第七章一元一次不等式

1不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式

2不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。

1不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 3不等式的性质：○

2不等式的两边都乘（或除以）一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边都乘（或除 ○

以）一个负数，不等号的方向改变。

4解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似。

但是，在不等式两边都乘（或除以）同一个不等于0的数时，必须根据这个数是正数，还是负数，正确地运用不等式的性质2，特别要注意在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向。

5用一元一次不等式解决问题步骤：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量的及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键字“眼”，如“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”等的含义。

（2）设：设出适当的未知数。

（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式。

（4）解：解出所列不等式的解集。

（5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。

6一元一次不等式组：

由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。

不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集，求不等式组解集的过程叫解不等式组。

一元一次不等式组解决实际问题的步骤：与一元一次不等式解决实际问题类似，不同之处在与列出不等式组，并解出不等式组。

7一元一次不等式与一元一次方程、一次函数

当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量范围时，可以用一元一次不等式（组）确定另一个变量取值的范围。

第八章分式

1分式定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式A叫做分式，其中A是分B

式的分子，B是分式的分母。

2分式的基本性质： 分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示就是AA?MAA?M=，=(其中M是不等于0的整式) BB?MBB?M

根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫做分式的约分。

根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的通分。

与异分母的分数通分类似，异分母的分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

3同分母的分式相加减：分母不变，把分子相加减

异分母的分式相加减：先通分，再加减。

4分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

5分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

求分式方程的解，只要在方程的两边同乘各分式的最简公分母，有时就可以将分式方程转化为一元一次方程来解。

如果由变形后的方程求得的根不合适原方程，那么这种根叫做原方程的增根。

因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须检验。

有时，根据实际问题列出的分式方程虽然有解，但所求得的的解不符合实际意义，所以这个实际问题仍然无解。

第九章 反比例函数

1反比例函数：一般地，形如y=k(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其中x是自变量，y是x的函数，x

k是比例系数。

反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

2、一般地，反比例函数y=

反比例函数y=k(k为常数，k≠0)的图象是由两个分支组成的，是双曲线。 xk(k为常数，k≠0)的图象是双曲线。 x

当k>0时，双曲线的两分支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x增大而减小，

当k<0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x增大而增大。

|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 正比例函数y?k1x(k1?0)与反比例函数y?k2(k2?0）中的k1k2异号时二者的图象 x

无交点，同号时它们有两个关于原点对称的交点且交点坐标为

3反比例函数的应用 k2k,k1k2)和（?2,?k1k2) k1k1

第十章 图形的相似

1、比例的基本性质：如果aca?bc?daca?bc?d=，那么= 如果=,那么= bdbdbddb

在ab=中，我们把b叫做a和c的比例中项 bc

2、如果ABBC=，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BCACAB

与AB）的比值约为0.618，这个比值称为黄金比。

3相似图形：

各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形

两个相似三角形对应边的比值叫做它们的相似比

类似地，如果两个边数相同的多边形的各角对应相等、各边对应成比例，那么这 多边形相似。相似多边形的对应边的比叫做相似比。

4探索三角形相似的条件

如果一个三角形的两个三角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

5相似三角形的性质

相似三角形周长的比等于相似比

相似多边形周长的比等于相似比

相似三角形面积的比等于相似比的平方

相似多边形面积的比等于相似比的平方

相似三角形对应高的比等于相似比

相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比

6图形的位似：

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似形，这个点叫做位似中心。

性质：

位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离比等于相似比

位似多边形的对应边平行或共线

利用位似形可以将一个图形放大或缩小。

位似图形的中心可以在任意一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变

注意

1位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形必是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。

