好躺下睡觉，但是激动得睡不着，他说那一天晚上是他最难熬的晚上。第二天就急急忙忙冲到了图书馆，最后找出一本分析力学书，结果发现这个东西实际上是所谓泊松括号。泊松括号U和V分别是自由广义坐标与广义动量的函数。如果你写出泊松括号，你会发现泊松括号也是满足这些式子。所以狄拉克就说，我利用对比法，就是右边是量子力学微观世界的量，左边的话是宏观世界的量，我们这个世界不是割裂的，我们这个世界是一个统一的世界。所以你一定有一个从微观世界到量子世界的过渡。这一点，原来玻尔就曾经讲过，通过对应原理来过 9

渡的。假设对易子与泊松括号是成正比的，D是个比例系数，那么你一开始先把U和V作为函数算，按照泊松括号算完了以后，然后你再把它们还原，不管它是矩阵还是算符。它是这么一个操作步骤。

现在你如果通过这个就可以算到，如果这一点是成立的，你就看到X与PX的泊松括号，这个对易子应该正比于它的泊松括号，而泊松括号算出来以后是1，所以正好是这个系数D。那么这个系数D如何来定？在狄拉克这个时代，当然别的你都可以算出来，这些对易子是D，这些对易子是0。关键剩下一步就是这个D如何来定。在当时大家认为，唯一可以信的是玻尔的氢原子公式，包括玻尔的推导都不可信，但是氢原子能级公式是可信的。为什么可信？因为它能够正确地给出巴耳末系，以及另外两个系。剩下我们要做的事情就是通过你刚才推导的这些基本方程，能不能够最后重新推出玻尔的氢原子能级公式。这件事情是由泡利完成的，但是考虑到泡利所用的数学过于复杂，他用了好多角动量的理论。这个对于讲第一章的时候我们还没有办法给学生们讲角动量理论。所以我的做法就是在这里把泡利的推导写在讲义里，都给出来，但是告诉同学们，第一次阅读的时候暂时先不必考虑，等我们学了角动量这一章，你回过来再来念。

但是这样的话，通过与玻尔的氢原子能级公式，人们就可以得到D2是等于负的，你取正取负无所谓，只要你统一用一种算法来算，你会发现你最后得到的结果你是等价的，所以我们干脆取正。你讲了这些以后，同学们至少较容易理解为什么原来在量子力学基本方程式里会出现?1。在经典力学里坐标是一个物理量，动量也是一个物理量，原则都应该是实的，即使它们变成矩阵也应该是实的物理量，怎么两个相减最后减出来个?1来呢？所以这一点一直有疑问，但是通过这样的推导，你至少是可以初步理解，它是通过与氢原子能级公式进行对比，最后得出来的。

剩下一点时间，我再说一点别的事情，前面主要是讨论从技术层面的角度，如何通过科学史的讲述使得同学们对量子力学的学习能够容易一些，理解深刻一些。下面我再讲一下风格和形式的问题。当然，我在这里讲这个之前应该说一下，学过量子力学的人都知道，量子力学的建立不仅仅是物理上的一次革命，而且彻底地改变了人们的思维方式，乃至世界观。具体一点讲，由于量子力学的基本原 10

理与测量理论是密不可分的，如何理解人们头脑中对这个世界的看法与真实的客观规律之间的关系，就成了一个绕不过去的问题。在这个问题上经过长期的思考，我过去本人对这件事情也是有点反叛，因为年轻的时候总是有点反叛的，就认为哥本哈根学派不是最后的理论。现在，经过长期的思考，我渐渐地觉得哥本哈根的理论是正确的，因此我在课堂上毫不掩饰地表明了自己的立场。

根据哥本哈根学派的说法，既不多也不少，量子力学所能够描述的，仅仅是微观客体如何与人们赖以对其进行观测的，满足经典物理规律的称为“仪器”的系统空间进行相互作用，这个的话是量子力学的核心。基于这一理解，玻尔提出了他的并协原理。在最近的一篇文章谈得非常好。考虑到讲量子力学的哲学含义，完全略去不利于学生们真正理解这一重要的物理框架，我们对此做了一些简单介绍，由于时间关系，我在这里就不介绍了。

