文献综述

前 言

本人毕业设计的论题为《基于压缩传感的匹配追踪的研究》，在传统采样过程中，为了避免信号失真，采样频率不得低于信号最高频率的2倍。然而对于数字图像，视频的获取，依照香农定理会导致海量采样数据，大大增加了存储和传输的代价。近年来，一种新兴的压缩传感理论为数据采集技术带来了革命性的突破，得到了研究人员的广泛关注。压缩传感采用非自适应线性投影来保持信号的原始结构，能通过数值优化问题准确重构原始信号。

如果信号本身是可压缩的，那么是否可以直接获取器压缩表示，从而略去对大量无用信息的采样呢？Candes在20xx年从数学上证明了可以从部分傅里叶变换系数精确重构原始信号，为压缩传感奠定了理论基础，Candes和Donoho在相关研究基础上于20xx年正式提出了压缩传感的概念。其核心思想是将压缩与采样合并进行，首先采集信号的非自适应线性投影（测量值），然后根据相应重构算法由测量值重构原始信号。压缩传感的优点在于信号的投影测量数据量远远小于传统采样方法所获取的数据量，突破了想弄采样定理的瓶颈，使得高分辨率信号的采样集成成为可能。压缩传感以远低于奈奎斯特频率进行采样，在压缩成像系统，模拟/信息转换，生物遗传等领域有着广阔的应用前景。

近两年，信号处理领域诞生了一种新的压缩传感（Compressive Sensing）理论，极大地吸引了相关研究人员的关注。该理论在信号获取的同时，就对数据进行了适当地压缩，而传统的信号获取和处理过程主要包括采样、压缩、传输和解压四个部分，这种方式采样数据量大，先采样后压缩，浪费了大量的传感元、时间和存储空间，相较之下，压缩传感理论针对可稀疏表示的信号，能够将数据采集和数据压缩合二为一，这使其在信号处理领域有着突出的优点和广阔的应用前景。

赵玉娟，水鹏朗，张凌霜（20xx）在《基于子空间匹配追踪的信号稀疏逼近》匹配追踪算法是一种典型的“贪婪”算法，每步寻找和剩余信号最匹配的原子，而正交匹配追踪需要每步对波形库进行正交化修正，计算量巨大。匹配追踪算法收敛速度非常缓慢，其中原因之一是由于存在过匹配现象。过匹配引人了不期望的人工分量，追踪和补偿这些分量需要付出大量的计算，高分辨匹配追踪[s]在某种程度上克服了这一缺点。

李波, 谢杰镇, 王博亮（20xx ）在《基于压缩传感理论的数据重建》的研究表明大部分的信号都是稀疏的或是可压缩的,其中绝大部份的信息都是不太重要的,去除这些不太重要的信息而仅仅保留重要的信息对信号是没有多大的损害的。根据信号的稀疏性,只需要低于奈奎斯特采样率很多的少量采样,就可以将信号很好地恢复。

练秋生, 郝鹏鹏（20xx）《基于压缩传感和代数重建法的CT 图像重建》中指出代数重建法（ART）是一种重要的CT图像重建方法，适合于不完全投影数据的图像重建，其缺点是重建速度慢。为提高图像重建的质量和速度，利用压缩传感理论提出了一种基于ART的高质量图像重建算法。该算法将CT图像的梯度稀疏性结合到ART图像重建中，在每次迭代中的投影操作结束后用梯度下降法调整全变差，减小图像梯度的l1范数。实验结果验证了该算法的有效性。

王建英, 尹忠科, 张春梅（20xx）《信号与图像的稀疏分解及初步应用》信号与图像的稀疏分解是信号与图像的一种新的分解方法，在信号与图像的压缩编码、去噪、信号的时频分析与信号识别等方面有着极为广阔的前景，是信号与图像处理研究领域中一个新的很有意义的研究方向。本书总结了国际上在这一研究方向的研究进展以及任教多年来的研究成果。在稀疏分解应用方面，重点介绍了作者在信号处理及图像压缩编码方面的研究成果。

同时，傅迎华（20xx）《压缩传感重构算法与近似QR分解》讨论了可压缩传感CS重构算法,并提出了一种新的改进算法效率、提高图像质量的方法,即:测量矩阵的近似QR分解。精确的重构算法(极小化L0范数)是一个NP完全问题,而这种算法的一个近似估计(极小化L1范数)能够对信号或图像高效率地重构。本文研究了L1算法的重构效果,通过改变测量矩阵的奇异值能够提高算法的重构效率。对测量矩阵的近似QR分解进行了研究,并给出了对测量矩阵的一些改进和相关的实验。

冈萨雷斯.（20xx）《数字图像处理》(第二版) 全书共分12章，首先介绍了数字图像基础、空间域和频域的图像增强；然后讨论了图像复原、彩色图像处理、小波变换及多分辨率处理和图像压缩；最后讲述了形态学图像处理、图像分割、表示与描述以及目标识别等。本书侧重于对数字图像处理基本概念和方法的介绍，并为本领域的进一步学习和研究奠定了坚实的基础。全书概念清楚、深入浅出、图文并茂，并且反映了数字图像处理领域的最新发展情况。

