口腔材料学考点归纳(4500字)

来源:m.fanwen118.com时间:2021.6.10

美国牙科协会ADA

2. 国际牙科联盟FDI

3. 国际标准化组织ISO

4. 牙科学技术委员会ISO/TC106

ISO标准委员会TC99

6. 热膨胀系数是描述物体长度(或体积)随温度变化的物理量,当用长度的变化表示热膨胀系数时,称为线胀系数当用体积的变化来表达热膨胀系数时,则称为体胀系数

7. 在电解质溶液中,异种金属相接触,由于不同金属之间的电位不同,将会出现电位差,导致微电流,这种性质称为流电性

8. 任何色彩具备有三个基本要求,即色相.明度和彩度

9. 弹性极限是一个应力值,是物体在即将形变还未形变时所受的最大应力值

10. 材料在断裂过程中产生的最大应力值称为极限强度

11. 材料与外界介质之间发生反应,而使材料被破坏或材料变质的形象,称为腐蚀.最常见的腐蚀现象为金属及合金的腐蚀,主要分为化学腐蚀和电化学腐蚀

12. 生物性能的三个特点一.生物安全性.二.生物相容性.三.生物功能性

13. 藻酸盐的性质:弹性不可逆

14. 胶结剂的主要成分是硫酸钙.即石膏粉

15. 藻酸钾印模材料一般调和水粉比为2:1,调和时间为30~45秒.印模材料使用中还应该注意的问题:1)调拌工具要清洁;2)调伴比例应适当;3)调和时间应适当;4)调拌要一个方向,调拌均匀,减少气泡;5)制取印模时操作应规范;6)印模制取后应立即灌注模型,或置于固定液中;7)因粉剂中的硫酸钙易吸水导致材料凝结,故在使用后应密封,保存于干燥.阴凉处,材料储存期一般不超过一年

16. 硅橡胶根据聚合温度的不同,分为缩合型硅橡胶印模材料和加成型硅橡胶印模材料

17. 琼脂的性质是可逆性的弹性水胶体.琼脂作为印模材料是利用凝胶和溶胶之间的转化,目的为复制模型.溶胶转变为凝胶温度介于36~40度,凝胶转变为溶胶的温度是60~70度

18. 印模膏(性质)又称印模胶,是一种温度固化型的非弹性可逆性印模材料

19. 影响石膏凝固质量与凝固速度的因素1)熟石膏的质量.2)水粉的比例3)调拌时间和速度4)水温的影响5)加速剂与缓凝剂

石膏模型在15分钟内产生初凝,1小时基本凝固,24小时完全凝固,强度达最高

20. 熟石膏粉水比例是100g:45~50ml,人造石是100g:25~35ml,超硬石膏是100g:22ml

21. 基托蜡又称基板蜡.红蜡片,是一种临床常用蜡.分常用蜡和夏用蜡,或称通常气候用(红色:软化温度38~40度)和高温气候用(淡红色:软化温度46~49度)蜡.

22. 甲基丙烯酸甲酯是牙托水的主要成分.甲基丙烯酸甲酯的均聚粉(PMMA)或共聚粉:是牙托粉的主要成分加热固化型基托树脂中的热工艺处理中的调和后的分期:1)湿沙期2)稀糊期3)粘丝期4)面团期:填塞型盒的最佳时期。5)橡胶期6)坚硬期

23. 自凝树脂由粉剂和液剂两部分组成,粉剂也叫自凝牙托粉,液剂叫自凝牙托水。常用于义齿重衬.义齿修理.临时义齿等。也用于制作正畸活动矫治器.个别托盘牙周夹板.腭护板

24. 包埋材料主要组成是能耐高温的二氧化硅,中低熔合金铸造包埋材料,又称为石膏类包埋材料,适用于铸造熔化温度在1000度以下的中低熔合金的铸造包埋,如金合金。高熔合金铸造包埋材料适用于铸造熔化温度在1000度以上的高熔点合金的铸造包埋。

