二次函数的性质

1、二次函数的图像是抛物线.

2、二次函数的三种形式: 

一般式: 

 顶点式:;

交点式:.

3、一般地,抛物线与的形状相同,位置不同.

把抛物线向上(下)向左(右)平移,可得到抛物线.

平移法则：左加右减、上加下减。

      抛物线有如下特点:

      (1)当时,开口向上,函数有最小值;当时,开口向下,函数有最大值;

      (2)对称轴是;

      (3)顶点是.

4、二次函数的图像有如下特点：

1顶点是：，对称轴是：，与轴的交点是.

2开口方向：时，开口向上；时，开口向下.

3增减性：当，在时，随的增大而减小，在时,随的增大而增大；

当时，在时，随的增大而增大，在时,随的增大而减小.

4最值:当时，函数有最小值,且当时，有最小值是；

当时，函数有最大值,且当时，有最大值是.

5开口大小:越大抛物线的开口越小,反之越大.

4、我们可以利用根的判别式来判断函数与轴交点的个数    

      (1)当时,抛物线与轴有两个交点;

      (2)当时,抛物线与轴有一个交点;

      (3)当时,抛物线与轴无交点.

抛物线与轴的交点是.

 

第二篇：二次函数最全性质总结

一、 二次函数表达式

①一般式 y=ax+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

②顶点式 [抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)+k

二、 抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b)/4a )

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线开口向上；

当a<0时，抛物线开口向下。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

|a|越小，则抛物线的开口越大。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b-4ac =0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b-4ac c<0时，抛物线与x轴没有交点。

7．当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac- b/4a；

当x<-b/2a时是减函数，当x>-b/2a时是增函数；

8、括号内的是平移x，左加右减，括号外是平移y，上加下减

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)+k的图象；

研究抛物线 y=ax+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h) +k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．

9．抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b]/4a)．

10．抛物线y=ax+bx+c(a≠0)，

若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大． 若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．

10、应用题的两个公式：1、增长率：设平均增长率为x，增长的次数为n ，增长前的数量为a，增长后的数量为b，则存在等式关系：a(1+x)=b

2、单循环比赛：若有n个队，规定每两个队之间都要进行一场比赛，则每个队要赛n-1场，n个队共比赛的场数为n(n-1)/2

n个人互送礼物，共要送多少次，或一共送了多少礼物：n(n-1) n 222222222222222