第二章  整式的加减

知识点1、单项式的概念

式子,它们都是数或字母的积，象这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

注意：单项式是一种特殊的式子，它包含一种运算、三种类型。

一种运算是指：数与字母、字母与字母之间只能是乘法的一种运算，不能有加、减、除等运算符号；

三种类型是指：一是数字与字母相乘组成的式子，如；二是字母与字母组成的式子，如；三是单独的一个数或字母，如。

知识点2、单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

注意：

（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是2；的系数是，2.7m的系数是2.7。

（2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号，如-2xy的系数是－2

（3）对于只含有字母因素的单项式，其系数是1或－1，不能认为是0，如－的系数是－1；的系数是1。（单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。 单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。）

（4）表示圆周率的，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2xy的系数就是2

（5）单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

知识点3、单项式的次数:一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

注意：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母Z的指数是1而不是0.

     （2）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数。

     （3）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式－的次数是2＋3＋4=9而不是13次。

     （4）单项式通常根据实验室的次数进行命名。如是一次单项式，是三次单项式。

     （5）单独的一个非零常数的次数是0。

知识点4、多项式的有关概念

      （1）多项式：几个单项式的和叫做多项式。

      （2）多项式的项：多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

      （3）常数项：不含字母的项叫做常数项。

      （4）多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数。

      （5）一个多项式有几项，就叫做几项式。

注意：a、概念中“几个单项式的和”是指两个或两个以上的单项式相加。如,2＋3－7等这样的式子都是多项式。

b、多项式的每一项都包含前面的符号，如多项式－共有三项，它们分别是－,,－9,一个多项式中含有几个单项式就说这个多项式是几项式如－共有三项，所以就叫三项式。

c、多项式的次数不是所有项的次数之和，也不是各项字母的指数和，而是组成这个多项式的单项式中次数最高的那个单项式的次数，如多项式－是由三个单项式－,,－9组成，而在这三个单项式中－的次数最高，且为4次，所以这个多项式的次数就是4.这是一个四次三项式。对于一个多项式而言是没有系数这一说法的。

知识点5、整式：单项式和多项式统称为整式。

1、单项式或多项式都是整式。2、整式不一定是单项式。3、整式不一定是多项式。4、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

整式和分式

1、没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

2、有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。

②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。

3、整式的书写

（1）书写含乘法运算的式子

a、字母与字母相乘、数字与字母相乘、数字（字母）与带括号的式子相乘、带括号的式子之间相乘时，其乘号可以不写或写作“”，但对于数字与数字相乘时乘号则不能省略，也不能用“”。

b、数字与字母相乘，数字与带括号的式子相乘时除中间乘号可以省略不写之外，还必须把数字写在字母或括号的前面。

c、带分数一定要化成假分数。

（2）书写含除法运算的式子

当式子中出现含有字母的除法运算时，结果一般不用“÷”，而改成分数线，如应写作，应写作

     （3）书写含单位名称的式子     a、遇和差，括号加       b、是积商，直接放

四、整式的加减

1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。

2、去括号法则：如果括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；如果括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变符号。

(1)、直接去括号     (2)、合并后去括号    (3)、利用分配律去括号   　(4) 、从外向内去括号    (5)、由小括号到大括号　　　　　　　　

3、同类项的概念： 像与－,与这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。

注意：a、同类项必须具备两个条件：所含字母相同；相同字母的指数也分别相同。二者缺一不可。

      b、同类项与系数、字母的排列顺序无关。

      c、所有的常数项都是同类项，单独的一项不能说是同类项，同类项至少针对两项而言。

4、合并同类项

（1）定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

（2）法则：合并同类项后，所得系数是合并前各同类项系数的和，且字母部分不变。

合并同类项步骤：

　      a．准确的找出同类项。

b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。

　　    c．写出合并后的结果。

（3）它可以用“一变”、“两不变”来概括。“一变”是指同类项的系数变；“两不变”是指相同字母和相同字母的指数不变。

口诀：同类项，需判断，两相同，是条件。合并时，需计算，系数加，两不变。

注意：a、系数相加时，一定要带上各项前面的符号。

      b、合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项。也不要漏掉不能合并的项。

      c、只有是同类项才能合并。

      d、只要不再有同类项，就是结果，合并同类项的结果可能是单项式也可能是多项式。

　　  e.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.

