数学广角《植树问题》

“植树问题”是人教版五年级上册“数学广角”的内容，教材将植树问题分为几个层次：两端都栽、一端栽，一端不栽、两端都不栽、封闭图形情况以及方阵问题等。

学生有机会从周围的事物中学习数学和理解数学，体会到数学就在身边，体验到数学的魅力。因此在设计这节课时，我主要是运用这样的教学理念：以问题情境为载体，以认知冲突为诱因，以数学活动为形式，使学生经历生活数学化，数学生活化的全过程，从中学到解决问题的思想方法。

一、数学思想

数学广角——植树问题，这部分教学内容主要是让学生在经历和体验知识形成过程的同时，感悟重要的数学思想和方法。这部分内容所要体现的几种数学思想方法。

（一）化归（转化）思想

研究数学问题的过程中，如果直接用已有的知识不能或不容易解决问题时，往往把需要解决的问题进行转化，转化成能解决或容易解决的问题来解决，也就是把陌生的知识转化为熟悉的知识，把繁难的知识转化为简单的知识。

（二）模型思想

是用数学语言概括地近似地描述现实世界的事物，数量关系和空间形式的一种数学结构，我们学的概念、定理、规律、公式、性质、数量关系、图表、程序等都是，这种数学思想具有很重要的现实意义。比如植树问题这部分内容就是通过研究发现、归纳、总结的规律，从而建立一种模型，然后去解决诸如安装路灯、花坛摆花、锯木头、走楼梯灯生活中的实际问题。

（三）数形结合思想

包含“以形助数”和“以数助形”两个方面。即借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。

（四）一一对应思想

“一一对应”顾名思义，就是一个对一个形成相呼应的状态，关键在于找到可以对应的连接点，能用它求得一条通向解决问题的通道。比如植树问题中我们所画的线段图中的 点和树，线段和间隔都是一一对应的关系。

二、教学目标

知识性目标：

1、通过猜测、试验、验证等数学探究活动，使学生初步体会两端都载的植树问题的规律，构建数学模型，解决实际生活中的有关问题。

能力目标：

2、培养学生通过“化繁为简”从简单问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，初步培养学生的模型思想和化归思想。

情感目标：

3、通过实践活动激发学生热爱数学的情感，感受日常生活中处处有数学，体验学习成功的喜悦。

三、、说教学重点、难点

教学重点：发现并理解两端都栽树的植树问题中间隔数与棵树的规律。

教学难点：运用“植树问题”的解题思想解决生活中的实际问题。

四、教材编写意图

1、例1是关于一条线段上的植树问题并且两端都要栽树的情况，让学生在解决这个问题的过程中发现规律，找到解决问题的有效方法，经历解决问题的过程。

2、在例1当中出示一幅情景图，先从美化环境和净化空气的‘植树活动’揭示课题：植树问题。从而让学生明白植树活动里面也藏着许多数学问题。这样设计既要激发学生的学习兴趣，也要让学生感受到数学问题原本就来源于生活实践，形成积极的情感态度。

然后，教材从具体到抽象，从特殊到一般，呈现分析、思考、解决问题的全过程。 教材先由一个男孩说出容易出错的想法“每隔5m栽一棵，共栽100÷5＝20（棵）”，接着由女孩提出“对吗？检验一下”。在学生画图验证的过程中，学生就会出现小精灵提出的这种现象，“100米太长了，可以先用简单的数试试。”从而引出解决问题常用的方法——从简单的情况入手解决复杂的问题，渗透简单的化归思想。

然后，呈现同学们用示意图和线段图分析问题的过程。通过画图先解决20 m和25m的植树情况，把分割点数和栽树的棵树一一对应起来，发现并初步总结出栽树的棵树与间隔数之间的关系：栽树的棵数比间隔数多1，接下来应用所发现的规律猜想30m和35m的植树情况，并加以验证，从而建立起一条线段两端都栽这类植树问题的数学模型。