下面我大概花几分钟时间讲一讲，因为从教学的角度，你除了要讲究如何来讲授内容，你还需要在风格上稍微下一点工夫，能够把这个课堂的气氛搞得活跃一点，让学生学起来也轻松一点。因为这是两小时的课，第一小时学生们的注意力还比较好，但是到第二堂课，学生们就开始有点犯困，这时候你要想办法把课堂的气氛搞得轻松一点，让注意力重新集中起来。在这方面我们也做了一点工作，实际上对于讲量子力学来说，这一点并不难做到，因为量子力学的引入，不仅导致了认识论的震撼，而且同其他的物理理论一样，也会使得人们从另外一个不同的角度来审视你周围的世界。这样的话你会觉得从不同的角度审视世界，有些事情很有趣。尽管后果不一定很美好，比如说我举一个例子，有这样一幅漫画，大雨过后，天空中出现了一道绚丽的彩虹，引得森林里的动物们驻足观看。有时候我看漫画，过去是看完了一笑就扔了，搞教学以后，我觉得有些东西把它剪裁下来，以后在课堂上给学生们演示一下是挺有意义的。你就会看到森林里的动物都在看这个彩虹。松鼠说这是神迹，蝗虫也惊呼说这预示着好运。只有树上的猫头鹰严肃地说，这只不过是光的折射现象的一次完美展示而已。毋庸置疑只有物理学家才会讲出百分之百正确，但又令人极为扫兴的话来。因此，当我们同一般的公众，对物理不太了解的公众，最好少讲这种倒胃口的话，免得让大家觉得物理学家都是一群怪物。但是在上课的时候，适当地讲一些哲学式思维以及调侃，不仅可以活跃课堂气氛，让学生们轻松一下以后注意力集中。同时，也可以使得他 11

们相信更为深刻地理解教师所讲述的内容，不失为一种有益的猫头鹰式教学法。 由于时间关系，我讲两个例子。比如说我们讲定态微扰论的时候，我告诉同学们，二级微扰项起，每一项都可以表示体系中发生虚过程的描述，因为我们过去讲微扰论，把微扰论的公式推导出来就完了。但实际上也有一种讲法，我这个力学体系在微扰的情况下，从初态跃迁到一个中间态，再从中间态跃回到初态去，能量的二级式，当然底下有一个分母Ei?E0，但是如果你仔细看一下你会发现一个很有趣的问题，Ei不等于E0。有的同学就会问了，如果两个能量不相等，你怎么可能从一个初始态到一个中间态去呢？这破坏了能量守恒。实际上量子力学论是有一个名词的，叫虚过程，它的这个引出是这样的原因，在量子力学里，如果两次跳迁的过程间隔?t非常小的话，那么这个?E并不是一个确定的数，有一个测不准关系，?E??t??。所以如果你跳到中间态这个过程时间间隔非常短的话，实际上量子力学的体系是有一个测不准度的，就允许它能够跳到好像跳不到的地方。这个过程导致了一个直接后果，就是在经典力学中由于能量守恒律被禁止发生的过程在量子力学的框架下变得可能，只要这一过程发生的时间如此之短，以至于体系能量不确定度大到过程中能量守恒律，使得能量守恒律得以保持，就是你那个测不准度要很大，由于这个原因，这些过程被称为虚过程，由于虚过程发生的时间间隔如此之短，它们在实验上是无法观测的，然而它们的发生会带来一些可观测的后果。为了说明这一事实，我们以Hubbard模型为例，详细介绍了这个虚过程的发生，可以使一个多体电子体系中的电子自旋之间发生所谓反铁磁关联，以这个为例，当然要讲一个具体例子。那么这一物理过程中，需要高能量激发态的存在，否则虚过程无法发生，但是为了简化问题，人们往往又要从理论计算中去除这些高能量激发态，以便得到一个低能的有效哈密顿量。这种又想保留高能激发态的影响，又要从理论框架中除去它们身影的做法，已经被初步体现在微扰论。所以微扰论实际体现的是这个，而其最后的完美实现则是我们今日的重整化群方法，这是在课堂上当然需要讲的，因为毕竟是在讲物理。但是你讲完了这个以后，有的学生说：“不错，不错，老师你讲得不错。”但是更多的学生可能有一些茫然，不知道为什么实验上无法观测的虚过程，怎么会导致可观测的后果呢？这时候我们就做一点猫头鹰式的哲学思考，帮助他们理解。

那么我就联想到最近文艺界有人试图改写黄梅戏的《天仙配》中董永与七仙 12

女的故事，那我给学生们解释了为什么从量子力学的虚过程效应看，此事不可为的道理，为什么这件事情不可为呢？就能量而言，我们凡人所处的环境与神仙们所处的仙境属于两个不同的世界，他们高高在上，高能量的，我们在地面，就是低能量的，我们称之为ground state。从经典的力学来看，两个世界的子民是无法互相来往的，因为无论是神仙降临人间，或者是凡人升入天堂都是违背能量守恒律，两个能量是不一样的。但是从量子力学来看是可以的，从量子力学观点看，由于你有一个能量测不准度，所以，你只要来往的时间是如此之短，使得能量和时间的间隔满足的测不准原理不被破坏，就是?t??E??，这件事情是可以发生的，因此七仙女降临人间，并与董永相识的故事是可以发生。然而七仙女不能在人间久留，否则这种交流的时间间隔将会变得越来越大，而能量的测不准度就会越来越小，当这一测不准度小于仙境和人间的能量之差时，这一过程将被物理定律所不容，正是由于这一原因，王母娘娘不得不将七仙女匆匆招回天上，道理就是在这里，现在我们明白是怎么回事了，就是要满足物理定律。显然这一过程是一个虚过程，但是它留下了实验上可观测的后果，根据黄梅戏《天仙配》的记载，七仙女为董永生了一个儿子，并且留在了人间，以证实这样一个虚过程的确发生过。