2两个位似图形的位似中心只有一个

3两个位似图形可以位于位似中心两侧，也可能位于位似中心同侧

4位似比就是相似比

5平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形和原三角形位似

7相似三角形的应用

在平行光线的照射下，物体所产生的影称为平行投影

在平行光线的照射下，不同物体的物高与其影长成比例

在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影

第十一章 图形与证明（一）

1你的判断对吗

2说理

对名称或术语的含义进行描述、做出规定，就是给出它们的定义

判断某一件事情的句子叫做命题（如：等角的余角相等是命题，而形状相同的三角形是全等三角形吗？就不是命题，因为并没有对某一件事情作出判断）

如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫做真命题

如果条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题

3用推理的方法证明真命题的过程叫做证明。经过证明的真命题称为定理

证明与图形有关的命题，一般有以下步骤：

（1） 根据命题，画出图形。

（2） 根据命题，结合图形，写出已知、求证；已知部分是已知事项（即命题的条件），求证部分是论证的

事项（即命题的结论）

（3） 写出证明过程

定理：内错角相等，两直线平行

两直线平行，内错角相等

两直线平行，同旁内角互补

三角形内角和定理 ：三角形三个内角的和等于180°

三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

直角三角形的两个锐角互余

4互逆命题：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题

把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题

判断一个命题是假命题，只需举出一个反例就行了

第十二章 认识概率

1、等可能性：

如果一个试验所有可能的结果有无穷多个，每次只出现其中的某个结果，而且每个结果出现的机会都一样，那么我们就称这个试验的结果具有等可能性。

2、一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，那么其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率为 P(A)=m n

利用树状图或者表格可以帮助我们不重复、不遗漏地列出所有可能出现的结果。

3、等可能条件下的概率（二）等可能条件下的几何概型（转盘、方格）的概率

把等可能条件下，试验结果无限的几何概型通过等积分割转化为古典概型。

 

第二篇：苏教版七年级下数学知识点总结

第七章 平面图形的认识(二)

一、平行线

1、同位角、内错角、同旁内角的定义 两条线（a,b）被第三条（c）直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角(corresponding angles) 如图：∠1与∠8，∠2与∠7，∠3与∠6，∠4与∠5均为同位角。

两条线（a,b）被第三条（c）直线所截，两个角分别在截线的两侧，且在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。如图：∠1与∠6，∠2与∠5均为同位角。

两条线（a,b）被第三条（c）直线所截，两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角（interior angles of thesame side） 。 如图：∠1与∠5，∠2与∠6均为同位角。

2、平行线的性质

（1）两直线平行,同位角相等。

（2）两直线平行,内错角相等。

（3）两直线平行,同旁内角互补。

3、平行线的判定

（1）同位角相等,两直线平行。

（2）内错角相等,两直线平行。

（3）同旁内角互补,两直线平行。

（4）平行于同一直线的两直线平行。

4、平移

平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移（translation），简称平移。

５、平移的性质

经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移

变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。

（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;

（2）图形平移后，对应点连成的线段平行且相等（或在同一直线上）

（3）多次平移相当于一次平移。

（4）多次对称后的图形等于平移后的图形。

（5）平移是由方向，距离决定的。

（6）经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等。

二、三角形

1、由三条不在同一直线上的三条线段首尾依次相接组成的图形叫做三角形。

2、三角形的性质

１）三角形的任意两边之和大于第三边（由此得三角形的两边的差一定小于第三边）

２）三角形三个内角的和等于180度（在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角

小于等于60度）（一个三角形的3个内角中最少有2个锐角）

３）直角三角形的两个锐角互余

４）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和（三角形的一个外角大于任何一个与它不相

邻的内角）

５）等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一

６）三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点

７）三角形的外角和是360°

８）等底等高的三角形面积相等 ９）三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。

１０）三角形具有稳定性。

3、三角形的分类

１）按边分

①不等边三角形②等腰三角形（含等腰直角三角形、等边三角形 ）

２）按角分

①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形（锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形 ）

４、三角形的有关定义

１）三角形的高：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫

做三角形的高线，简称为高。 三角形的三条高交于一点 ，这一点叫三角形的垂心。垂心到三

角形三个顶点的距离相等

２）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的

线段叫三角形的角平分线。（也叫三角形的内角平分线。）三角形的三条角平分线都在三角形的

内部，并交于一点 ，这一点叫三角形的内心。 三角形的内心到三边的距离相等 。

３）三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。三角形的

三条中线在三角形的内部，并交于一点 ，这一点叫三角形的重心。每条三角形中线分得的两个

三角形面积相等。

三、多边形

１、多边形：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。按照不同的标准，

多边形可以分为正多边形和非正多边形、凸多边形及凹多边形等。

２、n边形内角和为（n-2）*180°

３、任意多边形的外角和为360°

４、正n边形的一个外角为360°/n

５、n边形具有不稳定性（n>3）

第八章 幂的运算

幂（power）指乘方运算的结果。ɑn指将ɑ自乘n次(n个ɑ相乘）。把ɑn看作乘方的结果，叫做ɑ的n次幂。 对于任意底数ɑ,b，当ｍ，ｎ为正整数时，有

ｍɑ?ɑn=ɑm+n (同底数幂相乘,底数不变,指数相加)

ｍɑ÷ɑn=ɑm-n (同底数幂相除,底数不变,指数相减)

ｍ(ɑ)n=ɑmn (幂的乘方,底数不变,指数相乘)

(ɑb)n=ɑnɑn (积的乘方,把积的每一个因式乘方,再把所得的幂相乘)

ɑ0=1(ɑ≠0) (任何不等于0的数的0次幂等于1)

ɑ-n=1/ɑn (ɑ≠0) (任何不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数)

科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中1≤|a|＜10),这种记数法叫做科学记数法.

