高中数学选修2-2知识点总结

数学选修2-2知识点总结

导数及其应用

一．导数概念的引入

1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数在处的瞬时变化率是，

我们称它为函数在处的导数，记作或，即

例1．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系

运动员在t=2s时的瞬时速度是多少？

解：根据定义

即该运动员在t=2s是13.1m/s,符号说明方向向下

2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切。容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即

3. 导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为的导函数. 的导函数有时也记作,即

二.导数的计算

1.函数的导数

2.函数的导数

3.函数的导数

4.函数的导数

基本初等函数的导数公式:

1若(c为常数)，则；

2 若,则;

3 若,则

4 若,则;

5 若,则

6 若,则

7 若,则

8 若,则

导数的运算法则

复合函数求导

和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数

三.导数在研究函数中的应用

1.函数的单调性与导数:

一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

在某个区间内，如果，那么函数在这个区间单调递增；

如果，那么函数在这个区间单调递减.

2.函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.

求函数的极值的方法是:

(1) 如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值;

(2) 如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值;

4.函数的最大(小)值与导数

函数极大值与最大值之间的关系.

求函数在上的最大值与最小值的步骤

（1）求函数在内的极值；

（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.

四.生活中的优化问题

利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

第二章推理与证明

考点一合情推理与类比推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理

根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.

类比推理的一般步骤:

(1) 找出两类事物的相似性或一致性;

(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);

(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.

(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.

考点二演绎推理(俗称三段论)

由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.

考点三数学归纳法

1. 它是一个递推的数学论证方法.

2. 步骤:A.命题在n=1（或）时成立，这是递推的基础；

B.假设在n=k时命题成立

C.证明n=k+1时命题也成立,

完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=,且)结论都成立。

考点三证明

1. 反证法:

2. 分析法:

3. 综合法:

第一章数系的扩充和复数的概念

考点一:复数的概念

(1) 复数:形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部.

(2) 分类:复数中,当,就是实数; ,叫做虚数;当时,叫做纯虚数.

(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.

(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.

(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。

(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

考点二：复数的运算

1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行

设则

2,几个重要的结论

(1)

(2)

(3)若为虚数,则

3.运算律

(1) ;(2) ;(3)

4.关于虚数单位i的一些固定结论：

（1）（2）（3）（2）

第二篇：高中数学选修2-2知识点总结

数学选修2-2知识点总结

导数及其应用

一．导数概念的引入

1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数在处的瞬时变化率是，

我们称它为函数在处的导数，记作或，即

例1．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系

运动员在t=2s时的瞬时速度是多少？

解：根据定义

即该运动员在t=2s是13.1m/s,符号说明方向向下

3. 导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为的导函数. 的导函数有时也记作,即

二.导数的计算

1.函数的导数

2.函数的导数

3.函数的导数

4.函数的导数

基本初等函数的导数公式:

1若(c为常数)，则；

2 若,则;

3 若,则

4 若,则;

5 若,则

6 若,则

7 若,则

8 若,则

导数的运算法则

复合函数求导

和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数

三.导数在研究函数中的应用

1.函数的单调性与导数:

一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

在某个区间内，如果，那么函数在这个区间单调递增；

如果，那么函数在这个区间单调递减.

2.函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.

求函数的极值的方法是:

(1) 如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值;

(2) 如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值;

4.函数的最大(小)值与导数

函数极大值与最大值之间的关系.

求函数在上的最大值与最小值的步骤

（1）求函数在内的极值；

（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.

四.生活中的优化问题

利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

第三篇：高中数学选修2-2知识点总结(精华版)

数学选修2-2知识点总结

一、导数

1．函数的平均变化率为

注1：其中是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数在处的瞬时变化率是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

5、常见的函数导数和积分公式

6、常见的导数和定积分运算公式:若，均可导（可积），则有：

6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数②令>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f(x)的导数 (3)求方程=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值

8.利用导数求函数的最值的步骤:求在上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求在上的极值；⑵将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

9．求曲边梯形的思想和步骤:分割近似代替求和取极限（“以直代曲”的思想）

10.定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1

性质5 若，则

①推广：

②推广:

11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.

( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；

（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；

（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．

12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。

推理与证明知识点

13.归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。

归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

14.归纳推理的思维过程

大致如图：

15.归纳推理的特点: ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

16.类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。

17.类比推理的思维过程

18.演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。

19．演绎推理的主要形式：三段论

20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M　③结论：S是P。

其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。

22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。

23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

24反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

25.反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。

26常见的“结论词”与“反义词”

27.反证法的思维方法:正难则反

28.归缪矛盾（1）与已知条件矛盾:（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾．

29．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤(1)证明：当n取第一个值时命题成立；(2)假设当n=k (k∈N^*，且k≥n₀)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从n₀开始的所有正整数n都正确　[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。

数系的扩充和复数的概念知识点

30.复数的概念：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，叫实部，叫虚部，数集叫做复数集。

规定：a=c且b=d，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。

31．数集的关系：

32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定。由于有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。