听完这番讲解以后，所有的学生都认为是明白了，实际上我也现在无需再讲为什么将《天仙配》这个结果写成大团圆，有的电视剧企图写成大团圆是一件错误的事情，因为无论董永和七仙女是在人间还是在仙境，永远团聚都将最终导致测不准原理的被违背。当时有学生表示，他们给电视剧组要写信，用不着我来办这件事。

那么又例如我们在讲述散射理论一章的时候做一个具体的例子，我们计算了一个三维有限深的势阱散射截面，这个过程我就不多讲了，因为现在我们假设入射粒子能量比较低，所以你只需要计算S波散射截面就完了。那么整个具体过程，这是教科书里都有的，我们把它算下去，通过连接边条件，然后我们最后就得到了S波的散射截面是由这个式子给定的。完了以后，你从这个式子里可以看到，当然这里大K?E?V0实际上就等于散射势垒的势阱高度。D是由这个式子来决定。 那么你看到一个很有意思的结论，散射截面消失了，所以当入射粒子的能量满足这一条件时，势阱对它的散射消失了，之所以会有这样的结果，实际上从量 13

子力学的角度并不难理解，这是由量子力学叠加的原理起的重要作用，由于波的叠加，使得这个散射后重构的波包与散射前的波包基本相同，所以，表面上好像是没有造成散射。那么为了加深对这一理论的解释，我又举了Ramsauer效应，它是19xx年在量子力学最终建立之前发现的，因为量子力学最终建立是19xx年，19xx年德国人Ramsauer就观察到当你用能量为0.7eV的慢电子轰击像氩、氪、氙等惰性气体时，这个散射非常弱，这个粒子好像就直接就穿过去了，根本就不发生偏转，慢电子几乎如入无人之境般地就穿过这些惰性气体了。这个文章是他19xx年写的。那么从经典力学的观点来看，这一现象显然无法理解，因为即使把电子和惰性气体的原子都视为普通的钢球，那在实验给定的条件下，因为气体不是说很薄的一层气体，是很厚的一层气体，结果这个电子打过去就过去了，不发生任何偏转。如果你要用一个电子去打一些钢球的话，也会发生偏转，也会被钢球弹出来的，但是他没有发现，实验的精度上它没有发现任何偏转。但是用量子力学研究这一现象，我们就会看到由于这些惰性气体原子核的势垒，这个库仑势，因为是惰性气体，是满壳层的，那么它的库仑势被满壳层的电子云所屏蔽，衰减很快，可以用一个有效的短程方势阱加以描述。利用我们上面得到的S波散射公式，当慢电子的能量或等价地讲，当他的波矢满足适当的条件时，散射截面就是趋向于电子，当然这仅对慢电子是适用的，因为慢电子只需要计算S波是适用的。

当然了，为了调节一下课堂气氛，我提醒学生们，同样的现象实际上在我国早有记载，并不是19xx年德国人发现的。例如在《聊斋志异》中，崂山道士一章中就有关于穿墙术的记载，文章中是这样说的，说有王姓有志青年，为了学得真法术，自带行李和盘缠前往崂山拜师，只是他跟随学习的那个老道实在是缺乏师德，只是将徒弟当做奴仆一样使用，并无半点教导的意思，无奈，这个王姓青年只得当面恳求，请教一点小技，以作日后糊口之用，道士发侧隐之心，所以传授以穿墙之术，只需默念几句口诀，这个王姓青年穿墙而过，从屋外进入屋内，然后想取何物便取何物，再从容不迫地出来，只可惜当王姓青年回到家中练习时，被其妻嘲笑一番，竟然忘了口诀，令人扼腕不止，这样有用的技术从此失传。今日在物理学家们建立了量子力学之后，人们重新发现了这一法术的口诀，实际上只要默默念上两遍0.7eV，0.7eV，任何人都可以纵身穿墙而过，闻听此言以后，当然课堂上欢声一片，学生们纷纷表示这个量子力学给咱们带来了很多意外的惊 14

喜，但是作为21世纪有道德、有理想之青年，他们将不会用自己的身体去练习这一法术，尽管他们已经知道了具体的口诀。

上面我就罗罗嗦嗦讲了一些有关我讲授量子力学的课程的做法与体会，如同本文开始所述，对于未来的物理学工作者而言，这是一门极为重要的课程，我们在教学当中所要达成的是使得学生们学习到有关量子力学的一些基本知识的同时，能够体会到当年的先驱者们是如何利用所有可能利用的线索，在黑暗中摸索，以揭示微观世界的奥秘，若能让学生们从我们的讲述中得到一点启示，以便他们在今后的研究工作中有榜样追随、有信心前行、有毅力去克服困难，既已达成教育之目的，也尽到了身为人师的责任，这是一项值得我们为之努力的事业。谢谢大家！

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