二次函数知识点总结

1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.

2.二次函数 的性质

（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.

（2）函数 的图像与 的符号关系.

①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；

②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .

3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.

4.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中 .

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

① 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下； 相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法： ，∴顶点是 ，对称轴是直线 .

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线 中， 的作用

（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.

（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线

，故：① 时，对称轴为 轴；② （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；③ （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.

（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.

当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：

① ，抛物线经过原点; ② ,与 轴交于正半轴；③ ,与 轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标

 

第二篇：二次函数知识点总结

二次函数知识点总结及相关典型题目

? 相关概念及定义

b，c是常数，a?0）的函数，? 二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，

c叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，

可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

? 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，

? 二次函数各种形式之间的变换

? 二次函数y?ax2?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中2b4ac?b2

h??，k?. 2a4a

? 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax2；②y?ax2?k；③y?a?x?h?；④y?a?x?h??k；⑤y?ax2?bx?c.

? 二次函数解析式的表示方法

? 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； 22

? 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；

? 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

? 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

? 二次函数y?ax的性质

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