说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。

4、代数式求值的一般步骤：（1）代数式化简（2）代入计算（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。

五、同底数幂的乘法

1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作aⁿ，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，aⁿ的结果叫做幂。

2、底数相同的幂叫做同底数幂。

3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：a^m﹒aⁿ=a^m+n。

4、此法则也可以逆用，即：a^m+n = a^m﹒aⁿ。

5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。

六、幂的乘方

1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（a^m）ⁿ表示n个a^m相乘。

2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（a^m）ⁿ =a^mn。

3、此法则也可以逆用，即：a^mn =（a^m）ⁿ=（aⁿ）^m。

七、积的乘方

1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。

2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即（ab）ⁿ=aⁿbⁿ。

3、此法则也可以逆用，即：aⁿbⁿ =（ab）ⁿ。

八、同底数幂的除法

1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a^m÷aⁿ=a^m-n（a≠0）。

2、此法则也可以逆用，即：a^m-n = a^m÷aⁿ（a≠0）。

九、零指数幂

1、零指数幂的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a⁰=1（a≠0）。

十、负指数幂

1、任何不等于零的数的―p次幂，等于这个数的p次幂的倒数。注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。

十一、整式的乘法

（一）单项式与单项式相乘

1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、系数相乘时，注意符号。

3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。

4、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。

5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。

6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。

（二）单项式与多项式相乘

1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。

即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。

2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。

（三）多项式与多项式相乘

1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。

2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。

3、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。

4、运算结果中有同类项的要合并同类项。

5、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab。

十二、平方差公式

1、（a+b）(a-b)=a²-b²，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

2、平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。

3、平方差公式可以逆用，即：a²-b²=（a+b）(a-b)。

十三、完全平方公式

1、(a±b)=a±2ab+b即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

2、公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式。

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：

① 位置变化，(x+y)(-y+x)=x²-y²

② 符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)²-y²= x²-y²

③ 指数变化，(x²+y²)(x²-y²)=x⁴-y⁴

④ 系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a²-b²

⑤ 换式变化，

[xy+(z+m)][xy-(z+m)]

=(xy)²-(z+m)²

=x²y²-(z+m)(z+m)

=x²y²-(z²+zm+zm+m²)

=x²y²-z²-2zm-m²

⑥ 增项变化，

(x-y+z)(x-y-z)

=(x-y)²-z²

=(x-y)(x-y)-z²

=x²-xy-xy+y²-z²

=x²-2xy+y²-z²

⑦ 连用公式变化，

(x+y)(x-y)(x²+y²)

=(x²-y²)(x²+y²)

=x⁴-y⁴

⑧ 逆用公式变化，

(x-y+z)²-(x+y-z)²

 =[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]

 =2x(-2y+2z)

 =-4xy+4xz

十四、整式的除法

（一）单项式除以单项式的法则

1、单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

2、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。

（二）多项式除以单项式的法则

1、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

2、多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号。

 

第二篇：整式知识点总结

知识点归纳：

1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：{ EMBED Equation.3 |?2abc的 系数为，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：，项有、、、1，二次项为、，一次项为，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列：

如：

按的升幂排列： 按的降幂排列：

按的升幂排列： 按的降幂排列：

5、同底数幂的乘法法则：（都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

如：

6、幂的乘方法则：（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：

幂的乘方法则可以逆用：即如：

7、积的乘方法则：（是正整数）

积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（=

8、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且

同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：

9、零指数和负指数；，即任何不等于零的数的零次方等于1。

（是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。

如：

10、科学记数法：如：0.00000721=7.21（第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方）

11、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：

12、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即(都是单项式)

注意：①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。

如：

13、多项式与多项式相乘的法则；

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

如：

① 2

14、平方差公式：注意平方差公式展开只有两项

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如：

15、完全平方公式：

公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意：

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，乘积的2倍在中央。

16、三项式的完全平方公式：

17、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式如：

18、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：

②