方红,章权兵,韦穗（20xx）《基于非常稀疏随机投影的图像重建方法》. 测量矩阵是压缩传感理论的关键要素之一。针对目前大部分工作中所用的高斯等随机测量矩阵独立随机变元过多,不利于物理实现的问题,引入稀疏带状和稀疏列的概念,形成稀疏带状随机、托普利兹和循环矩阵以及稀疏列随机、循环矩阵,随机变元个数减少约三分之一。采用通用的模拟实验方法,验证此类稀疏矩阵对于真实图像的重建效果及对0-1信号的成功重建概率均与随机高斯矩阵相当。

金坚，谷源涛，梅顺良（20xx）《压缩采样技术及其应用》中指出如何降低宽带模拟信号数字化过程中的采样率,以及如何有效的对大量数据进行压缩存储一直是学者们关心的问题。该文综述了最近出现的一种新型信号处理方法—压缩采样（Compressive Sampling，CS），也称压缩传感(Compressive Sensing)。该方法通过对稀疏信号进行观测而非采样,只需少量观测点就能精确的重构原始信号。结果表明新方法的观测频率可以远远低于奈奎斯特采样频率。该文除介绍其基本原理和主要实现方法外,同时列举了多种应用,并指出若干待研究的问题。

郝鹏鹏（20xx）《基于压缩传感原理的图像重建方法研究》分析了传统的Nyquist采样定理要求采样频率必须大于等于信号最高频率的两倍,但很多情况下信号带宽较大,采样频率达不到最高频率的两倍。最近Donoho和Candès提出了压缩传感CS理论。该理论利用原始信号或图像的稀疏性先验知识,通过合适的优化算法,可由少量的采样值或观测值来进行重建。目前该理论的研究尚处于初级

阶段,大多是基于压缩传感基础理论的研究和一维信号的重建。本文将压缩传感理论应用于图像重建中,针对其重建速度慢和重建质量不高的缺点,在深入研究现有算法的基础上,更进一步研究了 基于压缩传感和代数重建法的CT（Computed Tomography）重建结合压缩传感理论提出了一种基于代数重建法ART（Algebraic Reconstruction Technique）的高质量CT图像重建算法。该算法将CT图像的梯度稀疏性结合到ART图像重建中,在每次迭代中的投影操作结束后用梯度下降法调整全变差,减小图像梯度的1范数。实验结果表明了该算法的有效性。

秦晓伟，郭建中（20xx）《匹配追踪算法(MP)在超声成像中的研究》说明超声成像在医学上广泛的应用。对于需要射频信号的应用来讲,传统的成像技术需要以存储大量的数据量和耗费很长的时间为代价。压缩传感(CS)理论突破了奈科斯特采样定理的限制,在超声成像中应用可以大大减少数据量,节省运算时间。该理论提出可以通过对原始信号或者图像的有效信息采样很少的数据量,较逼真地恢复原始信号或者图像。稀疏信号的求解过程中往往涉及凸问题,而匹配追踪算法广泛应用在凸问题的解决中。研究匹配追踪算法在超声成像中的应用,本文通过实验验证以及实验结果的分析,探究影响超声图像重构质量的因素,得出随着测量值的逐渐增加,重构图像的质量越好,重构图像与原始图像的均方误差越小。

宁刚（20xx）《基于压缩感知的信号重构算法研究》指出近些年来, 对压缩感知理论的理论框架和应用进行了系统概述。该理论针对稀疏信号,在对信号进行采样的同时完成数据压缩,从而大量节约了计算资源、存储资源和传输资源。它包括信号的稀疏变换、观测矩阵的设计和信号的重构三个方面的内容。这里将重点放在最为关键的信号重构方面。接下来对重构算法中的正交匹配追踪算法和梯度投影算法的实现原理,算法结构等进行具体的研究并做出信号仿真结果。最后,在正交匹配追踪算法的基础上,提出了一种改进方案。针对原有算法的重构速度比较慢和迭代次数需要给定的问题,利用最优正交匹配算法中的匹配原子的选择准则和后向投影思想进行迭代重构。分别应用一维信号和二维图像进行重构仿真,将得到的实验结果和原有算法的仿真结果对比,可以看出优化后的算法在降低采样点数要求的同时,能够比较精确的重构信号,算法性能得到提升。

结 论

通过以上文献综述，不难发现：

压缩传感理论以信号具有稀疏特性为基础，突破了Nyquist采样定理的极限。跳过了传统采样过程中获得大批冗余数据然后再舍去绝大部分不重要数据的中间过程，有效缓解高速采样实现的压力的同时达到了压缩的目的，为处理、传输和存储节约了大量的成本，并且使得用低成本的传感器将模拟信号转化为数字信号成为可能。该理论的应用研究也已经涉及到众多领域：雷达信号处理、医学上的核磁共振成像、图像采集设备的开发等等，并且美国的Rice大学成功研制出单像素相机。

目前，压缩传感理论已经有了一些研究成果，但仍然存在很多难点：（1）信号在冗余字典（即用超完备的冗余函数库取代基函数）下的稀疏分解成为近几年的一个研究热点。针对这个问题，如何设计快速有效的算法以及如何构造适合一类信号的冗余字典需要进一步研究。（2）在解决实际问题时，大部分的测量矩阵都是预先设计好的，即压缩传感是非自适应的，能否设计自适应的测量矩阵，使得测量矩阵随着信号自适应的变化。（3）如何将压缩传感理论用到动态对象上，如视频监控、车牌识别等。（4）对于信号的实时处理，压缩传感算法的计算速度都比较慢，目前还很难达到实时处理的要求。

压缩传感理论是新诞生的，虽然还有很多亟待解决的问题，但它的研究方兴未艾，将有着非常广泛的应用前景。