第二章导数与微分总结

    一、导数与微分概念

    1．导数的定义

       设函数在点的某领域内有定义，自变量在处有增量，相应地函数增量。如果极限

                        

存在，则称此极限值为函数在处的导数（也称微商），记作，或，，等，并称函数在点处可导。如果上面的极限不存在，则称函数在点处不可导。

    导数定义的另一等价形式，令，，则

    我们也引进单侧导数概念。

    右导数：

    左导数：

    则有

    在点处可导在点处左、右导数皆存在且相等。

    2．导数的几何意义与物理意义

       如果函数在点处导数存在，则在几何上表示曲线在点处的切线的斜率。

    切线方程：

    法线方程：

    设物体作直线运动时路程与时间的函数关系为，如果存在，则表示物体在时刻时的瞬时速度。

    3．函数的可导性与连续性之间的关系

    如果函数在点处可导，则在点处一定连续，反之不然，即函数在点处连续，却不一定在点处可导。例如，，在处连续，却不可导。

    4．微分的定义

    设函数在点处有增量时，如果函数的增量有下面的表达式

        

    其中为为无关，是时比高阶的无穷小，则称在处可微，并把中的主要线性部分称为在处的微分，记以或。

    我们定义自变量的微分就是。

    5．微分的几何意义

    是曲线在点处相应于自变量增量的纵坐标的增量，微分是曲线在点处切线的纵坐标相应的增量（见图）。

    6．可微与可导的关系

   在处可微在处可导。

   且

   一般地，则

   所以导数也称为微商，就是微分之商的含义。

    7．高阶导数的概念

    如果函数的导数在点处仍是可导的，则把在点处的导数称为在点处的二阶导数，记以，或，或等，也称在点处二阶可导。

    如果的阶导数的导数存在，称为的阶导数，记以，，等，这时也称是阶可导。

    二、导数与微分计算

    1．导数与微分表（略）

    2．导数与微分的运算法则

    （1）四则运算求导和微分公式

        

        

        

    （2）反函数求导公式

         设的反函数为，则

    （3）复合函数求导和微分公式

         设，则

    （4）隐函数求导法则

         每一次对求导，把看作中间变量，然后解出

         例：，确定，求

         解：两边每一项对求导，把看作中间变量

            

             然后把解出来

    （5）对数求导法

         取对数后，用隐函数求导法则

            

            

         求导得

            

         解出

        

              解出

            

             解出

    （6）用参数表示函数的求导公式

设则

 

第二篇：考研数学高数第二章导数与微分的知识点总结

来源：文都教育

导数与微分是考研数学的基础，占据至关重要的地位。基本概念、基本公式一定要掌握牢固，常规方法和做题思路要非常熟练。下面文都考研数学老师给出该章的知识点总结，供广大考生参考。

第一节 导数

1．基本概念

（1）定义

f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)dydf(x)?y |x?x0(或|x?x0)?f'(x0)?lim?lim?lim?x?0?x?0x?0dxdx?x?xx?x0

注：可导必连续，连续不一定可导.

注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求.

（2）左、右导数

f?'(x0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0). ?lim?x?x0?xx?x0

f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0). ?lim?x?x?xx?x00f?'(x0)?lim??x?0

f'(x0)存在?f?'(x0)?f?'(x0).

（3）导数的几何应用

曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程：y?f(x0)?f'(x0)(x?x0).

法线方程：y?f(x0)??1(x?x0). f'(x0)

2．基本公式

（1）C'?0 （2）(x)?axa'a?1

（3）(ax)'?axlna（特例(ex)'?ex）（4）(logax)'?1(a?0,a?1) xlna

（5）(sinx)'?cosx （6）(cosx)'??sinx

（7）(tanx)'?sec2x （8）(cotx)'??csc2x

（9）(secx)'?secxtanx （10）(cscx)'??cscxcotx

（11

）(arcsinx)'? （12

）(arccosx)'?

（13）(arctanx)'?11(arccotx)'?? （14） 1?x21?x2

（

15[ln(x??

3．函数的求导法则

（1）四则运算的求导法则

uu'v?uv'(u?v)'?u'?v' (uv)'?u'v?uv' ()'? vv2

（2）复合函数求导法则--链式法则

设y?f(u),u??(x)，则y?f(?(x))的导数为：[f(?(x))]'?f'(?(x))?'(x).

sin21

x例5 求函数y?e的导数.

（3）反函数的求导法则

设y?f(x)的反函数为x?g(y)，两者均可导，且f'(x)?0，则

g'(y)?11?. f'(x)f'(g(y))

（4）隐函数求导

Fx'设函数y?f(x)由方程F(x,y)?0所确定，求y'的方法有两种：直接求导法和公式法y'??'. Fy

（5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数

4．高阶导数

二阶以上的导数为高阶导数.

常用的高阶求导公式：

（1）(ax)(n)?axlnna(a?0) 特别地，(ex)(n)?ex

（2） (sinkx)

（3）(coskx)(n)?knsin(kx?n) 2?kncos(kx?n) 2?(n)?

（4）[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(n?1)! n(1?x)

（5）(x)k(n)?k(k?1)(k?2)(k?n?1)xk?n

n

（6）莱布尼茨公式：(uv)(n)k(n?k)(k)??Cnuv，其中u(0)?u,v(0)?v

k?0

第二节 微分

1．定义

背景：函数的增量?y?f(x??x)?f(x).

定义：如果函数的增量?y可表示为?y?A?x?o(?x)，其中A是与?x无关的常数，则称函数y?f(x)在点x0可微，并且称A?x为?x的微分，记作dy，则dy?A?x.

注：?y?dy,?x?dx

2．可导与可微的关系

一元函数f(x)在点x0可微，微分为dy?A?x?函数f(x)在x0可导，且A?f'(x0).

3．微分的几何意义

4．微分的计算

（1）基本微分公式dy?f'(x)dx.

（2）微分运算法则

②四则运算法则

uvdu?udv d(u?v)?du?dv duv?vdu?udv d()?vv2

②一阶微分形式不变

若u为自变量，y?f(u),dy?f'(u)?u?f'(u)du；

若u为中间变量，y?f(u)，u??(x)，dy?f'(u)?'(x)dx?f'(u)du.