25. 合金是两种或两种以上的金属元素,或金属与非金属元素熔合在一起所组成的具有金属特性的物质

合金的性质与纯金属的不同在于(1)熔点与凝固点:合金的熔点要小于合金中单一金属的熔点,纯金属的熔点与凝固点温度相同。合金开始熔化与最后完全熔化的温度相差较大,在凝固时也是。合金的熔点是开始熔化的温度,凝固点则是开始凝固的温度。合金的熔点一般比凝固点低,通常将这两个温度参数作为合金的熔化范围(2)延性.展性.韧性:合金的延性及展性一般均较所组成的金属为低,而韧性则增高(3)硬度:合金的硬度较其所组成的金属高。金属和合金热处理后均可改变其原有的硬度(4)导电和导热性:合金的导电性.导热性低于原有金属,其中导电性减弱明显(5)色泽:与所组成的金属有关(6)腐蚀性:金属及合金收周围介质的化学作用而发生的损坏现象称为腐蚀。合金的腐蚀视其结构及组成不同而异

26. 金属的形变分为三个阶段:弹性形变.塑性形变.断裂

27. 金属的四种成形法:铸造.锻造.粉末冶金和电铸

28. 锻制18-8铬镍不锈钢由于具有优良的抗腐蚀性能,很早就应用于口腔修复和正畸

29. 铸造合金按其熔化温度范围分为三类:高熔铸造合金(1100度以上).中熔铸造合金(501~1100度).低熔铸造合金(500度以下)

30. 贵金属包括金.银和铂族金属,钛不是贵金属

31. 非贵金属铸造合金是指不含金.银.铂或钯等贵金属元素的合金.铸造合金主要为钴铬合金.镍铬合金.钛及钛合金.铜基合金

32. 烤瓷熔附合金的性能要求特点(1)合金的熔点必须高于相匹配瓷粉的烧结温度,以保证金属基底在瓷的烧结程序中不会熔融或变形(2)良好的机械性能,在口腔内要有承受咬合力不变形的强度,以支持脆性比较大的瓷层(3)合金与瓷的热膨胀系数必须匹配,要求烤瓷材料的热膨胀系数略小于烤瓷合金,使瓷层处于压应力状态,两者之差在0~0.5*10-6度的范围内最为理想(4)合金与瓷能牢固结合并且耐用性好。在两者结合之中,瓷的组成,合金及添加微量元素的种类,合金表面生成的氧化膜等,均有重要作用(5)合金应具有良好的生物相容性,符合生物医学材料的基本要求(6)在加工过程中不能产生有色的氧化物而影响美观

33. 陶瓷是多晶多相的聚集体,其显微结构通常由三种不同的相组成,即晶相(结晶相).玻璃箱(玻璃基质)及气相(气孔)组成

34. 常用的口腔陶瓷材料:长石质陶瓷.玻璃陶瓷.氧化铝陶瓷.氧化锆陶瓷

35. 金属烤瓷材料又分为:(1)不透明瓷(遮色瓷)(2)体瓷(透明瓷)(3)颈部瓷(龈瓷)(4)釉瓷

36. 金属烤瓷材料与金属的结合:1.金属结合2.物理结合3.压力结合4.化学结合

37. 研磨方法主要有机械研磨.电解质研磨.化学研磨.喷砂研磨.其中喷砂研磨最主要

38. 抛光膏剂:氧化锡.氧化铬.氧化铁(用于贵金属抛光).碳酸钙(也是牙膏中常用的磨光剂).浮石粉.硅藻土

39. 牙胶尖与根充糊剂联合应用是根管治疗的常规方法

碘仿糊剂多与牙胶尖联合应用于脓性.渗出性.感染坏死性根管。氢氧化钙类根管充填材料多用于乳牙即年轻恒牙的充填

41. 水门汀通常指金属盐或氧化物作为粉剂与专用液体调和而成的无机非金属材料,又称粘固剂。水门汀按组成不同可分为磷酸锌水门汀.氧化锌丁香酚水门汀.氢氧化钙水门汀.聚羧酸锌水门汀.玻璃离子水门汀和复合体等