最后，引导学生概括出一条线段两端栽树的植树问题的一般规律（因为两端都要栽，所以栽树的棵树比间隔数多1），并据此解决数据更大的问题，即100m共有20个间隔，两端都要载，所以一共要栽21棵树。100÷5+1＝21（棵）

五、学情分析

五年级学生已经具有了一定的解决问题的能力和基础，能用不同策略解决问题，但这里的关键是渗透简单的化归思想，经历抽取数学模型的过程。建立植树模型对于学生来说还是比较抽象。

六、教学设计（一）

第一个环节（一） 创设情境，引入情景。

新课伊始，从植树绿化环境入题，引出植树中隐藏许多数学问题，从而揭示课题：这节课我们就一起研究植树问题。体现了“数学来源于生活”的思想，明确了探索的目标与方向。。

第二个环节（二）充分经历，探究新知

出示例1，引导学生分析题意：理解“两端”“每隔5米一棵”的含义。通过对题意的分析，学生猜一猜要栽多少棵树。学生答案不一，引发冲突，让学生用线段图验证。

2、借助操作，探究规律

验证时学生会感觉到100米太长了，植树的棵树很多，不好画，可以先将100米转化成较小的数据研究。这样，老师给出20米的小路，学生独立画线段图，在交流中得出结论：间隔长度是5米，有4个这样的间隔，可以栽5棵树。同时把学生得到的结论整理到表格中。

这样学生就体会到了复杂问题可以从简单入手的解题策略。向学生示范线段图的画法，为学生下面的自主探究做好准备。

3、动手操作，再次体验

之后让学生自由选择100米中的一小段长度，动手画线段图，两端都栽，要栽几棵树。汇报到表格中。引导学生观察表格，你发现什么规律了吗？即棵数比间隔数多1.

5、合理推测，感知规律

不画线段图，如果这条路长65米，80米?又应该栽几棵树呢？将得到的数据填在表格里，最后从中发现规律：全长÷间隔长度=间隔数，间隔数＋1＝植树棵数。

6、归纳概括，理解规律

接着追问学生为什么两端都栽树，植树棵树比间隔数多1？学生回答后教师借助课件演示帮助学生进一步直观理解一树对应一个间隔，最后一棵树没有对应的间隔。这样学生在不断的操作和交流中，经历了观察、发现和感受的全过程中，学会了解决问题的方法，并体会到了一一对应思想，理解了植树问题的规律。

7、运用规律，验证例题

最后回到例1解决100米小路植树的问题，验证猜想。

让学生经历猜测，试验，验证的探究过程，同时明确每步算式的意义，以便于学生更好的理解植树问题的数学模型。

第三个环节(三)、回归生活，实际应用

①、完成做一做第1题：明确应用植树问题的规律可以解决生活中很多类似的问

题。

②、学生举例说一说生活中哪些问题与植树问题类似？完成练习二十四中的1，2，3题进一步感受到植树问题在生活中的广泛应用。（安装路灯、锯木头、排队问题）感悟数学建模的重要意义。

（四）、全课小节，畅谈收获

总之，本节课没有将教学重点放在机械的公式和抽象的模型下，而是重点放在探索和建立模型的过程和体验数学思想方法的应用上，运用数学的思维方式进行思考，增强分析和解决问题的能力。

七、教学设计（二）

（一）动手种树，初步感知

1、创设情景，理解题意

[出示要求]：在操场边上，有一条20米长的小路，学校计划在小路的一边种树，请按照每隔5米种一棵的要求，设计一份植树方案，并说明你的设计理由。

师：从这份要求上，你能获得哪些信息？ （20米长的小路，一边，每隔5米种一棵） 师：每隔5米是什么意思？ （两棵树之间的距离是五米，每两棵树的距离都相等，两棵树之间的间隔是5米）

