概率论的发展与应用

摘要：概率论的发展，给人们的生活带来了十分重大的影响，本文简述了概率论的发展历史以及概率论在现实生活中的应用。

关键词：不确定性；发展；应用。

从掷硬币、掷骰子和玩#9@k等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化??，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性. 如同物理学中基本粒子的运动、生物学中遗传因子和染色体的游动、以及处于紧张社会中的人们的行为一样，自然界中的不定性是固有的。 这些与其说是基于决定论的法则，不如说是基于随机论法则的不定性现象，已经成为自然科学、生物科学和社会科学理论发展的必要基础。 从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东西。 他们没有认识到有可能去研究随机性，或者是去测量不定性。 将不定性数量化，来尝试回答这些问题，是直到20世纪初叶才开始的。还不能说这个努力已经十分成功了， 但就是那些已得到的成果，已经给人类活动的一切领域带来了一场革命。这场革命为研究新的设想，发展自然科学知识，繁荣人类生活，开拓了道路。而且也改变了我们的思维方法，使我们能大胆探索自然的奥秘。下面，来看一下这门将“不定性数量化”的科学——概率论与数理统计的发展及应用。

在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进了概率论的发展，从17世纪到19世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度。但是，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。

17xx年，法国数学家蒲丰（Comte de Buffon，1707-1788）的《偶然性的算术试验》出版，他把概率和几何结合起来，开始了几何概率的研究。著名的投针实验便是他于17xx年提出的，利用这一实验，他采取概率的方法尝试求求圆周率π的近似值。

19世纪，法国数学家拉普拉斯（Simon Laplace ,1749-1827）、德国数学家高斯（Gauss,1777-1855）、法国数学家泊松(S.D.Poisson,1781-1840)等为概率论建方完整的体系和更为广泛的应用做了进一步奠基性工作。特别是拉普拉斯，他是严密的、系统的科学概率论的最卓越的创建者，在18xx年出版的《概率的分析理论》中，拉普拉斯以强有力的分

析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，使以往零散的结果系统化，开辟了概率论发展的新时期。拉普拉斯有一句名言，现在不少涉及概率论在中小学数学教学中的意义的论文都引用这句话，这句话是：“生活中最重要的问题，其中大多数只是概率问题”。 为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。19xx年，他发表了著名的《概率论的基本概念》，提出了公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。

概率论自问世之后，即充分显示了它巨大的应用价值。当时，牛痘在欧洲大规模接种后，曾因副作用引起争议。丹尼尔·贝努里（Daniel Bernoulli，1700—1782）根据大量的统计资料，作出了种牛痘能延长人类平均寿命三年的结论，消除了一些人的恐惧和怀疑；欧拉（Euler，1707-1783）将概率论应用于人口统计和保险，写出了《关于死亡率和人口增长率问题的研究》，《关于孤儿保险》等文章；泊松将概率应用于射击的各种问题的研究，提出了《打靶概率研究报告》等等。也正因为概率论有其巨大的应用价值，使得它成为18和19两个世纪的热门学科之一，几乎所有的科学领域，包括神学等社会科学都企图借助于概率论去解决问题。

发展到今天，概率论和以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及生产生活实际等诸多领域中都起着不可替代的作用。例如，天气预报的制作就有一种统计预报法，它是在大气动力学、热力学、气候学和预报员时间经验的基础上，应用概率论和数理统计方法，利用电子计算机，根据历史资料制作天气预报。用这种方法制作的天气预报称为概率天气预报，即用概率值表示预报量出现可能性的大小，它所提供的不是某种天气现象的“有"或"无”，某种气象要素值“大”或“小”，而是天气现象出现的可能性有多大。如对降水的预报，传统的天气预报一般预报有雨或无雨，而概率预报则给出可能出现降水的百分数，百分数越大，出现降水的可能性越大。概率天气预报既反映了天气变化确定性的一面，又反映了天气变化的不确定性和不确定程度。同样，概率论在经济中也扮演着重要的角色，不同于3xx年前的掷硬币，现在的概率论更多的被应用在数学建模和保险精算中，来确保金融行业的盈利水平。概率论还被应用与企业生产管理中，丰田著名的质量管理体系的理论基础就是概率论。除此之外，概率论还在我们生活中的其他方面发挥着重大的作用。