42. 磷酸锌水门汀几乎不溶于水,但能被酸性物质所溶解,含氟磷酸锌的溶解度更大些

43. 磷酸锌水门汀在凝固时及凝固后能释放出游离磷酸,这是它刺激牙髓和牙龈的主要原因

44. 含丁香酚的水门汀对复合树脂有阻聚作用

45. 氧化锌丁香酚水门汀I型用作暂时粘固;II型用作修复体的永久粘固;III型用作暂时充填和垫底;IV型用作洞衬剂

46. 玻璃离子水门汀和复合树脂联合修复牙本质缺损的叠层修复技术,又称“三明治”修复术

47. 氢氧化钙适用于深龋的直接盖髓和间接盖髓,根尖发育尚未完成的年轻恒牙的根管充填和牙颈部.根面的脱敏治疗

48. 银汞合金在24小时后的压缩强度稳定

49. 蠕变是指材料在较小恒应力的作用下,应变(即塑性形变)随时间不断增加的形象

50. 调和好的银汞合金为膏状物,在15~20分钟内可塑性较大,可塑成任何形状,20分钟后可塑性逐渐减小

51. 汞的防护:1.汞应保存在坚固的容器中,最好采用胶囊包装2.调和银汞合金应在密闭情况下进行,可将银汞调和器置入银汞防护箱内加强保护3在良好换气环境中进行操作。.4.污染的地面或器械可用10%漂白粉或5%~10%三氯化铁溶液喷洒或清洗。5.从口腔内清除的银汞合金碎屑应保存在装有水或废弃的x线定影液中,以防止汞蒸气逸出6.银汞合金磨削时应保证喷水,避免对银汞合金加热,造成公游离。7.定期测定治疗室空气中的汞的含量,我国规定最高允许浓度为金属汞蒸气0.01mg/m3。8.对医务人员加强培训及定期测定体内的汞蓄积量。工作时应穿好工作服,戴帽子.口罩,戴手套等。9.由于银汞合金存在汞污染的问题,国内外学者均应立志于牙科无汞充填合金的研究。

52. 复合树脂是一类有机树脂基质和经过表面处理的无机充填材料以及引发体系组合而成的牙体修复材料,广泛用于各类牙体缺损的直接和间接修复

53. 大多数复合树脂的固化深度为2.0~3.0mm,分层固化,其中光照时间为20~60秒时,固化深度可增加5%~82%。

54. 导光头与树脂越近固化越深,反之固化越浅。导光头与树脂距离一般不超过3mm为宜

55. 化学固化型复合树脂固化过程中体积收缩趋向修复体中心,光固化型复合树脂固化趋向光源方向收缩

56. 复合树脂的应用:化学固化复合树脂一般有粉液包装和双糊剂包装,使用时调和粉.液或双糊剂,在一定范围内调整粉液比或两种糊剂的比例,可以改善固化时间。光固化复合树脂为但糊剂型。目前应用较多的是光固化型复合树脂,传统大颗粒填料复合树脂目前在临床已很少应用。双糊剂型复合树脂在一些后牙修复中有应用,也可用于桩核的制作。前牙用复合树脂主要用于III.V类洞的修复以及对美观要求高的IV类洞修复,还可用于前牙贴面修复。前后牙通用复合树脂虽然可用于后牙修复,但是,其中许多产品用于后牙修复是只能修复体积较少的缺损,后牙较大面积的缺损修复效果并不理想。可流动复合树脂适用于咬合力较小

部位的缺损的充填修复,如III.IV及浅V类洞的修复及微小I类洞修复,颌面窝沟点隙的扩展性封闭等。

57. 牙釉质的粘结程度:多采用37%的磷酸对牙釉质进行酸蚀处理

58. 树脂封闭剂的适应范围(1)后牙或前牙深的点隙窝沟,特别是可以插入或卡住探针的(包括可疑龋)(2)点隙窝沟处可疑龋的牙齿,特别是对侧同名牙患龋或有患龋倾向时。

59. 牙齿萌出后达到合平面即适宜做窝沟封闭,一般是在牙萌出后2年之内。乳磨牙在3~4岁,第一恒磨牙在6~7岁,第二恒磨牙在11~13岁时为最适宜封闭的时间

60. 牙膏的基本成分包括摩擦剂,洁净剂,湿润剂,胶粘剂,防腐剂,甜味剂,芳香剂,色素和水

61. 固定矫治器的有方丝弓矫治器.直丝弓矫治器.Begg细丝弓矫治器等

固定矫治器用金属材料分为带环.颊面管.托槽.弓丝.结扎丝.栓钉.其他金属


第二篇:高考数学考点归纳 6300字

高考数学考点归纳 导数的应用问题

利用导数求函数的极大(小)值,求函数在连续区间[a,b]上的最大最小值,或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸,这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化,因而已逐渐成为新高考的又一热点.本节内容主要是指导考生对这种方法的应用.

●难点磁场

(★★★★★)已知f(x)=x2+c,且f[f(x)]=f(x2+1)

(1)设g(x)=f[f(x)],求g(x)的解析式;

(2)设φ(x)=g(x)-λf(x),试问:是否存在实数λ,使φ(x)在(-∞,-1)内为减函数,且在

(-1,0)内是增函数.