2、设计方案，动手种树

师：了解了已知条件，请同学们以同桌为一个小组，设计一份植树方案。可以用这条线段代表20米的小路。 用你们喜欢的图案表示树，把你们设计的方案画一画。 （小组活动）

3、反馈交流 师：很多小组都已经完成了，先请同学们来说一说，根据你们的方案，需要种几棵树？ （5棵，4棵，3棵）

（1）两端都栽 师：为什么同样的一段路，同样的要求，种的棵数却不一样呢？你们的方案分别是怎样的？我们先从棵数最多的说起吧！哪个小组设计的是需要5棵的？来展示一下你们的设计方案。 （小组展示、交流设计思路）

师：你们小组的设计方案是怎样的？

师：他们小组的设计符合要求吗？这里他们是用什么来表示树的？根据他们的设计，一共需要5棵。

（2）只栽一端 师：哪个小组设计的是需要4棵的？ 小组展示设计方案： 交流设计思路） 师：他们的设计符合要求吗？

（3）两端都不栽 师：有的小组只要3棵就能完成要求，他们是怎样设计的呢？我们一起来看一看。 小组展示设计方案：交流设计思路） 师：他们小组的设计同样符合要求。

（二）合作探究，总结方法

1、总结规律

师：我们一起来回顾一下同学们设计的方案，（出示三种方案线段图），三种方案都符合设计的要求，谁能说说他们相同的地方在哪里？ （生说：两棵树间的间隔都一样，他们的间隔个数都相同）

师：不同的地方又在哪里呢？ （根据学生的回答师出示板书：两端都载 只栽一端 两端都不栽）

师：我们具体来看这三种方案.

1、在两端都栽的情况下，每隔5米栽一棵，也就是每5米为一个间隔，20米里有几个这样的间隔？你是怎么计算的？ （生说，师板书：20&xide;5=4（个）） 师：４表示什么？（４个间隔） ［结合图观察］４个间隔需要几棵树？（５棵树） （师边讲解，边完成表格）

师：为什么4个间隔有5棵树？ 一个间隔对应着一棵树，一个间隔对应着一棵树，每个间隔都跟着一棵树，有4个间隔就有4棵树，最后剩哪棵树前面没有间隔？因为它两端都栽，所以还要加上前面的一棵。（列式4+1=5（棵））25棵呢?30呢？35棵呢？

师：从表格中，你能发现间隔数与棵数有什么关系吗？能用一个式子表示他们之间的关系吗？（生说，师板书：间隔数+1=棵数）

2、用同样的方法探究“只栽一端”和“两端都不栽”的情况。

（学生说完后师总结规律并板书：间隔数=棵数）

（生说，师板书：间隔数-1=棵数）

师：刚才我们探究了三种不同的栽法，他们有什么关系呢？

（三）开放练习，应用方法

师：其实植树问题并不只是与植树有关，生活中还有许多现象和植树问题很相似，我们一起来看一看。（幻灯片出示有间隔的图片）

师：这些图片中的事物都之间都存在着间隔，在数学上，我们把这类的问题统称为“植树问题”。（板书课题）

八、习题设计

练习二十四共有15道习题，除第10题外，都是和植树问题相关的生活中常见的实际问题。

第1、2、3题都是两端都栽树的基本题型。第4、5题是两端都栽树的变式练习。 第6题是用在走廊拜访植物的问题情境加深对两端都不栽的植树问题的巩固。

第7题是巩固一端栽另一端不栽的植树问题。

第5题求敲钟时间和第8题锯木头需要锯几次，学生可能最初会没有头绪，因为它和植树问题看起来毫不相干，教师要启发学生用画图策略来理解体会，寻找规律，发现与植树问题的相同之处。

第9题是综合运用所学知识解决实际问题的习题，要引导学生灵活运用植树规律进行推导。

第11题是发现规律，应用规律来解决实际问题的习题，可以让学生图文结合，自主探究，发现规律。

第12—15题都是在一条封闭曲线上植树的实际问题。是从一条圆形封闭曲线到长方形，再从长方形到正方形，按顺序有层次进行编排。教学时，继续引导学生用画图的方法探究，再动手操作，认真观察的基础上进行分析和思考，发现其中蕴含的规律，引导学生通过比较各种算法，学习、吸收更好的解决问题的方法、思路和策略，逐步提高学生的思维水平。

