不等式的证明方法

【摘要】不等式是数学中的重要工具，不等式的证明方法比较多，本文给出了不等式的常规证法，同时结合导数与积分知识给出两种证明不等式的方法。

【关键词】不等式证明；常用证明方法；函数单调性；定积分

不等式是高中数学的重要组成部分，也是数学中的一个重要工具，而不等式的证明是高中数学中难点之一。由于其题型广泛，涉及面广，技巧性强，证法灵活，本文通过一些例子，归纳整理了一些证明不等式时的常用方法和技巧，并且结合高等数学知识，来证明一些比较困难的不等式，使之过程更加简洁、易懂。

一、初等数学中常用来证明不等式的方法

1.比较法。这是一种证明不等式的最基本的方法，具体有“作差法”和“作商法”两种。此法体现了化归的思想方法，其基本证明思想是把难以比较的式子变成其差与0比较大小，或者其商与1比较大小。一般情况下，若求证的不等式两端是分式时，常用作差法；若求证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常用作商法来比较。

2.综合法。由已知条件出发，借助某些已经证明过的不等式和不等式的性质及其有关定力，经过逐步的逻辑推理，到处所要证明的不等式成立。此法的特点是“由因导果”，即从“已知”看“已知”，逐步推向“未知”。

3.分析法。从结论出发，寻找命题成立的充分条件，知道这个条件是可以证明或已经证明的不等式，或者是已经成立的结论，由此便可推到出原不等式成立。此法的特点是“执果索因”，常用的形式是“欲证…，只需证…”。

4.换元法。这是一种使许多实际问题解决中祈祷化难为易，化繁为简作用的方法，有些问题直接证明较为困难，若通过换元的方法去解则很方便，常用于条件不等式的证明，常见的是“三角换元法”和“比值换元法”。

①三角换元法：这是一种常用的换元方法，在解决代数问题时，使用适当的三角函数进行换元，把代数问题转化为三角问题，再充分利用三角函数的性质去解决问题，常见的有如下几种形式： 则令则令则令②比值换元法：此法对于在已知条件中含有许多个等比式的问题，通常可先设一个辅助未知数表示这个比值，然后代入要求证的式子即可。

5.放缩法。这种方法是在证明不等式时，把不等式一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明不等式。此法是证明不等式的重要方法，技巧性强。一般用到的技巧有：①舍去一些正项或负项。②在和或积中换大或换小某些项。③扩大或缩小分式的分子或分母等。

6.反证法。某些不等式从正面出发，不容易下手，可以考虑反证法。即先否定结论不成立，然后再依据已知条件及其相关定义、定理、公理等，逐步推导出与这些相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的。一般情况下，凡是出现“至少”、“唯一”或者含有否定的命题，适用反证法。此法的步骤为：反设结论找出矛盾肯定结论。

7.数学归纳法。此法一般用来证明与自然数N有关的不等式，在证明过程中需要分两个步骤，这两个缺一不可。

8.判别式法。此法借助于二次函数中，判别式恒小于0，得出二次函数恒大于0，或者恒小于0。

二、高等数学中用来证明不等式的方法

1.利用函数单调性证明。理论依据：若函数在区间内可导，则在内单调递增（或单调递减）的充要条件是（或）。

由于不等式与函数有密切关系，因此，据求证的不等式构造出函数，利用函数的单调性可以证明某些不等式，此方法尤其适用于函数不等式的证明。

例如：证明当时，证明：设，这里，由于，则有，从而在内单调递增，则有，即 ,也即。证毕

2.利用定积分的性质证明不等式。理论依据：设f,g为定义[a,b]在上两个可积函数，若，则有。

定积分是借助于积分学的知识，证明不等式的一种方法，它主要利用积分的基本公式、基本性质、基本定理证明不等式。

例如:已知x>1，求证：。证明：构造函数，取，则，从而由此可得：即： ，证毕.

此题如果要用作差法来证明，困难较大，中间还要用到判别式法等综合知识，具体证明过程如下：

先证明 =

其中，这根据，可得.

因此，对于x>1，则有.

下证

其中，这根据，可得.

因此，对于x>1，则有.

综上所述，结论得到证明。

不等式的证明这类题型，不仅能检验学生的数学基础知识掌握程度，又能衡量学生的数学水平，本文只是粗略的归纳了一些常用方法，通过不断的深入学习，知识的不断积累，相信以后有更多的方法来解决此类问题。

参考文献：

[1]郭大钧.非线性泛函分析(第二版)[M].济南:山东科学技术出版社,20xx.等

 

第二篇：2不等式的证明一

不等式的证明(一)

 【知识点精讲】

1. 比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：

   ①比差法：要证a>b，只须证a-b>0。

②比商法：要证a>b且b>0，只须证 0。

说明：①作差比较法证明不等式时， 通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；②一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；③证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。

2.       综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。证明时要注意字母是否为正和等号成立的条件。

基本不等式：(1)若则 当且仅当a=b时取等号。

          (2)

          (3)a,b同号,   

3.   分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程

4.   重点难点: 作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”；作商比较法的顺序是“作商---变形---判断商式与1的大小”（注意商式的分子分母均正）；综合法证明不等式是“由因导果”。

5.        思维方式: 掌握证明不等式的常用方法，对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法加以证明。

6.  特别注意: 在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。

【例题选讲】

例1、已知a,b∈R,求证:  a²+b²+1>ab+a

证明：p= a²+b²+1-ab-a==

显然p>0    ∴得证

[思维点拔] 作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”. 通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断

例2、P87例1.  设求证

【分析】不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明。

【证法一】左边-右边=

 =

 =  = ∴原不等式成立。

【证法二】左边>0，右边>0。

 ∴原不等式成立。

[思维点拔] 用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二。

例3、P87例2已知a,b,x,y

[思维点拔] 观察特征,用比较法或分析法

例4、设x>0,y>0且x≠y,求证

证明：由x>0,y>0且x≠y,要证明

只需      即

只需

由条件,显然成立.∴原不等式成立

[思维点拔] 分析法证明不等式是“执果索因”, 要注意书写的格式

练习: .若a、b、c是不全相等的正数，

求证：

【分析】根据本题的条件和要证明的结论，既可用分析法由可用综合法。

【证法一】（综合法）：，，，

 又∵a、b、c是不全相等的正数，∴有。

∴ 即

【证法二】 （分析法）要证

即证成立。只需证成立。

∵，，。∴   （*）

又∵a、b、c是不全相等的正数，∴（*）式等号不成立。

∴原不等式成立。

例5.(P88例3)

某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6t每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支出运费900元

(1).求该厂多少天购买一次面粉.才能使平均每天所支付的总费用最小;

(2)若提供面粉的公司规定:当一次性购买面粉不少于210t时,其价格可优惠9折,问该厂是否考虑利用此优惠条件?说明理由.

 [点评]

【课堂小结】

不等式的比较法、综合法、分析法合称三种基本方法，是最常用的方法

比较法：①比差法：要证a>b，只须证a-b>0。

②比商法：要证a>b且b>0，只须证 0

综合法：证明时要注意字母取值范围和等号成立的条件

分析法：要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程

【作业布置】

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