一、任意角和弧度制及任意的三角函数。

1.任意角

（1）角的分类

任意角按旋转方向可以分为正角、负角、零角。

（2）象限角

第一象限角的集合{x│k*360°<x<k*360°+90°，k∈Z}

第二象限角的集合{x│k*360°+90°<x<k*360°+180°，k∈Z}

第三象限角的集合{x│k*360°+180°<x<k*360°+270°，k∈Z}

第四象限角的集合{x│k*360°+270°<x<k*360°+360°，k∈Z}

终边在x轴上的角的集合{x│x=k*180°，k∈Z}

终边在x轴上的角的集合{x│x=k*180°+90°，k∈Z}

（3）角的度量

A、角的度量制有：角度制、弧度制

B、换算关系：1°=∏/180°rad,1rad=57.30°

2、任意角的三角函数

三角函数 正弦 余弦 正切

定 设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于p(x、y)，那么

义 y叫做a的正弦， x叫做a的余弦， y/x叫做a的正切 记作sina 记作cosx 记作tana

各 I + + +

象II + - -

限III - - +

符IV - + -

号 【口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦都为正值】

3.同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：（sina)^2+(cosa)^2=1

(2)商数关系：sinx/cosx=tanx(x≠k∏+∏/2,k∈Z)

二、三角函数的诱导公式

1、下列各角的终边和角a的终边有何种关系

角 2k∏+a(k∈Z) ∏+a -a

与a角 sin( 2k∏+a)=a sin(∏+a)= -sina sin(-a)= -sina 终边的 cos( 2k∏+a)=a cos(∏+a)= -cosa cos(-a)=cosa 关系 tan( 2k∏+a)=a tan(∏+a)=tana tan(-a)= -tana 角 ∏-a ∏/2 -a ∏/2 +a

与a角 sin( ∏-a)=sina sin(∏/2-a)= cosa sin(-∏/2 +a)= cosa 终边的 cos( ∏-a)= -cosa cos(∏/2-a)= sina cos(-∏/2 +a)= -sina 关系 tan( ∏-a)= -tana

2、六组诱导公式

组数 一 二 三 四 五 六

角 2k∏+a(k∈Z) ∏+a -a ∏-a ∏/2-a ∏/2 +a 正弦 sina -sina -sina sina cosa cosa

余弦 cosa -cosa cosa -cosa sina -sina 正切 tana tana -tana -tana …… ……

口诀 【 函数名不变，符号看象限 】 【函数名改变，符号看象限】

三、三角函数的图像与性质

1、周期函数

（1）周期函数的定义

对于函数f(x),如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数（非零常数T叫做这个函数的周期）

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的性质

函数 y=sinx y=cosx y=tanx

定义域 x∈R x∈R x∈R且x≠∏/2+k∏,k∈Z 值域 [-1,1] [-1,1] R

单调性 在[-∏/2+2k∏, 在[-∏+2k∏, 2k∏] 在[-∏/2+k∏,∏/2+k∏] ∏/2+2k∏] 上递增k∈Z 上递增k∈Z

上递增，k∈Z

在[∏/2+2k∏, 在[2k∏, 2k∏+∏]

3∏/2+2k∏] 上递减k∈Z

上递减，k∈Z

最值 x=∏/2+2k∏时 x=2k∏时 无

ymax=1( k∈Z） ymax=1( k∈Z） 最

x=3∏/2+2k∏时 x=2k∏+∏时 值

ymax=-1( k∈Z） ymax=-1( k∈Z）

奇偶性 奇 偶 奇

对称中心 (k∏ ,0) (k∏+∏/2,0) (k∏/2,0)