九、教学反思：

这节课主要目标是向学生渗透复杂问题从简单入手的思想。使学生有更多的机会从周围的事物中学习数学和理解数学，体会到数学就在身边，体验到数学的魅力。因此在设计这节课时，我主要是运用这样的教学理念：以问题情境为载体，以认知冲突为诱因，以数学活动为形式，使学生经历生活数学化，数学生活化的全过程，从中学到解决问题的思想方法。以此为基础，根据学生的认知规律，我设计了以下几个环节：一、以一道植树问题为载体，营造突破全课教学重点及难点的高潮。二、以生活中植树问题的应用为研究对象，引导学生了解植树问题的实质。三、多角度的应用练习巩固，拓展学生对植树问题的认识。反思整个教学过程，我认为这节课有以下几点做得比较好：

1、通过自主探索的活动，让学生获得学习成功的体验，增进学好数学的信心。结合学生的年龄特点和教学内容，我设计了很多需要学生自主探索的活动。例如：在创设情境、导入新课的第2个小环节中“如果你是园林工人，你会怎么种？”，让学生自主探索出在一条路上植树时，有3种不同的情况：“两端都种”“两端都不种”“只种一端”；再如：在自主探究、建立模型这一环节中让学生自定路长和间距，通过画图的方法验证“间隔数”与“棵

数”之间的规律。又如：在最后联系实际，综合练习时，我放手让学生自选习题进行解答。

2、渗透数学思想方法，培养学生数学思维能力和解决问题的能力。让学生通过观察、猜测、实验、推理与交流等活动，既学会一些解决问题的一般方法和策略又逐步形成求实态度和科学精神。

3、注意反映数学与人类生活的密切联系。

本节课的教学内容本来就是来自于生活，通过观察生活找出解决这类问题的规律，从而应用于生活。所以，我设计的每一环节都紧扣生活，以解决生活中的问题为主线，进行有目的的数学学习活动，使学生学得有趣，同时，增强了数学学习的应用价值。

4、关注植树问题模型的拓展和应用

植树问题的模型是现实世界中一类相近事件的放大，它源于现实，又高于生活。所以，在现实中有着广泛的应用价值。为了让学生理解这一建模的意义，加强了模型应用功能的练习，本课练习有以下两个层次：

（1）直接应用模型解决简单的实际问题。课堂上，安排学生自主完成已知总长和间距求棵数、已知棵数和间距求总长的练习，让学生从正反两个方面出发，直接应用模型解决简单的实际问题。训练学生双向可逆思维的能力。

（2）以图片的形式让孩子们了解生活中与植树问题相似的现象，让学生进一步体会，现实生活中的许多不同事件都含有与植树问题相同的数量关系，它们都可以利用植树问题的模型来解决它，感悟数学建模的重要意义。最后还把学生熟悉的学习生活情境，如班主任上楼梯，学生自己排队做操等图片呈现出来，引导学生把这些图片中的间隔规律与植树问题中的树和段联系起来，并设计难易程度不一的综合性习题，让学生自主选择自己能解决的问题进行解答，进一步感悟数学建模的重要意义。

这节课充分利用了多媒体设备，所以课堂容量较大，但是也造成个别学生吃不透的现象。在以后的教学中要注意把握好度，适当进行取舍，照顾好全体学生。

 