第九章 从面积到乘法公式

一、单项式、多项式、整式 １、代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。单独一个数或者字母也是代数式。

２、单项式： 由数字与字母或字母与字母的相乘组成的代数式叫做单项式（单独的一个数字或字母也是单项式）。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 １）分母含有未知数的式子不属于单项式。因为单项式属于整式，而分母含有未知数的式子是分式。例如，1/x不是单项式。

２）单独的一个数字或字母也是单项式。例如，1和x2y也是单项式。如果一个单项式，只含有字母

因数，如果是正数的单项式系数为1，如果是负数的单项式系数为－1.

３）单项式书写规则：数与字母相乘时，数在字母前；乘号可以省略为点或不写；除法的式子可以

写成分数式；带分数与字母相乘，带分数要化为假分数

３、多项式：若干个单项式的和组成的式子叫做多项式（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。

４、整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。单项式和多项式统称为整式。

５、同类项：所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项。

６、合并同类项：多项式中的同类项可以合并，叫做合并同类项，合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 ７、去、添括号法则

1)括号前是"+"号,把括号和它前面的"+"号去掉后,原括号里各项的符号都不改变。

2)括号前是"-"号,把括号和它前面的"-"号去掉后,原括号里各项的符号都要改变。（改成与原来相反的符号)

3)若括号前是数字因数时,应利用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号

4)遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号,也可由外到里.数"-"的个数.

８、单项式乘单项式,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

９、单项式乘多项式，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

１０、 多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

二、乘法公式

１、完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2

２、平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2

３、完全立方公式： (a±b)3 =a3±3a2b+3ab2±b3

４、立方和公式：a3＋b3= (a＋b)(a2＋ab＋b2)

立方差公式：a3－b3= (a－b)(a2＋ab＋b2)

三、因式分解

１、公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

２、因式分解（分解因式）Factorization：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个

多项式因式分解，也叫作分解因式。

３、因式分解的方法：

⑴提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积

的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

⑵运用公式法：运用乘法公式把一个多项式因式分解的方法叫运用公式法。

⑶分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．

⑷十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法．

４、因式分解和整式乘法是互逆的两种运算。

５、通常，把一个多项式分解因式，应先提公因式，再应用公式法，或者其他方法。进行多项式因式分解时，

必须把每一个因式都分解到不能再分解为止。

第十章 二元一次方程组

１、含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程(linear equations of two unknowns) 。

２、含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组。

３、二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。

４、代入消元法：把二元一次方程中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再带入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 ５、加减消元法：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.

６、二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；

（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.

第十一章 图形的全等

１、能完全重合的图像叫做全等图形。两个图形全等，它们的形状和大小都相同。

２、两个能重合的三角形叫全等三角形。

３、全等三角形的对应边相等，对应角相等。

４、三角形全等的判定：

1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)。

2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

4）有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 5）三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形全等。

6）在全等的判定中，没有AAA角角角和SSA(特例：直角三角形为HL，属于SSA)边边角，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

５、直角三角形全等的判定：

1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称HL或“斜边直角边”)。

第十二章 数据在我们周围

１、普查：为一特定的目的而对所有考察对象所做的全面调查叫做普查。

２、抽样调查：为一特定的目的而对部分考察对象所做的调查叫做抽样调查。

３、总体：所考查对象的全体叫做总体。

４、个体：组成总体的每一个考查对象叫做个体。

５、样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。

６、容量：样本中个体的数目叫做样本的容量。

７、扇形统计图：以整个圆面积代表统计项目的总体，每一统计项目分别用圆中不同扇形面积表示，扇形面积占圆面积的百分之几就代表该统计项目占总体的百分之几，这样的统计图叫做扇形统计图。

在扇形统计图中，扇形圆心角度数＝该部分的百分比×360°

８、折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来，以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化的统计图叫做折线统计图。 ９、条形统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按一定的顺序排列起来，这样的统计图叫做条形统计图。

１０、扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比；折线统计图能清楚地反映事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目。