●案例探究

[例1]已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值,且f(1)=-1.

(1)试求常数a、b、c的值;

(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值,并说明理由.

命题意图:利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入.是导数应用的关键知识点,通过对函数极值的判定,可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解.属★★★★★级题目.

知识依托:解题的成功要靠正确思路的选择.本题从逆向思维的角度出发,根据题设结构进行逆向联想,合理地实现了问题的转化,使抽象的问题具体化.这是解答本题的闪光点.

错解分析:本题难点是在求导之后,不会应用f′(±1)=0的隐含条件,因而造成了解决问题的最大思维障碍. 技巧与方法:考查函数f(x)是实数域上的可导函数,可先求导确定可能的极值,再通过极值点与导数的关系,建立由极值点x=±1所确定的相等关系式,运用待定系数法求值.

解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c

∵x=±1是函数f(x)的极值点,

∴x=±1是方程f′(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的两根. ?2b① ??0??3a由根与系数的关系,得?

② ?c??1??3a

又f(1)=-1,∴a+b+c=-1, ③

13由①②③解得a=,b?0,c?, 22

13(2)f(x)=x3-x, 22

333∴f′(x)=x2-=(x-1)(x+1) 222

当x<-1或x>1时,f′(x)>0

当-1<x<1时,f′(x)<0

∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上是减函数.

∴当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1,

当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1.

[例2]在甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40 km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?

命题意图:学习的目的,就是要会实际应用,本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识,思想

方法以及能力.

知识依托:解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化,形式化,抽象成数学问题,再划归为常规问题,选择合适的数学方法求解.

错解分析:本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式.

技巧与方法:根据题设条件作出图形,分析各已知条件之间的关系,借助图形的特征,合理选择这些条件间的联系方式,适当选定变化,构造相应的函数关系.

解法一:根据题意知,只有点C在线段AD上某一适当位置,才能使总运费最省,设C点距D点x km,则 ∵BD=40,AC=50-x,

∴BC=BD2?CD2?x2?402

又设总的水管费用为y元,依题意有:

y=30(5a-x)+5ax2?402 (0<x<50)

y′=-3a+5ax

x?4022,令y′=0,解得x=30

在(0,50)上,y只有一个极值点,根据实际问题的意义,

函数在x=30(km)处取得最小值,此时AC=50-x=20(km)

∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处,可使水管费用最省.

解法二:设∠BCD=Q,则BC=40?,CD=40cotθ,(0<θ<),∴AC=50-40cotθ sin?2

40 sin?设总的水管费用为f(θ),依题意,有 f(θ)=3a(50-40·cotθ)+5a·

=150a+40a·5?3cos? sin?

(5?3cos?)??sin??(5?3cos?)?(sin?)?3?5cos??40a?∴f′(θ)=40a· sin2?sin2?

3令f′(θ)=0,得cosθ= 5

343根据问题的实际意义,当cosθ=时,函数取得最小值,此时sinθ=,∴cotθ=, 554

∴AC=50-40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处,可使水管费用最省.

●锦囊妙计

1.f(x)在某个区间内可导,若f′(x)>0,则f(x)是增函数;若f′(x)<0,则f(x)是减函数.

2.求函数的极值点应先求导,然后令y′=0得出全部导数为0的点,(导数为0的点不一定都是极值点,例如:y=x3,当x=0时,导数是0,但非极值点),导数为0的点是否是极值点,取决于这个点左、右两边的增减性,即两边的y′的符号,若改变符号,则该点为极值点;若不改变符号,则非极值点,一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得,但可得函数的极值点一定导数为0.

3.可导函数的最值可通过(a,b)内的极值和端点的函数值比较求得,但不可导函数的极值有时可能在函数不可导的点处取得,因此,一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较,如y=|x|,在x=0处不可导,但它是最小值点.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)设f(x)可导,且f′(0)=0,又limx?0f?(x)=-1,则f(0)( ) x

A.可能不是f(x)的极值 B.一定是f(x)的极值

C.一定是f(x)的极小值 D.等于0

2.(★★★★)设函数fn(x)=n2x2(1-x)n(n为正整数),则fn(x)在[0,1]上的最大值为( )

A.0 B.1 C.(1?2n) 2?n D.4(nn?1) n?2

二、填空题

3.(★★★★)函数f(x)=loga(3x2+5x-2)(a>0且a≠1)的单调区间_________.