自从学了概率论这门课程之后，我觉得我的逻辑性思维比以前强多了，学习概率论是非常有必要的，其在现实生活中应用非常广泛。一位哲学家曾经说过：“概率是人生的真正指南”。随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率已渗透到我们生活的各个领域。众所周知的保险、邮电系统发行有奖明信片的利润计算、招工考试录取分数线的预测甚至利用脚印长度估计犯人身高等无不充分利用概率知识。总之，概率论在今后必将能显示出更大的价值。

 

第二篇：概率论论文

概率论与数理统计

小论文

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概率论学习总结

摘要：概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。本文主要介绍概率论的重要作用，学习概率论的意义以及介绍自己在学习概率论是获得的学习方法。

关键词：概率论，意义，学习总结

正文：对于概率论的学习已经过了将近一个学期了，虽然现在对概率论的学习也仅仅是皮毛而已。『概率论与数理统计』这门课程。如名称所述，课程内容分为两部分：概率论和数理统计。这两部分是有着紧密联系的。在概率论中，我们研究的随机变量，都是在假定分布已知的情况下研究它的性质和特点；而在数理统计中，实在随机变量分布未知的前提下通过对所研究的随机变量进行重复独立的观察，并对观察值对这些数据进行分析，从而对所研究的随机变量的分布做出推断。

最初接触概率论时，觉得得不是很重要，毕竟只是估计一个事件的发生概率，但是并不一定会发生。这1％的概率和99％的概率有区别吗？ 打一个比方：有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25％，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33％，可结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，一来其他的人都失败了，觉得自己很幸运。二来自己中奖的机率高达50％。可结果他同样没中奖。由此看来，概率的大小只是在效果上有所不同，很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别，每个人中奖的概率都是50％，即中奖与不中奖。 同样的道理，对于个人而言，在生活中要成功做好一件事的概率是没有大小之分的，只有成功或失败之分。

但在自己深入学习和了解之后，发现概率论不仅是一门学科，更是一种哲学 ，在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成两大类：一类是确定性的现象，指在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。另一类是不确定性的现象。这类现象在一定条件下的结果是不确定的。例如，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各颗种子的发芽情况也不尽相同有强弱和早晚之别等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这

是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素是人们无法事先预料的。这类现象，我们无法用必然性的因果关系，对现象的结果事先做出确定的答案。生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。比如国家作一次人口普查、企业做产品满意程度调查、天气质量检测就需要充分地用到数理统计的方 法，拿到一组原始的数据，用不同的模型、不同的分布函数去分析，可以得到许多不同角度的分析结果，进而能对总体进行更为立体的分析。而这些都要借助概率论与数理统计的功劳。 概率论与生活实践和科学试验有着紧密的联系，是许多新发展的前沿学科(如控制论、信息论、可靠性理论、人工智能等)的基础，概率论与以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。直观地说，卫星上天，导弹巡航，飞机制造，宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳；及时准确的天气预报，海洋探险，考古研究等更离不开概率论与数理统计；电子技术发展，影视文化的进步，人口普查及教育等同概率论与数理统计也是密不可分的。 概率论作为理论严谨，应用广泛的数学分支正日益受到人们的重视，并将随着科学技术的发展而得到更好的发展。 通过近一学期的概率论学习我明白我们不能把高等数学的学习方法照搬到“概率统计”

的学习上来，而应按照概率统计自身的特点提出学习方法，才能取得“事半功倍”的效果。

一、 学习“概率论”要注意以下几个要点

1. 在学习“概率论”的过程中要抓住对概念的引入和背景的理解，例如为什么要引进“随机变量”这一概念。对于具体的随机试验中的具体随机事件，可以计算其概率，但这毕竟是局部的，孤立的，能否将不同随机试验的不同样本空间予以统一，并对整个随机试验进行刻画？随机变量X(即从样本空间到实轴的单值实函数)的引进使原先不同随机试验的随机事件的概率都可转化为随机变量落在某一实数集合B的概率，不同的随机试验可由不同的随机变量来刻画。 此外若对一切实数集合B，知道P(X∈B)。 那么随机试验的任一随机事件的概率也就完全确定了。所以我们只须求出随机变量X的分布P(X∈B)。 就对随机试验进行了全面的刻画。它的研究成了概率论的研究中心课题。故而随机变量的引入是概率论发展历史中的一个重要里程碑。类似地，概率公理化定义的引进，分布函数、离散