第二篇：植树问题正稿

小学数学人教版四年级下册教案

数学广角——植树问题（两端都栽）

教学内容:P117数学广角——植树问题例1

教学目标：

1．利用生活中的问题，通过动手操作的实践活动让学生发现与植棵 数之间的关系，并能利用规律来解决简单植树的问题。

2．进一步培养学生从实际问题中发现规律，应用规律解决问题的能力。 重点、难点：

让学生发现棵数与间隔数之间的关系，并用发现的规律解决实际问题。 教具：课件、教具等

教学过程：

一、 创设情景

为了美化校园环境，学校要在一条20米长的路边种上树，要求每5米种一棵树，（同学们，请发挥你们的设计天份，在这张长20厘米的纸条上设计植树方案。注意：20厘米的纸条代表20米长的小路，5厘米长度代表5米）学生自己在纸上画画，用线段表示出来

1、

2、 学生动手在纸片上设计植树方案。 学生汇报其设计的植树方案。（可能出现三种情况，第一种居多或者全部）

A、我按要求每隔5米种一棵，我是按两头都种来设计的，所以我种了5棵。

B、我是只种一头的。所以我只种了4棵。

C、我是两头都不种的，我只种了3棵。

师：你们所设计的植树方案真棒，植树是一项环保活动，希望每个同

学都积极响应，做到：保护环境，人人有责。）

3、如果出现两种或三种情况进行下面的问题，（但为什么同一个要求，会有不同的棵数呢？）学生说出原因。看来植树中间有许多有趣的数学问题，今天我们就来研究与植树有关的数学问题。板书课题：植树问题，那我们就先来研究一下第一种情况：

4、如果只出现第一种情况，就找学生说出原因，理清思路。同样板书课题：植树问题

（此环节也可以找学生示范解决）

二、 探究新知

解决刚才的问题，在20米长的路上种树，两头都要种，结果种了5棵树，而中间有4个间隔，间隔——其实，我们所说的段数或（份数）就是我们生活中所讲的间隔。生活中的“间隔”随处可见。张开你们的小手，看看5只手指之间有多少个间隔？（4个间隔）你还能发现哪里有这样的间隔存在？）让学生明白间隔的意思。

这时候学生通过前面子自己画的时候已经知道了能中5棵树，重点在与为什么能种5棵，而不是4棵树，可以通过摆一摆的方式来完成，并发现出现的规律：

学生发现：种5棵树有4个间隔，种6棵树有5个间隔，种7棵树有6个间隔，在两头都种的情况下，间隔数总比树的棵树少1，得出：板书： 棵树=间隔数+1 ？这时得出结论后，又引发思考？间隔数是怎么来的？ 板书： 总长度÷间距=间隔数

立式：20÷5+1=5

出示课题：同学们要在100米长的小路一边植树，每隔5米栽一颗（两端都要栽），一共需要多少棵树苗？

学生自由读，自由思考和自由讨论，找出你在题目中知道的信息？ 总距离=100米，间隔长度等于5米，通过这两个条件可以求出什么？ 100÷5=20 求出间隔数 间隔数+1=棵树 20+1=21 反向思维： 间隔数=棵树-1 总长=间距x间隔数 （条件：两端都要栽）

一共需要21棵树苗

三、 联系生活，巩固新知。

1、联系生活：其实我们的生活中像植树问题的现象有很多，你能发现吗？请把你的发现告诉老师和同学们。（学生汇报）

老师也找到一些，让大家欣赏欣赏。（课件示图片）

2、解决数学问题。

工人叔叔要在一条长300米长的公路一边上种树，每隔6米种一棵，需要多少棵树？（两端都要种）

300÷6+1=51

3、P119的做一做：第1题

（2000÷50+1）×2=82 （容易忽略路的两边这个概念）

4、做游戏比赛：各选6名同学进行比赛。教室这里的宽是5米，每两位同学之间的距离是1米，（两端都要站）一共能站多少位同学？ 5÷1+1=6

5、同学们到操场做广播体操,每隔1米站一位同学,一行共站了25位

同学.从第1位同学到最后一位同学的距离有多远?

（25-1）x1=24

6、园林工人沿公路一侧植树,每隔6米种一棵,一共种了36棵,从第1棵到最后一棵的距离是多远?

（36-1）x6=210

四、这节课你学到了什么知识？