4.(★★★★)在半径为R的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_________时它的面积最大.

三、解答题

5.(★★★★★)设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.

6.(★★★★)设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.

(1)试确定常数a和b的值;

(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值,并说明理由.

7.(★★★★)已知a、b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底,求证:ab>ba.

4x?a8.(★★★★)设关于x的方程2x2-ax-2=0的两根为α、β(α<β),函数f(x)=2. x?1

(1)求f(α)·f(β)的值;

(2)证明f(x)是[α,β]上的增函数;

(3)当a为何值时,f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小?

[科普美文]新教材中的思维观点

数学科学具有高度的综合性、很强的实践性,不断的发展性,中学数学新教材打破原教材的框架体系,新增添了工具性、实践性很强的知识内容,正是发展的产物.新教材具有更高的综合性和灵活多样性,更具有朝气与活力,因此,把握新教材的脉搏,培养深刻严谨灵活的数学思维,提高数学素质成为燃眉之需.

新教材提升与增添的内容包括简易逻辑、平面向量、空间向量、线性规划、概率与统计、导数、研究型课题与实习作业等,这使得新教材中的知识内容立体交叉,联系更加密切,联通的渠道更多,并且富含更高的实用性.因此在高考复习中,要通过总结、编织科学的知识网络,求得对知识的融会贯通,揭示知识间的内在联系.做到以下几点:

一、深刻领会数学思想方法,把立足点放在提高数学素质上.数学的思想方法是数学的精髓,只有运用数学思想方法,才能把数学的知识与技能转化为分析问题与解决问题的能力,才能形成数学的素质.知识是能力的载体,领悟并逐步学会运用蕴含在知识发生发展和深化过程中,贯穿在发现问题与解决问题过程中的数学思想方法,是从根本上提高素质,提高数学科能力的必由之路,只有通过对数学思想方法的不断积累,不断总结经验,才能从知识型向能力型转化,不断提高学习能力和学习水平.

二、培养用化归(转化)思想处理数学问题的意识.数学问题可看作是一系列的知识形成的一个关系链.处理数学问题的实质,就是实现新问题向旧问题的转化,复杂问题向简单问题的转化,实现未知向已知的转化。虽然解决问题的过程不尽相同,但就其思考方式来讲,通常将待解决的问题通过一次又一次的转化,直至化归为一类已解决或很容易解决的问题,从而求得原问题的解答.

三、提高用函数方程思想方法分析问题解决问题的能力.函数思想的实质是抛开所研究对象非数学的特性,用联系和变化的观点,建立各变量之间固有的函数关系.与这种思想相联系的就是方程的思想,在解决数学问题时,将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数,用它来表示问题中的其他各量,根据题中隐含的等量关系去列方程,以求得问题的解决.

数学思维是科学思维的核心,思维的基石在于逻辑推理,逻辑思维能力是数学能力的核心,逻辑推理是数学思维的基本方法.

我国著名的数学家华罗庚先生认为,学习有两个过程:一个是“从薄到厚,一个是从厚到薄”,前者是“量”的积累,后者是“质”的飞跃.雄关漫道真如铁,而今迈步从头越,只要同学们在学习中不断积累,不断探索,不断创新,定能在高考中取得骄人战绩!

参考答案

难点磁场

解:(1)由题意得f[f(x)]=f(x2+c)=(x2+c)2+c

f(x2+1)=(x2+1)2+c,∵f[f(x)]=f(x2+1)

∴(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,

∴x2+c=x2+1,∴c=1

∴f(x)=x2+1,g(x)=f[f(x)]=f(x2+1)=(x2+1)2+1

(2)φ(x)=g(x)-λf(x)=x4+(2-λ)x2+(2-λ)

若满足条件的λ存在,则φ′(x)=4x3+2(2-λ)x

∵函数φ(x)在(-∞,-1)上是减函数,

∴当x<-1时,φ′(x)<0

即4x3+2(2-λ)x<0对于x∈(-∞,-1)恒成立

∴2(2-λ)>-4x2,

∵x<-1,∴-4x2<-4

∴2(2-λ)≥-4,解得λ≤4

又函数φ(x)在(-1,0)上是增函数

∴当-1<x<0时,φ′(x)>0

即4x2+2(2-λ)x>0对于x∈(-1,0)恒成立

∴2(2-λ)<-4x2,

∵-1<x<0,∴-4<4x2<0

∴2(2-λ)≤-4,解得λ≥4

故当λ=4时,φ(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,0)上是增函数,即满足条件的λ存在.

