初中数学“圆”的知识点总结

发布者：贺雪峰 发布时间： 20xx-11-8 14:41:42

1、圆是定点的距离等于定长的点的集合

2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

4、同圆或等圆的半径相等

5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

11、推论1：

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等

13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

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圆 

知识点1  圆的有关概念

（1）           圆心和半径：圆心确定位置，半径确定大小。等圆或同圆的半径都相等。

（2）           弦：圆上任意两点之间的线段。直径是圆中最长的弦。

（3）           弧：圆上任意两点之间的部分。完全重合的弧叫做等弧（强调度数相等且长度相等）

（4）           三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

（5）           经过不在同一条直线上的三个点唯一确定一个圆。

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圆——知识点总结归纳

要点归纳

一．圆的认识 1．圆的定义

（1）在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周， 另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O 叫做圆心，线段OA叫做半径，如右图所示。

（2）圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集 合，定点为圆心，定长为圆的半径。

说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半 径相等的两个圆为等圆。 2．圆的有关概念

（1）弦：连结圆上任意两点的线段。（如右图中 的CD）。

（2）直径：经过圆心的弦（如右图中的AB）。 直径等于半径的2倍。

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。（如 右图中的CD、CAD）

其中大于半圆的弧叫做优弧，如CAD，小

于半圆的弧叫做劣弧。

（4）圆心角：如右图中∠COD就是圆心角。 3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。

（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。 （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4．过三点的圆。

（1）定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆。

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圆

圆的知识结构图：

一、圆的基本元素：

（一）确定圆的条件是圆心的位置和半径的长度，圆心相同，半径长度相同的两个圆为等圆。

圆的表示方法：以点为圆心的圆叫做“圆”，记作。

圆的基本元素：包括弦、弧、圆心角等，其中直径是过圆心的弦；半圆是直径所对的弧，弧还包括优弧和劣弧。优弧是较长的弧，表示为，劣弧是较短的弧，表示为。

顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆的对称性:

（二、）圆即是轴对称图形，又是中心对称图形

在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。

在一个圆中，如果弧相等，那么它所对的圆心角相等，所对的弦相等。

在一个圆中，如果弦相等，那么它所对的圆心角相等，所对的弧相等。

        垂径定理：垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。

   圆周角:

  

圆周角：定点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角。

（1）       定点在圆上

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1、圆是定点的距离等于定长的点的集合

2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

4、同圆或等圆的半径相等

5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线

7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

11、推论1：

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 。

12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等

13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦

相等，所对的弦的弦心距相等

15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

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圆的基本性质

1．半圆或直径所对的圆周角是直角.

2．任意一个三角形一定有一个外接圆.

3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆.

4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.

5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.

6．同圆或等圆的半径相等.

7．过三个点一定可以作一个圆.

8．长度相等的两条弧是等弧.

9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.

10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。

直线与圆的位置关系

1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切.

2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.

3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角.

4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.

5．垂直于半径的直线必为圆的切线.

6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.

7．垂直于半径的直线是圆的切线.

8．圆的切线垂直于过切点的半径.

圆与圆的位置关系

1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切.

2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦.

3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交.

4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条.

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【人教版】初中数学九年级知识点总结：24圆

【编者按】圆是初中数学的重要内容，也是初中阶段考试的重点和难点，多以大题、综合题、压轴题的形式出现，因此对于这部分内容同学们应引起格外的注意。本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．

一、目标与要求

1.了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理。

2.探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。

3.进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算。

4.熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算。

二、知识框架

  三、重点

  1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其运用．

  2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及其运用．

  3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．

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《圆》单元测试题

一、精心选一选，相信自己的判断！(每小题4分，共40分)

1.如图，把自行车的两个车轮看成同一平面内的两个圆，则它们的位置关系是（ ）

A.外离 B.外切 C.相交 D.内切

2.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ）

A．50° B．80° C．90° D．100°

B 第1题图 第2题图 第3题图 C 第4题 3.如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠BAC =（

）

A．90° B．60° C．45° D．30°（ ）

4. 如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为 ( )

A．25° B．30° C．40° D．50°

5.已知⊙O的直径为12cm，圆心到直线L的距离为6cm，则直线L与⊙O的公共点的个数为（ ）

A．2 B．1 C．0 D．不确定

6.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和7cm，两圆的圆心距O1O2 =10cm，则两圆的位置关系是（ ）

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