１１、频数：每个对象出现的次数称为频数。

１２、频率：频数与总次数的比值称为频率。

１３、组距：每组的最高数值与最低数值之间的距离。在分组整理统计量数时,组的大小可因系列内量数的全距及所要划分的组数的不同而有所不同。每一组的最小限度叫做下限,最大限度叫做上限。下限和上限之间的距离, 即为组距。

１４、频数分布表：将一组计量资料按观察值大小分为不同组段，然后将各观察值归纳到各组段中，最后清点各组段的观察值个数(称频数)，以表格形式表示之，称为频数分布表，又称“频次分布表”，简称“频数表”。 １５、频数分布直方图：通过长方形的高代表对应组的频数与组距的比（因为比是一个常数，为了画图和看图方便，通常直接用高表示频数），这样的统计图称为频数分布直方图．

第十三章 感受概率

1、不可能事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件。

2、必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件。

3、随机事件：在一定条件下，有些事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件。

4、不可能事件和必然事件都是确定事件。

5、概率：随机事件发生的可能性有大有小。一个事件发生可能性大小的数值称为这个事件的概率。如果用Ａ表示一个时间，那么我们就用Ｐ（Ａ）表示事件Ａ发生的概率。

6、通常规定，必然事件Ａ发生的概率是１，记作Ｐ（Ａ）＝１；不可能事件Ａ发生的概率为０，记作Ｐ（Ａ）＝０；随机事件Ａ发生的概率Ｐ（Ａ）是０和１之间的一个数。（概率为0的事件不一定为不可能事件 ）

7、对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，并且是客观存在的，概率是随机事件自身的属性。它反映这个随机事件发生的可能性大小。

 

第三篇：20xx苏教版七年级下册数学期末考试知识点总结1

第七章 平面图形的认识（二）

一、知识点：

1、“三线八角”

①  如何由线找角：一看线，二看型。

         同位角是“F”型；

         内错角是“Z”型；

         同旁内角是“U”型。

②  如何由角找线：组成角的三条线中的公共直线就是截线。

2、平行公理：

   如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

   简述：平行于同一条直线的两条直线平行。

   补充定理：

   如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也平行。

   简述：垂直于同一条直线的两条直线平行。

3、平行线的判定和性质：

4、图形平移的性质：

   图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在同一直线上）并且相等。

5、三角形三边之间的关系：

三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边。

若三角形的三边分别为a、b、c，则

6、三角形中的主要线段：三角形的高、角平分线、中线。

注意：①三角形的高、角平分线、中线都是线段。

      ②高、角平分线、中线的应用。

7、三角形的内角和：

三角形的3个内角的和等于180°；

直角三角形的两个锐角互余；

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。

8、多边形的内角和：

n边形的内角和等于（n-2）?180°； 任意多边形的外角和等于360°。

第八章 幂的运算

幂（power）指乘方运算的结果。aⁿ指将a自乘n次(n个a相乘）。把aⁿ看作乘方的结果，叫做a的n次幂。

对于任意底数a,b，当ｍ，ｎ为正整数时，有:

a^ｍ?aⁿ=a^m+n  (同底数幂相乘,底数不变,指数相加)

a^ｍ÷aⁿ=a^m-n  (同底数幂相除,底数不变,指数相减)

(a^ｍ)ⁿ=a^mn  (幂的乘方,底数不变,指数相乘)

(ab)ⁿ=aⁿaⁿ  (积的乘方,把积的每一个因式乘方,再把所得的幂相乘)

a⁰=1(a≠0) (任何不等于0的数的0次幂等于1)

a^-n=1/aⁿ (a≠0) (任何不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数)

科学记数法:

把一个绝对值大于10(或者小于1)的整数记为a×10ⁿ的形式(其中1≤|a|＜10),这种记数法叫做科学记数法.

复习知识点：

1.乘方的概念:

求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在  中，a 叫做底数，n 叫做指数。

2.乘方的性质:

★（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

★（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

第九章 整式的乘法与因式分解

一、整式乘除法

单项式乘以单项式:

把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.ac⁵·bc²=(a·b)·(c⁵·c²)=abc⁵⁺²=abc⁷   

 ★注：运算顺序先乘方，后乘除，最后加减

单项式除以单项式:

把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。

单项式乘以多项式:

就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,m(a+b+c)=ma+mb+mc

★注：不重不漏，按照顺序，注意常数项、负号 .本质是乘法分配律。

多项式除以单项式：   

先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.

多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相乘(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

乘法公式：

平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.  (a+b)(a-b)=a²-b²

完全平方公式:两数和[或差]的平方,等于它们的平方和,加[或减]它们积的2倍.