歼灭难点训练

一、1.解析:由limx?0f?(0)f?(0)=-1,故存在含有0的区间(a,b)使当x∈(a,b),x≠0时<0,于是当x∈(a,0)时f′xx

(0)>0,当x∈(0,b)时,f′(0)<0,这样f(x)在(a,0)上单增,在(0,b)上单减.

答案:B

2.解析:∵f′n(x)=2xn2(1-x)n-n3x2(1-x)n-1=n2x(1-x)n-1[2(1-x)-nx],令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=

易知fn(x)在x=

答案:D 2,2?n22222nnn+1时取得最大值,最大值fn()=n2()(1-)=4·() 2?n2?n2?n2?n2?n

loge(6x?5)?logae1或x<-2,f′(x)=2a.(3x2+5x-2)′=, (3x?1)(x?2)3x?5x?23

11①若a>1,则当x>时,logae>0,6x+5>0,(3x-1)(x+2)>0,∴f′(x)>0,∴函数f(x)在(, 33二、3.解析:函数的定义域是x>

+∞)上是增函数,x<-2时,f′(x)<0.∴函数f(x)在(-∞,-2)上是减函数.

②若0<a<1,则当x>11时,f′(x)<0,∴f(x)在(,+∞)上是减函数,当x<-2时,f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,33

-2)上是增函数

答案:(-∞,-2)

4.解析:设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h,那么

h=AO+BO=R+R2?x2,解得

x2=h(2R-h),于是内接三角形的面积为

S=x·h=(2Rh?h2)?h?(2Rh3?h4), ?1从而S??(2Rh3?h4)2(2Rh3?h4)? 21

?1h2(3R?2h)34223 ?(2Rh?h)(6Rh?4h)?32(2R?h)h1

令S′=0,解得h=3R,由于不考虑不存在的情况,所在区间(0,2R)上列表如下:

2

由此表可知,当x=

答案:3R时,等腰三角形面积最大. 23R 2

三、5.解:f′(x)=3ax2+1

若a>0,f′(x)>0对x∈(-∞,+∞)恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.

若a=0,f′(x)=1>0,∴x∈(-∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间,矛盾.

若a<0,∵f′(x)=3a(x+1

|a|)·(x-1

3|a|

)和(),此时f(x)恰有三个单调区间. ∴a<0且单调减区间为(-∞,-1

|a|13|a|,+∞),单调增区间为(-1

|a|, 1

3|a|).

6.解:f′(x)=a+2bx+1 x

a21+4b+1=0,解方程组可得a=-,b=-,∴362(1)由极值点的必要条件可知:f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且

f(x)=-21lnx-x2+x 36

21(2)f′(x)=-x-1-x+1,当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,2)时,f′(x)>0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)<0,故在33

542x=1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值-ln2. 633

7.证法一:∵b>a>e,∴要证ab>ba,只要证blna>alnb,设f(b)=blna-alnb(b>e),则

f′(b)=lna-aa.∵b>a>e,∴lna>1,且<1,∴f′(b)>0.∴函数f(b)=blna-alnb在(e,+∞)上是增函数,∴f(b)>bb

,设f(x)=f(a)=alna-alna=0,即blna-alnb>0,∴blna>alnb,∴ab>ba. 证法二:要证ab>ba,只要证blna>alnb(e<a<b),即证

数f(x)在(e,+∞)上是减函数,又∵e<a<b,

∴f(a)>f(b),即1?lnxlnx(x>e),则f′(x)=<0,∴函x2xlnalnb,∴ab>ba. ?ab

?8

a?16?a28.解:(1)f(α)=,f(β)= ?8a?16?a2,f(α)=f(β)=4

(2)设φ(x)=2x2-ax-2,则当α<x<β时,φ(x)<0,

(4x?a)?(x2?1)?(4x?a)(x2?1)?4(x2?1)?2x(4x?a) f?(x)??2222(x?1)(x?1)

2(2x2?ax?2)2?(x)?????0 (x2?1)2(x2?1)2

∴函数f(x)在(α,β)上是增函数

(3)函数f(x)在[α,β]上最大值f(β)>0,最小值f(α)<0,

∵|f(α)·f(β)|=4,∴当且仅当f(β)=-f(α)=2时,f(β)-f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4,此时a=0,f(β)=2

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