对称轴 x=k∏+∏/2,k∈Z x=k∏,k∈Z ……

周期 2∏ 2∏ ∏

四、函数y=Axsin(ωx+ν)的图像及三角函数模型的简单应用

1相关概念

y=Axsin(ωx+v)（A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时

振幅:A

周期:T=2∏/ω

频率：f=1/T

相位：ωx+V

初相：V

2、用五点法画y=Axsin(ωx+v)一周期内的简图

利用五点法，如下表所示

x -V/ω (2∏-V)/ω (∏-V)/ω (3∏/2-V)/ω

ωx+V 0 ∏/2 ∏ 3∏/2

y=Axsin(ωx+v) 0 A 0 -A 0

五、两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式

C（a-B):cos(a-B)=cosacosB+sinasinB

C（a+B):cos(a+B)=cosacosB-sinasinB

S（a-B):sin(a-B)=sinacosB-cosasinB

S（a+B):sin(a+B)=sinacosB+cosasinB

T（a+B):tan(a+B)=(tana+tanB)/(1-tanatanB)

T（a-B):tan(a-B)=(tana-tanB)/(1+tanatanB)

2、二倍角的正弦、余弦、正切公式

S(2a):sin(2a)=2sinacosa

C(2a):cos(2a)=1-2(sina)^2=2(cosa)^2-1=(cosa)^2-(sina)^2

T(2a)=2tana/[1-(tana)^2]

3、公式的逆用及有关变形 (2∏-V)/ω2∏

tana±tanB=tan(a±+B)(1－(＋)tanatanB）

sinacosa=1/2*sin2

1+sin2a=(sina+cosa)^2

1-sin2a=(sina-cosa)^2

sina+cosa=√2sin(a±∏/4)

(sina)^2=(1-cos2a)/2

(cosa)^2=(1+cos2a)/2

(tan)^2=(1-cosa)/(1+cosa)

4、角的变换

a=(a+B)-B

B=(a+B)-a

2a=(a+B)+(a-B)

2B=（a+B）-（a-B)

2两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα2cosβ-sinα2sinβ

cos(α-β)=cosα2cosβ+sinα2sinβ

sin(α±β)=sinα2cosβ±cosα2sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα2tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα2tanβ)

2辅助角公式：

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

2倍角公式：

sin(2α)=2sinα2cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

2三倍角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

2半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

2降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

2万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

2积化和差公式：

sinα2cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα2sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα2cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα2sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

2和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

2其他：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

 

第二篇：三角函数知识点总结

三角函数

3、弧长公式：.       扇形面积公式：

5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

“一全正；二正弦；三两切；四余弦”。意思：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”； 第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”； 第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”； 第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。

7. 三角函数的定义域：

8、同角三角函数的基本关系式：    

    

  

9、诱导公式：

“奇变偶不变，符号看象限” “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。

sin（π/2+α）=cosα

　　cos（π/2+α）=－sinα

　　tan（π/2+α）=－cotα

　　cot（π/2+α）=－tanα

　　sec(π/2+α)=-cscα

　csc(π/2+α)=secα

 三角函数的公式：（一）基本关系

                                            

                 

                                                 

        

                         

（二）角与角之间的互换

公式组一                                  公式组二

  

  

       

  

              

          

公式组三                    公式组四                                   

       

  

    

,,,.   

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

注意：①与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.

②与的周期是.

③或（）的周期.

的周期为2（，如图，翻折无效）.

⑤当·；·.

⑥与是同一函数,而是偶函数，则

.

⑦函数在上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）

奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）

⑨不是周期函数；为周期函数（）；

是周期函数（如图）；为周期函数（）；

的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

.

⑩ 有.

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．

函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期，频率，相位初相（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）

由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

4、反三角函数：

函数y＝sinx，的反函数叫做反正弦函数，记作y＝arcsinx，它的定义域是［－1，1］，值域是．

函数y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函数y＝tanx，的反函数叫做反正切函数，记作y＝arctanx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是．

函数y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

一、反三角函数.

1. 反三角函数：⑴反正弦函数是奇函数，故，（一定要注明定义域，若，没有与一一对应，故无反函数）

注：，，.

⑵反余弦函数非奇非偶，但有，.

注：①，，.

②是偶函数，非奇非偶，而和为奇函数.

⑶反正切函数：，定义域，值域（），是奇函数，

，.

注：，.

⑷反余切函数：，定义域，值域（），是非奇非偶.

，.

注：①，.

②与互为奇函数，同理为奇而与非奇非偶但满足.

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