           (a+b)²=a²+2ab+b²           (a-b)²=a²-2ab+b²

因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式,也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解方法:

1、提公因式法.     关键:找出公因式

公因式三部分：

①系数(数字)一各项系数最大公约数；

②字母--各项含有的相同字母；

③指数--相同字母的最低次数；步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．

注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；

②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．

2、公式法：①a²-b²=(a+b)(a-b)两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积a、b可以是数也可是式子②a²±2ab+b²=(a±b)²  完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的2倍,等于这两个数的和[或差]的平方.

③x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²) 立方差公式

3、十字相乘：(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab

因式分解三要素：

（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式

（2）因式分解必须是恒等变形；

（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．

弄清因式分解与整式乘法的内在的关系:互逆变形;

因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差

添括号法则：如括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如括号前是负号各项都得改符号。用去括号法则验证

第十章 二元一次方程组

1.含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

2.含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组。

3.二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。

4.代入消元法：把二元一次方程中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再带入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

5.加减消元法：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.

6.二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；

（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.

第十一章 一元一次不等式

一元一次不等式

重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法。

难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。

知识点一：不等式的概念
1. 不等式：

用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.

要点诠释：

(1)  不等号的类型:

 “≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；

(2) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
要点诠释：

由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。

3．不等式的解集：

一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。
要点诠释：

不等式的解集必须符合两个条件：

(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；

(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。

知识点二：不等式的基本性质

基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

符号语言表示为：如果，那么。

基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。

基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。

要点诠释：

(1)不等式的基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；

(2)要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式；

(3)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”；

(4)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。

知识点三：一元一次不等式的概念

　　只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。

要点诠释：

(1) 一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：　　　

 左右两边都是整式(单项式或多项式)；

含有一个未知数；

未知数的最高次数为1。

(2) 一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式；不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接)，一元一次方程表示相等关系(用“＝”连接)。

知识点四：一元一次不等式的解法

1.  解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。

2.一元一次不等式的解法：

与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.

要点诠释：

（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用

（2）解不等式应注意：

①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；

③  项时不要忘记变号；

④  括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；

⑤  ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。

2.  不等式的解集在数轴上表示：

在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助。

要点诠释：在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

　（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；

（2）方向：大向右，小向左
规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法的总结）

　1、不等式的基本性质是解不等式的主要依据。（性质2、3要倍加小心）

　2、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式是否成立，若成立，就是不等式的解；若不成立，则就不是不等式的解。

　3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原不等式变为或的形式，其一般步骤是：

（1）去分母；

（2）去括号；

（3）移项；

（4）合并同类项；

（5）化未知数的系数为1。

这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。但要注意，去分母或化未知数的系数为1时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，如果是个正数，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。

解一元一次不等式的一般步骤及注意事项

4、将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，是数学中数形结合思想的重要体现，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实。

5、用一元一次不等式解答实际问题，关键在于寻找问题中的不等关系，从而列出不等式并求出不等式的解集，最后解决实际问题。

6、常见不等式的基本语言的意义：

　　　 （1），则x是正数；　　　　　 （2），则x是负数；

　　　 （3），则x是非正数；　　　　 （4），则x是非负数；

　　　 （5），则x大于y；　　　  （6），则x小于y；

　　　 （7），则x不小于y；　　　　（8），则x不大于y；

　　　 （9）或，则x，y同号；（10）或，则x，y异号；

　　　 （11）x，y都是正数，若，则； 若，则；

　　　 （12）x，y都是负数，若，则；若，则

第十二章 证明

教学目标：

1.掌握定义、命题、定理、逆命题、互逆命题等概念，知道一个命题是真命 题，它的逆命题不一定是真命题。          

2.基本事实是其真实性不加证明的真命题，弄清真命题与定理的区别。           

3.会用举反例说明一个命题是假命题；掌握三角形内角和定理的证明。 

重点：定义、命题、定理、逆命题、互逆命题等概念的理解与运用 

难点：会用举反例说明一个命题是假命题；掌握三角形内角和定理的证明。

内容：       

1.以基本事实：“同位角相等，两直线平行”证明： (1)“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”、“平行于同一条直线的两条直线平行”

2.基本事实：“过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”          

           “两直线平行，同位角相等”

证明：

（1）两只相平行，内错角相等

（2）两只相平行，同旁内角互补

（3）三角形内角和定理”

（4）直角三角形的两个锐角互余

（5）有两个锐角互余的三角形是直角三角形

（6）三角形的外角等于与它不相邻的两个外角的和