型和连续型随机变量的分类，随机变量的数学特征等概念的引进都有明确的背景，在学习中要深入理解体会。

2. 在学习“概率论”过程中对于引入概念的内涵和相互间的联系和差异要仔细推敲，例如随机变量概念的内涵有哪些意义：它是一个从样本空间到实轴的单值实函数X(w)，但它不同于一般的函数，首先它的定义域是样本空间，不同随机试验有不同的样本空间。而它的取值是不确定的， 随着试验结果的不同可取不同值，但是它取某一区间的概率又能根据随机试验予以确定的，而我们关心的通常只是它的取值范围，即对于实轴上任一B，计算概率P(X∈B)，即随机变量X的分布。只有理解了随机变量的内涵，下面的概念如分布函数等等才能真正理解。又如随机事件的互不相容和相互独立两个概念通常会混淆，前者是事件的运算性质，后者是事件的概率性质，但它们又有一定联系，如果P(A)。P(B)＞0，则A，B独立则一定相容。类似地，如随机变量的独立和不相关等概念的联系与差异一定要真正搞懂。

3. 搞懂了概率论中的各个概念，一般具体的计算都是不难的，如F(x)=P(X≤x)，EX，DX等按定义都易求得。计算中的难点有古典概型和几何概型的概率计算，二维随机变量的边缘分布fx?x???∞

-∞?f?x,y?dy事件B的概率P((X，Y)∈B)=∫∫Bf(x，y)dxdy，卷积公式

等的计算，它们形式上很简单，但是由于f(x，y)通常是分段函数，真正的积分限并不再

是(-∞，∞)或B，这时如何正确确定事实上的积分限就成了正确解题的关键，要切实掌握。

4. 概率论中也有许多习题，在解题过程中不要为解题而解题，而应理解题目所涉及的概念及解题的目的，至于具体计算中的某些技巧基本上在高等数学中都已学过。因此概率论学习的关键不在于做许多习题，而要把精力放在理解不同题型涉及的概念及解题的思路上去。这样往往能“事半功倍”。

二、 学习“数理统计”要注意以下几个要点

1. 由于数理统计是一门实用性极强的学科，在学习中要紧扣它的实际背景，理解统计方法的直观含义。了解数理统计能解决那些实际问题。对如何处理抽样数据，并根据处理的结果作出合理的统计推断，该结论的可靠性有多少要有一个总体的思维框架，这样，学起来就不会枯燥而且容易记忆。例如估计未知分布的数学期望，就要考虑到① 如何寻求合适的估计量的途径，②如何比较多个估计量的优劣？这样，针对①按不同的统计思想可推出矩估计和极大似然估计，而针对②又可分为无偏估计、有效估计、相合估计，因为不同

的估计名称有着不同的含义，一个具体估计量可以满足上面的每一个，也可能不满足。掌握了寻求估计的统计思想，具体寻求估计的步骤往往是“套路子”的，并不困难，然而如果没有从根本上理解，仅死背套路子往往会出现各种错误。

2.事实上概括起来只有八个公式需要记忆，而且它们之间有着紧密联系，并不难记，而区间估计和假设检验中只是这八个公式的不同运用而已，关键在于理解区间估计和假设检验的统计意义，在理解基础上灵活运用这八个公式，完全没有必要死记硬背。

一位哲学家曾经说过：“概率是人生的真正指南”。随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率已渗透到我们生活的各个领域。众所周知的保险、邮电系统发行有奖明信片的利润计算、招工考试录取分数线的预测甚至利用脚印长度估计犯人身高等无不充分利用概率知识。 生活中，概率的应用我们可以生活和投资得更理智.其实概率书上讲的都是理论知识，一大堆数学计算公式，如何把概率书的理论运用到生活中来才是学以致用，才是我们最好地对概率论的学习！

总之，通过学习这门课程，我们可以更理性的对待生活中的一些问题，更加谨慎的处理某些问题。最后，感谢老师近半年来的辛苦教学与谆谆教导！

参考文献：

[1] 概率论与数理统计 哈尔滨工业大学数学系