二次函数
I.定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线]
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系: h=-b4ac?b k=2a4a2x1,x2=?b?b?4ac
2a2
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 bx = -。 2a
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为 b4ac?b2
P [ - , ]。 2a4a
当-b=0时,P在y轴上;当Δ= b2-4ac=0时,P在x轴上。 2a
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
V.二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程), 即ax2+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.定义:一般地,如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数,a?0),那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y?ax2的性质
(1)抛物线y?ax2的顶点是坐标原点,对称轴是y轴. (2)函数y?ax2的图像与a的符号关系.
①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;
②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点.
2
(3)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y?ax(a?0).
3.二次函数 y?ax2?bx?c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.
b4ac?b2
,k?4.二次函数y?ax?bx?c用配方法可化成:y?a?x?h??k的形式,其中h??. 2a4a
2
2
5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①y?ax2;②y?ax2?k;③y?a?x?h?;④
2
y?a?x?h??k;⑤y?ax2?bx?c.
2
6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.
①a的符号决定抛物线的开口方向:当a?0时,开口向上;当a?0时,开口向下;
a相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y轴(或重合)的直线记作x?h.特别地,y轴记作直线x?0.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
b?4ac?b2?2
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法:y?ax?bx?c?a?x?,∴顶点是??
2a?4a?
bb4ac?b2
(?),对称轴是直线x??.
2a2a4a
(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式,得到顶点为(h,k),对称
2
2
轴是直线x?h.
(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛
物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9.抛物线y?ax2?bx?c中,a,b,c的作用
(1)a决定开口方向及开口大小,这与y?ax2中的a完全一样.
(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax2?bx?c的对称轴是直线
x??
bbb
,故:①b?0时,对称轴为y轴;②?0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;③?0
aa2a
(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.
(3)c的大小决定抛物线y?ax?bx?c与y轴交点的位置.
2
当x?0时,y?c,∴抛物线y?ax?bx?c与y轴有且只有一个交点(0,c):
2
①c?0,抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴;③c?0,与y轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
b
?0. a
11.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:y?ax?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式. (2)顶点式:y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
2
2
(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:y?a?x?x1??x?x2?. 12.直线与抛物线的交点
(1)y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c).
2
(2)与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax2?bx?c有且只有一个交点(h,ah?bh?c).
(3)抛物线与x轴的交点
二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程
ax2?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判
定:
①有两个交点???0?抛物线与x轴相交;
②有一个交点(顶点在x轴上)???0?抛物线与x轴相切; ③没有交点???0?抛物线与x轴相离. (4)平行于x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为
k,则横坐标是ax2?bx?c?k的两个实数根.
2
(5)一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的交点,由方程组
y?kx?ny?ax?bx?c
2
?l与G有两个交点; ②方程组只有
一组解时?l与G只有一个交点;③方程组无解时?l与G没有交点.
(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线y?ax?bx?c与x轴两交点为A?x1,0?,B?x2,0?,由于
2
x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根,故 bc
x1?x2??,x1?x2?
aa
AB?x1?x2?
x1?x22
b2?4ac?b?4c2
?x1?x2?4x1x2???????
aaa?a?
2
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